実補間理論の勉強Part3 - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。

sushitemple.hatenablog.jp

さて、今回は前回勉強した抽象的な実補間の理論をフルに用いて、Lorentz空間の実補間理論を完成させましょう！！

多少一般化して、ここでは次のような定義でLorentz空間を与えます。まずは $(\Omega,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とします。また $X$ をBanach空間としましょう。通常の $L^p$ 空間はいつも通り

\begin{equation}\begin{split} L^p(\Omega : X) &=L^p( (\Omega,\mathcal{M},\mu) : X ) \\ &=\left\{ f: \Omega \to X \, \left| \, \|f\|_{L^p(\Omega :X)} \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

ただし

\begin{equation} \|f\|_{L^p(\Omega : X)} = \left\{\begin{array}{cl} \left\{ \int_{\Omega} \|f(x)\|_X^p d\mu (x) \right\}^{1/p} & (1 \le p \lt \infty ) \\ \sup_{x \in \Omega}\|f(x)\|_X & (p=\infty ) \end{array}\right. \end{equation}

で与えましょう。さて、 $\Omega$ 上の $X$ 値 $\mathcal{M}$ 可測関数 $f$ に対して

\begin{equation} E_f(\lambda)=E_f(\lambda,\Omega,X)=\{ x \in \Omega \, | \, \|f(x)\|_X \gt \lambda \} \end{equation}

とおきます。さらにこれを用いて、 $f$ の再配列関数を

\begin{equation} f^*(t)=f^*(t,\Omega,X) = \inf\{ \lambda \gt 0 \, | \, \mu(E_f(\lambda,\Omega,X) ) \le t \} \end{equation}

と定義します。これらを用いて、指数 $1 \le p,q \le \infty$ に対するLorentz空間を

\begin{equation}\begin{split} L^{p,q}(\Omega :X) &=L^{p,q}( (\Omega,\mathcal{M},\mu):X ) \\ &=\left\{ f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega :X) \, \left| \, \|f\|_{L^{p,q}(\Omega : X)} \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

ただし

\begin{equation} \|f\|_{L^{p,q}(\Omega : X)} = \left\{\begin{array}{cl} \left\{ \int_0^{\infty} (t^{1/p}f^*(t) )^q dt/t \right\}^{1/q} & (1 \le q \lt \infty ) \\ \sup_{t \gt 0}\{t^{1/p}f^*(t)\} & (q=\infty ) \end{array}\right. \end{equation}

で与えます。面白いことにLorentz空間では分布関数や再配列関数を通じるとnorm上に $\Omega,\mu,X$ などが全く現れなくなります。これは分布関数が全て吸収してしまい、再配列関数では完全に $(0,\infty)$ 上の実数値Lebesgue可測関数になってしまうからですね。

さて、少し下準備をしましょう。まず $L^p$ 空間について、通常は $1 \le p \le \infty$ 上で考えますが、 $0 \lt p \lt 1$ 上でも考えることができます。ただしnormが三角不等式を満たさなくなることに注意しましょう。すなわち準Banach空間になりますね。なお、この場合でも三角不等式は係数付きで成立するため、実補間論は有効になります。ここでは次の不等式を見ておきます。

(補題 J) 任意の $I \subset \mathbb{R}$ 上の非負値関数 $\varphi,\psi$ に対して

\begin{equation} \min\{1,2^{1/p-1}\} \le \frac{ \|\varphi+\psi\|_{L^p(I)} }{ \|\varphi\|_{L^p(I)}+\|\psi\|_{L^p(I)} } \le \max\{1,2^{1/p-1}\} \end{equation}

が成立する。

さて、まずは $1 \le p \lt \infty$ とします。凸性と単調増加性より任意の $a,b \ge 0$ に対して $1 \le (a+b)^p/(a^p+b^p) \le 2^{p-1}$ ですね。一方 $1/p$ として考えればこれは逆になり $2^{1/p-1} \le (a+b)^{1/p}/( a^{1/p}+b^{1/p} ) \le 1$ です。したがってまずは上の不等式から

\begin{equation} 1 \le \frac{\|\varphi+\psi\|_{L^p(I)}^p}{\|\varphi\|_{L^p(I)}^p+\|\psi\|_{L^p(I)}^p} \le 2^{p-1} \end{equation}

が分かり、下の不等式から

\begin{equation} 2^{1/p-1} \le \frac{ \left( \|\varphi\|_{L^p(I)}^p+\|\psi\|_{L^p(I)}^p \right)^{1/p} }{ \|\varphi\|_{L^p(I)}+\|\psi\|_{L^p(I)} } \le 1 \end{equation}

