斉次Besov空間の補間理論Part2 - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。さて今回は前回の続きである斉次Besov空間 $\dot{B}_{p,q}^s$ 上の実補間関係

\begin{align} ( \dot{B}_{p,q_0}^{s_0},\dot{B}_{p,q_1}^{s_1} )_{\theta,q}=\dot{B}_{p,q}^{(1-\theta)s_0+\theta s_1} \end{align}

を示していきます。前回の記事はこちらです。

sushitemple.hatenablog.jp

前回までの命題によって、 $s_0 \lt s \lt s_1$ に対して

\begin{align} \dot{B}_{p,q_0}^{s_0}\cap \dot{B}_{p,q_1}^{s_1} \subset \dot{B}_{p,q}^s \subset \dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1} \end{align}

であることは分かっています。具体的に補間の関係を示すには、まず補間空間がどのように定義されているかを確認しなければなりませんね。これについては過去に少し扱っていますが、ここで少し述べておきましょう。

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さて、2つのBanach空間 $X_0,X_1$ に対してそれぞれ関数

\begin{gather} K: [0,\infty) \times (X_0+X_1) \to \mathbb{R} \\ J: [0,\infty) \times (X_0 \cap X_1) \to \mathbb{R} \end{gather}

を

\begin{equation}\begin{split} K(t,f) &=K(t,f,X_0,X_1) \\ &=\inf_{f=f_0+f_1 , \, (f_0,f_1) \in X_0 \times X_1}\left\{\|f_0\|_{X_0}+t \|f_1\|_{X_1}\right\} \\ J(t,f) &=J(t,f,X_0,X_1) \\ &=\max\left\{\|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1}\right\} \end{split}\end{equation}

と定義しましょう。 $0 \le \theta \le 1$ および $1 \le q \le \infty$ とし、 $(0,\infty)$ 上の非負値関数 $\varphi$ に対して

\begin{equation} \Phi_{\theta,q}[\varphi ]=\left\{ \begin{array}{cl} \left\{ \int_0^{\infty}(t^{-\theta}\varphi (t) )^q dt/t \right\}^{1/q} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, 1 \le q \lt \infty ) \\ \sup_{0 \lt t \lt \infty}\{ t^{-\theta}\varphi (t) \} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, q=\infty ) \end{array}\right. \end{equation}

とおきましょう。ここで

\begin{equation}\begin{split} K_{\theta,q}&=K_{\theta,q}(X_0,X_1) \\ &=\left\{ f \in X_0+X_1 \, \left| \, \|f\|_{K_{\theta,q}}=\Phi_{\theta,q}[K(\cdot , f) ] \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

とします。他方、

\begin{equation}\mathscr{J}(f)=\left\{ u \, \left| \, u(t) \in X_0 \cap X_1 , \, f=\int_0^{\infty}u(t)\frac{dt}{t} \right.\right\}\end{equation}

に対して

\begin{equation}\begin{split} J_{\theta,q}&=J_{\theta,q}(X_0,X_1) \\ &=\left\{ f \in X_0 + X_1 \, \left| \, \|f\|_{J_{\theta,q}}=\inf_{u \in \mathscr{J}(f)}\Phi_{\theta,q}[J(\cdot , u(\cdot) ) ] \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

とします。なお $\mathscr{J}(f)$ の定義における $f=\int_0^{\infty}u(t)dt/t$ は $X_0+X_1$ の位相で収束しているとします。

さて、実はこのとき位相同型の意味で $K_{\theta,q}=J_{\theta,q}$ が成立しています。そういうわけで、これを実補間空間の定義に採用しましょう。すなわち $(X_0,X_1)_{\theta,q}=K_{\theta,q}=J_{\theta,q}$ とします。単に定義だけを述べるならいずれかの関数空間を導入すれば十分なのですが、このようにそれぞれの関数空間を導入しておくと不等式評価などの際に便利ですので、両方導入しておきましょう。

さて、では示したい斉次Besov空間の実補間を考えていきましょう。

(命題 C) 任意の $1 \le p,q,q_0,q_1 \le \infty$ および $-\infty \lt s_0 \lt s_1 \lt \infty$ また $0 \lt \theta \lt 1$ に対して $s=(1-\theta)s_0+\theta s_1$ とおくと、次の関係

\begin{align} ( \dot{B}_{p,q_0}^{s_0},\dot{B}_{p,q_1}^{s_1} )_{\theta,q} \subset \dot{B}_{p,q}^s \end{align}