ですね。ゆえにこれを組み合わせれば

\begin{equation} 2^{1-1/p} \le \frac{ \|\varphi+\psi\|_{L^p(I)} }{ \|\varphi\|_{L^p(I)}+\|\psi\|_{L^p(I)} } \le 2^{1/p-1} \end{equation}

が得られます。 $0 \lt p \lt 1$ の場合は全て逆になりますね。しかし実際は $1 \le p \lt \infty$ での三角不等式

\begin{equation} \|\varphi+\psi\|_{L^p(I)} \le \|\varphi\|_{L^p(I)}+\|\psi\|_{L^p(I)} \end{equation}

および $0 \lt p \lt 1$ での逆三角不等式

\begin{equation} \|\varphi+\psi\|_{L^p(I)} \ge \|\varphi\|_{L^p(I)}+\|\psi\|_{L^p(I)} \end{equation}

よりさらに評価は精密化され、上で示した不等式が示されます。逆三角不等式の証明は通常の $L^p$ と同じようにできます。

(補題 K)

(i) $\Omega$ 上の $X$ 値 $\mathcal{M}$ 可測関数 $f$ に対して

\begin{equation} \mu( E_f( f^*(t) ) ) \le t, \quad t \gt 0 \end{equation}

であり、また $f^*$ は非負値単調減少関数である。

(ii) $\chi_{(0,\mu(E_f(\lambda,\Omega,X ) ) )}=\chi_{E_{f^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R})}$ が成立する。

(iii) $A \in \mathcal{M}$ および $a \in \mathbb{R}$ とし、 $A$ 上で常に $\|f(x)\|_X \ge a$ であるとする。このとき任意の $0 \lt p \lt\infty$ に対して

\begin{equation} \int_A (\|f(x)\|_X-a)^pd\mu(x) \le \int_0^{\mu(A)} (f^*(t)-a)^pdt \end{equation}

が成立する。また、

\begin{equation} \int_{\Omega} \|f(x)\|_X^pd\mu(x) = \int_0^{\infty} (f^*(t) )^pdt \end{equation}

である。

(i) 初めに分布関数の性質を見ていきましょう。単調減少性と右連続性が分かります。実際、任意の $0 \le \lambda_1 \le \lambda_2$ に対して

\begin{equation} \{x \in \Omega \, | \, \|f(x)\|_X \gt \lambda_2\} \subset \{x \in \Omega \, | \, \|f(x)\|_X \gt \lambda_1\} \end{equation}

ですね。したがって測度の単調性から $\mu(E_f(\lambda_2) ) \le \mu(E_f(\lambda_1) )$ です。また、このことから、測度の連続性より右連続性が従います。単調増加集合列の測度は収束するんでしたね。さて、ここで $f^*(t)$ の定義より、任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して $\lambda_{\varepsilon} \gt 0$ が存在して

\begin{equation} \lambda_{\varepsilon} \lt f^*(t)+\varepsilon \quad \text{and} \quad \mu(E_f(\lambda_{\varepsilon}) ) \le t \end{equation}

が成立します。再び測度の単調性から

\begin{equation} \mu(E_f(f^*(t) +\varepsilon ) ) \le \mu(E_f( \lambda_{\varepsilon} ) ) \le t \end{equation}

ですから、右連続性より $\varepsilon \to +0$ として $\mu(E_f(f^*(t) ) ) \le t$ を得ます。さらに $t \ge s$ のとき

\begin{equation}\begin{split} f^*(t) &=\inf\{ \lambda \gt 0 \, | \, \mu (E_f(\lambda) ) \le t \} \\ &\le \inf\{ \lambda \gt 0 \, | \, \mu (E_f(\lambda) ) \le s \} \\ &=f^*(s) \end{split}\end{equation}

より非負値単調減少性もOKです。

(ii) これも段階を踏んで示しましょう。まずは

\begin{equation} f^*(t) \gt \lambda_0 \quad \Longleftrightarrow \quad \mu(E_f(\lambda_0) ) \gt t \end{equation}

を見ます。実際

\begin{equation} \lambda_0 \lt f^*(t)=\inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu(E_f(\lambda) ) \le t\} \end{equation}

ならば下限の定義より $\lambda_0$ は最右辺の集合に含まれないので $\mu(E_f(\lambda_0 ) ) \gt t$ が成立します。一方 $\mu(E_f(\lambda_0) ) \gt t$ かつ $f^*(t) \le \lambda_0$ を仮定すると(i)より

\begin{equation}\mu(E_f(\lambda_0) ) \le \mu(E_f(f^*(t) ) ) \le t \end{equation}

となり矛盾です。ゆえに上の主張が成立します。

次に定義関数 $\chi$ および $A \in \mathcal{M}$ に対して $(\chi_A)^*(t,\Omega,\mathbb{R})=\chi_{(0,\mu (A) )}(t)$ を示しましょう。これは素直に

\begin{equation} E_{\chi_A}(\lambda,\Omega,\mathbb{R})=\{ x \in \Omega \, | \, \chi_A(x) \gt \lambda \} = \left\{\begin{array}{cl} A & (0 \le \lambda \lt 1) \\ \varnothing & (\lambda \ge 1) \end{array}\right. \end{equation}

すなわち

\begin{equation} \mu( E_{\chi_A}(\lambda,\Omega,\mathbb{R}) ) = \left\{\begin{array}{cl} \mu(A) & (0 \le \lambda \lt 1) \\ 0 & (\lambda \ge 1) \end{array}\right. \end{equation}

と計算することで、

\begin{equation}\begin{split} (\chi_A)^*(t,\Omega,\mathbb{R}) &= \inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu(E_{\chi_A}(\lambda,\Omega,\mathbb{R}) ) \le t\} \\ &= \left\{\begin{array}{cl} 1 & (t \lt \mu(A) ) \\ 0 & (t \ge \mu (A) ) \end{array}\right. \\ &= \chi_{(0,\mu(A) )}(t) \end{split}\end{equation}

を得ます。ゆえに主張が示されました。

今度は $(\chi_{E_f(\lambda,\Omega,X)})^*(t,\Omega,\mathbb{R})=\chi_{E_{f^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R})}(t)$ を示しましょう。これは先に示した関係から

\begin{equation}\begin{split} E_{f^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R}) &=\{t \in (0,\infty) \, | \, f^*(t,\Omega,X) \gt \lambda\} \\ &=\{t \in (0,\infty) \, | \, \mu(E_f(\lambda,\Omega,X ) ) \gt t\} \\ &=(0,\mu(E_f(\lambda,\Omega,X ) )) \end{split}\end{equation}

なので、

\begin{equation}\begin{split} (\chi_{E_f(\lambda,\Omega,X)})^*(t,\Omega,\mathbb{R}) &= \chi_{ (0,\mu( E_f(\lambda,\Omega,X) )) }(t) \\ &=\chi_{E_{f^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R})}(t) \end{split}\end{equation}

より示されます。したがって、これらを合わせて

\begin{equation}\begin{split} \chi_{(0,\mu(E_f(\lambda,\Omega,X) ) )}(t) &=(\chi_{E_f(\lambda,\Omega,X)})^*(t,\Omega,\mathbb{R}) \\ &=\chi_{E_{f^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R})}(t) \end{split}\end{equation}

が示されました。

(iii) さて、 $F(x)=\|f(x)\|_X-a$ とおきましょう。このとき

\begin{equation}\begin{split} \mu(E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R} ) ) &=\mu (\{ x \in \Omega \, | \, \|f(x)\|_X-a \gt \lambda \}) \\ &=\mu(E_f(\lambda +a,\Omega,X) ) \end{split}\end{equation}

ですから、

\begin{equation}\begin{split} F^*(t,\Omega,\mathbb{R}) &=\inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu(E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R}) ) \le t\} \\ &= \inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu(E_f(\lambda +a,\Omega,X) )\le t\} \\ &=f^*(t,\Omega,X)-a \end{split}\end{equation}

が分かりますね。さて、ここで以下のように変形します。

\begin{equation}\begin{split} &\int_A (\|f(x)\|_X-a)^p d\mu(x) \\ &=\int_{\Omega} \chi_A(x)(F(x) )^p d\mu(x) \\ &=\int_{\Omega}\chi_A(x) \int_0^{F(x)} p\lambda^{p-1}d\lambda d\mu(x) \\ &=\int_{\Omega} \int_0^{\infty} \chi_A(x) \chi_{E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})}(x) p\lambda^{p-1}d\lambda d\mu(x) \end{split}\end{equation}

Fubiniの定理を用いて

\begin{equation}\begin{split} &\int_A (\|f(x)\|_X-a)^p d\mu(x) \\ &=\int_0^{\infty}\left(\int_{\Omega} \chi_A(x) \chi_{E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})}(x) d\mu(x) \right) p\lambda^{p-1}d\lambda \end{split}\end{equation}