が成立する。

さて、この証明は実補間空間として $K_{\theta,q}$ の定義を採用して計算します。まずは前提として命題 Aより、任意の $f \in \dot{B}_{p,q}^s$ はある $f_0 \in \dot{B}_{p,q_0}^{s_0}$ および $f_1 \in \dot{B}_{p,q_1}^{s_1}$ によって $f=f_0+f_1$ と分解されます。ゆえに

\begin{align} \|\varphi_j*f\|_{L^p} &\le \|\varphi_j*f_0\|_{L^p}+\|\varphi_j*f_1\|_{L^p} \\ &\le 2^{-s_0j}\|f_0\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}}+2^{-s_1j}\|f_1\|_{\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}} \end{align}

とできます。最後の不等式はそれぞれ $2^{s_0j}$ および $2^{s_1j}$ の重みをかけて $j$ に関する和を取ることで上から斉次Besovのnormで評価できるということです。さて、ここで $f=f_0+f_1$ という分解に関する下限を取ることで、

\begin{align} \|\varphi_j*f\|_{L^p} \le 2^{-s_0j}K(2^{-(s_1-s_0)j},f) \end{align}

を得ます。では斉次Besovのnormを計算してみましょう。

\begin{align} \|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s}^q &= \sum_{j \in \mathbb{Z}}(2^{sj}\|\varphi_j*f\|_{L^p})^q \\ &\le \sum_{j \in \mathbb{Z}}(2^{(s-s_0)j} K(2^{-(s_1-s_0)j},f) )^q \end{align}

さて、ここでの右辺ですが、実補間の定義にそろえるために級数を積分に書き直してみましょう。そこで

\begin{align} \int_{2^{-(s_1-s_0)j}}^{2^{-(s_1-s_0)(j-1)}}\frac{dt}{t}=(s_1-s_0)\log 2 \end{align}

という関係に注意しましょう。さらに $s-s_0=\theta (s_1-s_0)$ を用いることで、 $2^{-(s_1-s_0)j} \le t \le 2^{-(s_1-s_0)(j-1)}$ という範囲では

\begin{align} 2^{(s-s_0)j} K(2^{-(s_1-s_0)j},f) &\le 2^{\theta (s_1-s_0)j} K(t,f) \\ &\le 2^{-\theta (s_1-s_0)}t^{-\theta}K(t,f) \end{align}

と評価されます。以上のことから

\begin{align} \|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s}^q &\le \frac{2^{-\theta (s_1-s_0)q}}{(s_1-s_0)\log 2} \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^{-(s_1-s_0)j}}^{2^{-(s_1-s_0)(j-1)}} (t^{-\theta}K(t,f) )^q \frac{dt}{t} \end{align}

と評価でき、 $j \in \mathbb{Z}$ の和をすべて考えることで積分範囲は重なることなくぴったり $(0,\infty)$ となります。ゆえにこれは $K_{\theta,q}$ の定義に他ならないわけです。したがって

\begin{align} \|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s} \le \frac{2^{-\theta (s_1-s_0)}}{( (s_1-s_0)\log 2)^{1/q}}\|f\|_{K_{\theta,q}} \end{align}

となり、証明終了です！！なお、 $q=\infty$ の場合でも同様に証明できることはよいでしょう。

では逆を示しましょう。これによって示したいことが得られます。

(命題 D) 任意の $1 \le p,q,q_0,q_1 \le \infty$ および $-\infty \lt s_0 \lt s_1 \lt \infty$ また $0 \lt \theta \lt 1$ に対して $s=(1-\theta)s_0+\theta s_1$ とおくと、次の関係

\begin{align} \dot{B}_{p,q}^s \subset ( \dot{B}_{p,q_0}^{s_0},\dot{B}_{p,q_1}^{s_1} )_{\theta,q} \end{align}