と書けるわけですが、ここで一般の $A \in \mathcal{M}$ に対しては

\begin{equation}\begin{split} &\int_{\Omega} \chi_A(x) \chi_{E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})}(x) d\mu(x) \\ &=\mu (A \cap E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})) \\ &\le \int_0^{\min\{\mu (A), \mu (E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})) \}} dt \\ &= \int_0^{\mu (A)} \chi_{(0,\mu(E_F (\lambda,\Omega,\mathbb{R})))}(t) dt \\ &= \int_0^{\mu (A)} \chi_{E_{F^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R})}(t) dt \end{split}\end{equation}

です。もし $A=\Omega$ ならば

\begin{equation}\begin{split} &\int_{\Omega} \chi_A(x) \chi_{E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})}(x) d\mu(x) \\ &=\mu ( E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})) \\ &= \int_0^{\mu (E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R}))} dt \\ &= \int_0^{\infty} \chi_{(0,\mu (E_F(\lambda,\Omega,\mathbb{R})))}(t) dt \\ &= \int_0^{\infty} \chi_{E_{F^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R})}(t) dt \end{split}\end{equation}

に注意しましょう。再びFubiniを用いて

\begin{equation}\begin{split} &\int_A (\|f(x)\|_X-a)^p d\mu(x) \\ &\le \int_0^{\mu(A)} \left( \int_0^{\infty} \chi_{E_{F^*}(\lambda,(0,\infty),\mathbb{R})}(t) p\lambda^{p-1}d\lambda \right) dt \\ &=\int_0^{\mu(A)} \left( \int_0^{F^*(t,\Omega,\mathbb{R})}p\lambda^{p-1}d\lambda \right) dt \\ &= \int_0^{\mu(A)} ( f^*(t,\Omega,X)-a )^p dt \end{split}\end{equation}

が得られますね。 $a=0 , \, A=\Omega$ の場合も同様です。ゆえに証明終了です！！

さて、少し準備が大変でしたが、ここで導入したLorentz空間は実補間の言葉を用いるとどのように表されるのか？？という関係を探っていきたいと思います！！

(定理 L) $0 \lt p \lt \infty$ とするとき、任意の $f \in L^p(\Omega : X)+L^{\infty}(\Omega : X)$ に対して

\begin{equation} \min\{ 1,2^{1-1/p} \} \le \frac{ \left\{ \int_0^{t^p} ( f^*(s) )^p ds \right\}^{1/p} }{ K(t,f,L^p(\Omega : X),L^{\infty}(\Omega : X)) } \le \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \end{equation}

が成立する。

初めに、 $f \in L^p(\Omega : X)+L^{\infty}(\Omega : X)$ ならば測度有限な領域 $A \in \mathcal{M}$ 上では $L^p$ 可積分であることを確認しましょう。実際、

\begin{equation} f=f_0+f_1 \in L^p(\Omega : X)+L^{\infty}(\Omega : X) \end{equation}

と分解すれば、補題 Jから

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{L^p(A:X)} &\le \max\{1,2^{1/p-1}\} \left(\|f_0\|_{L^p(A:X)}+\|f_1\|_{L^p(A :X)}\right) \\ &\le \max\{1,2^{1/p-1}\} \left(\|f_0\|_{L^p(A:X)}+(\mu (A) )^{1/p}\|f_1\|_{L^{\infty}(A :X)}\right) \\ &\lt \infty \end{split}\end{equation}

よりOKですね。さて、

\begin{equation} E_t=E_f(f^*(t^p) )=\{x \in \Omega \, | \, \|f(x)\|_X \gt f^*(t^p)\} \end{equation}

とすると、補題 Kより $\mu (E_t) \le t^p$ となります。これを用いて

\begin{equation} f_0^t(x)=\left\{\begin{array}{cc} f(x)-f^*(t^p)f(x)/\|f(x)\|_X & x \in E_t \\ 0 & x \notin E_t \end{array}\right.\end{equation}

および

\begin{equation} f_1^t(x)=\left\{\begin{array}{cc} f^*(t^p)f(x)/\|f(x)\|_X & x \in E_t \\ f(x) & x \notin E_t \end{array}\right.\end{equation}

とすると、 $f=f_0^t+f_1^t$ が成立します。さて、 $x \in E_t$ において

\begin{equation}\begin{split} \|f_0^t(x)\|_X &= \left\| f(x)-f^*(t^p) \frac{f(x)}{\|f(x)\|_X} \right\|_X \\ &= \left\| \frac{f(x)}{\|f(x)\|_X} \left( \|f(x)\|_X-f^*(t^p) \right) \right\|_X \\ &= \|f(x)\|_X-f^*(t^p) \end{split}\end{equation}

であることを用いれば、まず

\begin{equation}\begin{split} \|f_0^t\|_{L^p(\Omega :X)}^p &=\int_{E_t} \|f_0^t(x)\|_X^p d\mu(x) \\ &=\int_{E_t} ( \|f(x)\|_X-f^*(t^p) )^p d\mu(x) \\ &\le \int_{E_t} \|f(x)\|_X^p d\mu(x) \end{split}\end{equation}

より $f_0^t \in L^p(\Omega :X)$ が分かります。また補題 Kより

\begin{equation}\begin{split} \|f_0^t\|_{L^p(\Omega :X)}^p &=\int_{E_t} \|f_0^t(x)\|_X^p d\mu(x) \\ &=\int_{E_t} ( \|f(x)\|_X-f^*(t^p) )^p d\mu(x) \\ &\le \int_0^{\mu (E_t)} ( f^*(s)-f^*(t^p) )^p ds \\ &\le \int_0^{t^p} ( f^*(s)-f^*(t^p) )^p ds \end{split}\end{equation}

ですね。一方 $f_1^t$ はすぐ分かるように $x \in E_t$ ならば $\|f_1^t(x)\|_X=f^*(t^p)$ で、 $x \notin E_t$ ならば $E_t$ の定義より $\|f_1^t(x)\|_X \le f^*(t^p)$ です。ゆえに

\begin{equation} \|f_1^t\|_{L^{\infty}(\Omega : X)}=f^*(t^p) \end{equation}

となり $f_1^t \in L^{\infty}(\Omega :X)$ ですね。したがって補題 Jより

\begin{equation}\begin{split} &K(t,f,L^p(\Omega :X),L^{\infty}(\Omega :X) ) \\ &\le \|f_0^t\|_{L^p(\Omega:X)}+t\|f_1^t\|_{L^{\infty}(\Omega:X)} \\ &\le \left\{\int_0^{t^p} ( f^*(s)-f^*(t^p) )^p ds\right\}^{\frac{1}{p}}+f^*(t^p)\left( \int_0^{t^p} ds\right)^{\frac{1}{p}} \\ &= \left\{\int_0^{t^p} ( f^*(s)-f^*(t^p) )^p ds\right\}^{\frac{1}{p}}+\left\{ \int_0^{t^p} ( f^*(t^p) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &\le \max\{1,2^{1-1/p}\} \left\{\int_0^{t^p} ( f^*(s)-f^*(t^p)+f^*(t^p) )^p ds\right\}^{\frac{1}{p}} \\ &=\max\{1,2^{1-1/p}\} \left\{\int_0^{t^p} ( f^*(s) )^p ds\right\}^{\frac{1}{p}} \end{split}\end{equation}

が得られます！！

今度は逆ですね。 $f=f_0+f_1 \in L^p(\Omega:X)+L^{\infty}(\Omega:X)$ と分解しておきます。ここで任意の $\lambda_0,\lambda_1 \gt 0$ に対して $\|f(x)\|_X \gt \lambda_0+\lambda_1$ ならば $\|f_0(x)\|_X \gt \lambda_0$ または $\|f_1(x)\|_X \gt \lambda_1$ を示しましょう。これはすぐ示せて、実際もし $\|f_0(x)\|_X \le \lambda_0$ なる $x \in \Omega$ があれば

\begin{equation} \lambda_0+\lambda_1 \lt \|f(x)\|_X \le \|f_0(x)\|_X+\|f_1(x)\|_X \le \lambda_0+\|f_1(x)\|_X \end{equation}

となり $\|f_1(x)\|_X \gt \lambda_1$ が従うからです。したがってこれは

\begin{equation} E_f(\lambda_0+\lambda_1) \subset E_{f_0}(\lambda_0) \cup E_{f_1}(\lambda_1) \end{equation}

を意味していますね。さて、 $f^*(s)$ の定義から、任意の $\delta \gt 0$ および $0 \lt \varepsilon \lt 1$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \lambda_0^{\delta} \lt f_0^*( (1-\varepsilon)s ) +\delta/2 \quad &\text{and} \quad \mu (E_{f_0}(\lambda_0^{\delta}) ) \le (1-\varepsilon)s \\ \lambda_1^{\delta} \lt f_1^*( \varepsilon s ) +\delta/2 \quad &\text{and} \quad \mu (E_{f_1}(\lambda_1^{\delta}) ) \le \varepsilon s \end{split}\end{equation}

とできます。このとき上で示したことから

\begin{equation} \mu(E_f(\lambda_0^{\delta}+\lambda_1^{\delta}) ) \le \mu(E_{f_0}(\lambda_0^{\delta}) )+\mu(E_{f_1}(\lambda_1^{\delta})) \le s \end{equation}