が成立する。

さて、こちらは $J_{\theta,q}$ の定義を採用して証明します。まずは適当な $f \in \dot{B}_{p,q}^s$ を取りましょう。これに対して $\varphi_j*f$ を考えると、これは滑らかな関数になります。というのも、斉次Besovの定義に突っ込んで級数を計算しようとすると $|j-k| \ge 1$ ならば $\varphi_k*\varphi_j*f=0$ という関係によりほとんど項が消えてしまうからです。より詳しくは

\begin{align} \|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}}&= \left\{\sum_{k \in \mathbb{Z}} (2^{s_0j} \|\varphi_k*\varphi_j*f\|_{L^p})^{q_0}\right\}^{1/q_0} \\ &\le \|\varphi\|_{L^1}\left\{\sum_{k=j-1}^{j+1} (2^{s_0j} \|\varphi_j*f\|_{L^p})^{q_0}\right\}^{1/q_0} \\ &\le 3\|\varphi\|_{L^1} \times 2^{s_0j}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \end{align}

と評価できます。全く同様に

\begin{align} \|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}} \le 3\|\varphi\|_{L^1} \times 2^{s_1j}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \end{align}

もよいですね。これはもちろん $q_0=\infty$ や $q_1=\infty$ でも成立します。これらを評価することで、

\begin{align} J(2^{-(s_1-s_0)j},\varphi_j*f) \le 3\|\varphi\|_{L^1} \times 2^{s_0j}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \end{align}

となることが言えますね。さて、これを実補間の定義に従って積分したいのですが、 $J_{\theta,q}$ の場合は少し複雑で、与えられた $f \in \dot{B}_{p,q}^s$ に対して

\begin{align} f=\int_0^{\infty} u(t)\frac{dt}{t} , \quad \text{in } \dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1} \end{align}

となるような $u$ を取ってこないとダメなのでした。ではこの $u$ はどう構成するかというと、 Littlewood-Paley分解

\begin{align} f=\sum_{j \in \mathbb{Z}}(\varphi_j*f) \end{align}

に着目すればうまくいきそうです。実際に、 $u$ を $2^{-(s_1-s_0)(j+1)} \le t \le 2^{-(s_1-s_0)j}$ に対して

\begin{align} u(t)=\frac{\varphi_j*f}{(s_1-s_0)\log2} \end{align}

と定義すればよいです。そうすれば、次の積分

\begin{align} \int_{2^{-(s_1-s_0)(j+1)}}^{2^{-(s_1-s_0)j}}\frac{dt}{t}=(s_1-s_0)\log 2 \end{align}

に注意して

\begin{align} \int_0^{\infty}u(t) \frac{dt}{t} &=\sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^{-(s_1-s_0)(j+1)}}^{2^{-(s_1-s_0)j}} \frac{\varphi_j*f}{(s_1-s_0)\log2} \frac{dt}{t} \\ &= \sum_{j \in \mathbb{Z}} (\varphi_j*f) =f \end{align}

が言えますね。しかし一応注意しておくべきこととして、通常Littlewood-Paley分解は超関数 $\mathscr{S}^*$ の位相での収束を意味していますので、これがちゃんと $\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}$ の意味でも収束しているかどうかを確かめたいですね。ここで命題 Aで示したように、今は $f \in \dot{B}_{p,q}^s$ を考えているので少なくとも $f \in \dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}$ であることには注意しておきましょう。なお上記の分解は超関数の意味では成立していますから、十分大きな $N \in \mathbb{N}$ を取って

\begin{align} f-\sum_{|j| \le N}(\varphi_j*f)=\sum_{|j| \ge N+1}(\varphi_j*f) \end{align}

が超関数の意味で成立するのはよいでしょう。後はこれに対して

\begin{align} \left\|f-\sum_{|j| \le N}(\varphi_j*f)\right\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}} \le \sum_{|j| \ge N+1}\|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}} \end{align}

と評価すれば、結局は

\begin{align} \sum_{j \in \mathbb{Z}} \|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}} \lt \infty \end{align}

を示せばよいことになります。実際そうならば上式で $N \to \infty$ とすれば右辺は収束し目的が示されますね。ではどう示すかということですが、これもやはり $j$ の正負で分けてやるのがよさそうな気がします。つまり

\begin{align} &\sum_{j \in \mathbb{Z}} \|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}} \\ &=\sum_{j \ge 0}\|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}}+\sum_{j \le -1}\|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}} \end{align}