なので、 $f^*(s)$ の定義から

\begin{equation} f^*(s) \lt \lambda_0^{\delta}+\lambda_1^{\delta} \lt f_0^*( (1-\varepsilon)s)+f_1^*(\varepsilon s)+\delta \end{equation}

とできます。ゆえに $f^*(s) \le f_0^*( (1-\varepsilon)s)+f_1^*(\varepsilon s)$ が成立します。したがって補題 J,Kおよび変数変換 $r=(1-\varepsilon)s$ より

\begin{equation}\begin{split} &\left\{ \int_0^{t^p} (f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &\le \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \\ &\times \left[ \left\{ \int_0^{t^p} ( f_0^*( (1-\varepsilon)s ) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}}+\left\{ \int_0^{t^p} ( f_1^*( \varepsilon s ) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \right] \\ &\le \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \\ &\times \left[ \left\{ \int_0^{(1-\varepsilon)t^p} ( f_0^*( r ) )^p (1-\varepsilon)^{-1}dr \right\}^{\frac{1}{p}}+\left\{ ( f_1^*(0 ) )^p \int_0^{t^p} ds \right\}^{\frac{1}{p}} \right] \\ &\le \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \left[ (1-\varepsilon)^{-1/p} \left\{ \int_0^{\infty} ( f_0^*( r ) )^p dr \right\}^{\frac{1}{p}}+tf_1^*(0) \right] \end{split}\end{equation}

となります。補題 Kより $\left\{ \int_0^{\infty} ( f_0^*( r ) )^p dr \right\}^{1/p}=\|f_0\|_{L^p(\Omega :X)}$ であり、また $f_1^*(0)=\|f_1\|_{L^{\infty}(\Omega :X)}$ です。実際、

\begin{equation}\begin{split} f_1^*(0) &=\inf\{ \lambda \gt 0 \, | \, \mu (E_{f_1}(\lambda ) ) \le 0 \} \\ E_{f_1}(\lambda ) &=\{ x \in \Omega \, | \, \|f_1(x)\| \gt \lambda \} \end{split}\end{equation}

より分かりますね。さて、

\begin{equation}\begin{split} &\left\{ \int_0^{t^p} (f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &\le \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \left\{ (1-\varepsilon)^{-1/p} \|f_0\|_{L^p(\Omega :X)}+t\|f_1\|_{L^{\infty}(\Omega :X)} \right\} \end{split}\end{equation}

より $\varepsilon \to +0$ としてから分解 $f=f_0+f_1$ の下限をとれば

\begin{equation}\begin{split} &\left\{ \int_0^{t^p} (f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &\le \max\{ 1,2^{1/p-1} \}K(t,f,L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X)) \end{split}\end{equation}

となります。したがって主張が示されました！！

さて、いよいよLorentz空間と実補間との関係を見ていきましょう！！ここで前回の定理 Iであるreiteration theoremが火を吹きます！！

(定理 I) $X_0,X_1,Y_0,Y_1$ をBanach空間とする。任意の $\theta_0 \neq \theta_1$ なる $0 \lt \theta_0,\theta_1 \lt 1$ および $0 \lt \alpha \lt 1$ また $1 \le q,q_0,q_1 \le \infty$ に対して

\begin{gather} ( (X_0,X_1)_{\theta_0,q_0},(X_0,X_1)_{\theta_1,q_1} )_{\alpha ,q}=(X_0,X_1)_{\theta,q} \\ \text{where} \quad \theta=(1-\alpha)\theta_0+ \alpha\theta_1 \end{gather}

が位相同型の意味で成立する。

さて、ではいきましょう。

(定理 M) $1 \le p_0,p_1 \lt \infty$ は $p_0 \neq p_1$ を満たしており、 $1 \le q,q_0,q_1 \le \infty$ とする。このとき任意の $0 \lt \theta \lt 1$ に対して

\begin{gather} (L^{p_0,q_0}(\Omega:X),L^{p_1,q_1}(\Omega:X))_{\theta,q}=L^{p,q}(\Omega:X) \\ \text{where} \quad \frac{1}{p}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1} \end{gather}

が位相同型の意味で成立する。

いくつかのステップに分けて証明します。まずは $0 \lt p \lt q \le \infty$ の条件のもと

\begin{equation} (L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\theta,q}=L^{p/(1-\theta),q}(\Omega:X) \end{equation}

を示しましょう。 $1 \le q \lt \infty$ のとき定理 Lより

\begin{equation}\begin{split} &\|f\|_{(L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\theta,q}} \\ &=\Phi_{\theta,q} [K(\cdot,f,L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))] \\ &= \left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}K(t,f,L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X) ) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le \max\{ 1,2^{1-1/p} \} \left[ \int_0^{\infty} \left\{ t^{-\theta p} \int_0^{t^p} ( f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \right]^{\frac{1}{q}} \end{split}\end{equation}

ですが、ここで変数変換 $s=t^pr$ より

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^{\infty} \left\{ t^{-\theta p} \int_0^{t^p} ( f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \\ &= \int_0^{\infty} \left\{ t^{-\theta p} \int_0^1 ( f^*(t^p r) )^p t^p dr \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \\ &= \int_0^{\infty} \left\{ \int_0^1 rt^{(1-\theta)p} ( f^*(t^p r) )^p \frac{dr}{r} \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \end{split}\end{equation}

なので、 $q/p \gt 1$ に注意して積分の $L^{q/p}$ normを中に入れれば、再び変数変換 $s=t^pr$ より

\begin{equation}\begin{split} &\left[ \int_0^{\infty} \left\{ \int_0^1 rt^{(1-\theta)p} ( f^*(t^p r) )^p \frac{dr}{r} \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \right]^{\frac{p}{q}} \\ &\le \int_0^1 \left[ \int_0^{\infty} \left\{ rt^{(1-\theta)p} ( f^*(t^p r) )^p \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \right]^{\frac{p}{q}} \frac{dr}{r} \\ &= \int_0^1 \left\{ \int_0^{\infty} r^{\frac{q}{p}} ( t^{1-\theta}f^*(t^pr) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{p}{q}} \frac{dr}{r} \\ &= \int_0^1 \left\{ \int_0^{\infty} r^{\frac{q}{p}} ( (s/r)^{\frac{1-\theta}{p}}f^*(s) )^q \frac{(1/p)r^{-\frac{1}{p}}s^{\frac{1}{p}-1}ds}{r^{-\frac{1}{p}}s^{\frac{1}{p}}} \right\}^{\frac{p}{q}} \frac{dr}{r} \\ &= \int_0^1 \left\{ \int_0^{\infty} r^{\frac{q}{p}} r^{-\frac{(1-\theta)q}{p}} (s^{\frac{1-\theta}{p}}f^*(s) )^q \frac{ds}{ps} \right\}^{\frac{p}{q}} \frac{dr}{r} \\ &= \int_0^1 p^{-p/q}r^{\theta -1} \|f\|_{L^{p/(1-\theta),q}(\Omega:X)}^p dr \\ &= \theta^{-1}p^{-p/q} \|f\|_{L^{p/(1-\theta),q}(\Omega:X)}^p \end{split}\end{equation}

となります。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} &\|f\|_{(L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\theta,q}} \\ &\le \max\{ 1,2^{1-1/p} \} \left[ \int_0^{\infty} \left\{ \int_0^1 rt^{(1-\theta)p} ( f^*(t^p r) )^p \frac{dr}{r} \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \right]^{\frac{1}{q}} \\ &\le \max\{ 1,2^{1-1/p} \}\theta^{-1/p}p^{1/q}\|f\|_{L^{p/(1-\theta),q}(\Omega:X)} \end{split}\end{equation}

ですね。さて、一番初めの計算において定理 Lの逆側の不等式を用いれば

ですから、補題 Kおよび変数変換により

\begin{equation}\begin{split} &\|f\|_{(L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\theta,q}} \\ &\ge \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \left[ \int_0^{\infty} \left\{ t^{-\theta p} \int_0^{t^p} ( f^*(t^p) )^p ds \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \right]^{\frac{1}{q}} \\ &\ge \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \left[ \int_0^{\infty} \left\{ t^{(1-\theta) p} ( f^*(t^p) )^p \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{dt}{t} \right]^{\frac{1}{q}} \\ &= \max\{ 1,2^{1/p-1} \} \left[ \int_0^{\infty} \left\{ s^{(1-\theta)} ( f^*(s) )^p \right\}^{\frac{q}{p}} \frac{(1/p)s^{\frac{1}{p}-1}ds}{s^{\frac{1}{p}}} \right]^{\frac{1}{q}} \\ &= \max\{ 1,2^{1/p-1} \} p^{-1/q} \left\{ \int_0^{\infty} ( s^{\frac{1-\theta}{p}} f^*(s) )^q \frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= \max\{ 1,2^{1/p-1} \} p^{-1/q}\|f\|_{L^{p/(1-\theta),q}(\Omega:X)} \end{split}\end{equation}