を考えよということです。ここで $\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}$ のnormは $\varphi_j*f$ を $\varphi_j*f=f_0+f_1$ と分解しその下限を考えよということですので、適当な分解があればそれで上から抑えられます。特にいま考えている $\varphi_j*f$ は滑らかな関数なので、ここでは完全に一方の空間に吸収されていると考えてもOKです。つまり $\varphi_j*f \in \dot{B}_{p,q_0}^{s_0}$ として考えてしまいましょう。そうすれば命題 Aの証明と同様にして

\begin{align} &\sum_{j \ge 0} \|\varphi_j*f\|_{\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}} \\ &\le \sum_{j \ge 0}\|\varphi\|_{L^1}\left\{ \sum_{k \in \mathbb{Z} , |k-j| \le 1}(2^{s_0k}\|\varphi_k*f\|_{L^p})^{q_0} \right\}^{1/q_0} \\ &\le 3\|\varphi\|_{L^1}\|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s} \left(\sum_{k \ge -1}2^{-(s-s_0)kq_0}\right)^{1/q_0} \lt \infty \end{align}

よりOKです。同様に $j \le -1$ の和に関しては $\varphi_j*f \in \dot{B}_{p,q_1}^{s_1}$ として考えてやれば、上の計算と同様に収束が示せます。これから $2^{-(s_1-s_0)(j+1)} \le t \le 2^{-(s_1-s_0)j}$ に対して

\begin{align} u(t)=\frac{\varphi_j*f}{(s_1-s_0)\log2} \end{align}

と定義すれば

\begin{align} \int_0^{\infty}u(t) \frac{dt}{t} = \sum_{j \in \mathbb{Z}} (\varphi_j*f) =f \end{align}

が $\dot{B}_{p,q_0}^{s_0}+\dot{B}_{p,q_1}^{s_1}$ の意味で成立することが分かりました。さて、最後に $J_{\theta,q}$ の定義による積分を実行して証明を完成させましょう。すなわち

\begin{align} \|f\|_{J_{\theta,q}}^q &\le \int_0^{\infty}(t^{-\theta}J(t,u(t)) )^q \frac{dt}{t} \\ &= \frac{1}{( (s_1-s_0)\log 2 )^q}\sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^{-(s_1-s_0)(j+1)}}^{2^{-(s_1-s_0)j}} (t^{-\theta}J(t,\varphi_j*f) )^q \frac{dt}{t} \end{align}

ですが、ここで $t$ の範囲に注意して

\begin{align} t^{-\theta}J(t,\varphi_j*f) &\le 2^{\theta (s_1-s_0)(j+1)}J(2^{-(s_1-s_0)j},\varphi_j*f) \\ &\le 2^{\theta (s_1-s_0)(j+1)} \times 3\|\varphi\|_{L^1} \times 2^{s_0j}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \\ &=3\|\varphi\|_{L^1} \times 2^{sj}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \end{align}

とできることに注意しましょう。途中で初めに示した $J$ に対する評価式を用いています。さて、これであとは計算するだけですね。

\begin{align} \|f\|_{J_{\theta,q}}^q &\le \int_0^{\infty}(t^{-\theta}J(t,u(t)) )^q \frac{dt}{t} \\ &\le \left(\frac{3\|\varphi\|_{L^1}}{(s_1-s_0)\log 2}\right)^q\sum_{j \in \mathbb{Z}} (2^{sj}\|\varphi_j*f\|_{L^p})^q \int_{2^{-(s_1-s_0)(j+1)}}^{2^{-(s_1-s_0)j}} \frac{dt}{t} \\ &=\left( \frac{3\|\varphi\|_{L^1}}{(s_1-s_0)\log 2}\|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s}\right)^q(s_1-s_0)\log 2 \end{align}

より

\begin{align} \|f\|_{J_{\theta,q}} \le \frac{3\|\varphi\|_{L^1}}{( (s_1-s_0)\log 2)^{1-1/q}}\|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s} \end{align}

となり証明終了です！！ $q=\infty$ の場合も大丈夫ですね。

さて、以上のことから

\begin{align} ( \dot{B}_{p,q_0}^{s_0},\dot{B}_{p,q_1}^{s_1} )_{\theta,q}=\dot{B}_{p,q}^{(1-\theta)s_0+\theta s_1} \end{align}

が成立するということが確かめられました！！なお証明はBergh-LöfströmのTheorem 6.2.4を参考にしています。こちらの補間の本は斉次型空間について参考になることがいくつか書かれてはいるのですが、どれも証明は非斉次型のそれと同様とくらいにしか書かれていなかったので、少し詳しく自分なりの証明をつけてみました。ご参考になればと思います。

ひとまずこの記事についてはこのくらいとしたいと思います。見てくださってありがとうございます。