となって $1 \le q \lt \infty$ の場合は示されました！！ $q=\infty$ の場合はもっとシンプルで、 $\|f\|_{L^{p/(1-\theta),\infty}(\Omega:X)}=\sup_{0 \lt t \lt \infty}\{ t^{(1-\theta)/p}f^*(t) \}$ なので任意の $t \gt 0$ に対して $f^*(t) \le t^{-(1-\theta)/p}\|f\|_{L^{p/(1-\theta),\infty}(\Omega:X)}$ であることに注意すれば

\begin{equation}\begin{split} &t^{-\theta}\left\{ \int_0^{t^p} ( f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &\le t^{-\theta}\left\{ \int_0^{t^p} s^{-(1-\theta)}\|f\|_{L^{p/(1-\theta),\infty}(\Omega:X)}^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &= t^{-\theta} \|f\|_{L^{p/(1-\theta),\infty}(\Omega:X)} \cdot \theta^{-1/p}t^{\theta} \\ &=\theta^{-1/p}\|f\|_{L^{p/(1-\theta),\infty}(\Omega:X)} \end{split}\end{equation}

および補題 Kより

\begin{equation}\begin{split} f^*(t^p) &= t^{-1}f^*(t^p)\left(\int_0^{t^p}ds\right)^{\frac{1}{p}} \\ &\le t^{-1}\left\{ \int_0^{t^p} ( f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &\le t^{-1+\theta}t^{-\theta}\left\{ \int_0^{t^p} ( f^*(s) )^p ds \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &\le t^{-1+\theta} \|f\|_{(L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\theta,\infty}} \end{split}\end{equation}

から $t^p$ を $t$ に置き換えればOKです。

さて、いま示したことは $0 \lt p \lt q \le \infty$ ならば

\begin{equation} (L^p(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\theta,q}=L^{p/(1-\theta),q}(\Omega:X) \end{equation}

でした。これをreiterationで拡張しましょう。まず上の関係から任意の $1 \le p_0 \lt p_1 \lt \infty$ に対して

\begin{equation}\begin{split} (L^{(1-\alpha_0)p_0}(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\alpha_0,q_0} &=L^{p_0,q_0}(\Omega:X) \\ (L^{(1-\alpha_1)p_1}(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X))_{\alpha_1,q_1} &=L^{p_1,q_1}(\Omega:X) \end{split}\end{equation}

とできます。ただし $(1-\alpha_0)p_0 \lt q_0 \le \infty$ および $(1-\alpha_1)p_1 \lt q_1 \le \infty$ ですね。さて、ここで $0 \lt \alpha_0,\alpha_1 \lt 1$ は何でもよいですから、例えば $\alpha_0=1-1/(2p_0)$ および $\alpha_1=1-1/(2p_1)$ とすれば

\begin{equation} (1-\alpha_0)p_0=(1-\alpha_1)p_1=\frac{1}{2} \end{equation}

となります。ゆえに $1 \le q_0,q_1 \le \infty$ はなんでもよいですね。さてreiteration theoremより、任意の $0 \lt \theta \lt 1$ に対して $\alpha=(1-\theta)\alpha_0+\theta \alpha_1$ とすれば、任意の $1 \le q \le \infty$ に対して

\begin{equation}\begin{split} (L^{p_0,q_0}(\Omega:X),L^{p_1,q_1}(\Omega:X) )_{\theta,q} &= (L^{1/2}(\Omega:X),L^{\infty}(\Omega:X) )_{\alpha,q} \\ &=L^{\{2(1-\alpha)\}^{-1},q}(\Omega:X) \end{split}\end{equation}

ですね。さて、 $p=\{2(1-\alpha)\}^{-1}$ とおくと、

\begin{equation}\begin{split} \frac{1}{p} &= 2(1-\alpha) \\ &=2\left\{ 1-(1-\theta)\alpha_0-\theta \alpha_1 \right\} \\ &= 2 -2(1-\theta)\left( 1-\frac{1}{2p_0} \right)-2\theta \left( 1-\frac{1}{2p_1} \right) \\ &= 2-2(1-\theta)+\frac{1-\theta}{p_0}-2\theta+\frac{\theta}{p_1} \\ &= \frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1} \end{split}\end{equation}

が分かります。ゆえにこれで証明終了です！！

かなり大変な議論が続きましたが、ようやく実補間の定理を示すことができましたね！！とりあえずここで一区切りということですが、reiteration theoremがあればかなりいろいろな実補間が扱えそうな気がしますので、もし気が向いたら続きもやってみようかなと思います。見てくださってありがとうございます。