Besov空間の近似について - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。論文を書いている途中で分からなかったことがあったので、自分用のメモです。

$1 \le p,q \lt \infty , \, s \in \mathbb{R}$ とするとき、Besov空間 $\dot{B}_{p,q}^s$ はSchwartz空間 $\mathscr{S}$ で近似可能である。

初めに、任意の $f \in \mathscr{S}_0^*$ はLittlewood-Paley分解によって

\begin{equation} f=\sum_{j=-\infty}^{\infty} (\varphi_j*f) \quad \text{in } \mathscr{S}_0^* \end{equation}

と分解されることに注意する。特に $f \in \dot{B}_{p,q}^s$ ならば上記の分解は $\dot{B}_{p,q}^s$ の位相でも収束する。実際、任意の $k \in \mathbb{Z}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} &2^{sk}\left\| \varphi_k*\left\{ f-\sum_{j=-N}^N (\varphi_j*f) \right\}\right\|_{L^p} \\ &= 2^{sk}\left\| (\varphi_k*f)-\sum_{j=-N}^N (\varphi_k*\varphi_j*f) \right\|_{L^p} \\ &= 2^{sk}\left\| (\varphi_k*(\varphi_{k- 1}+\varphi_k+\varphi_{k+1})*f)-\sum_{j=-N}^N (\varphi_k*\varphi_j*f) \right\|_{L^p} \end{split}\end{equation}

であるが、 $-N+1 \le k \le N -1$ ならば

\begin{equation} \sum_{j=-N}^N (\varphi_k*\varphi_j*f)=(\varphi_k*(\varphi_{k- 1}+\varphi_k+\varphi_{k+1})*f) \end{equation}

であり、 $|k| \ge N$ の場合は $\|\varphi_k\|_{L^1}=\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}$ に注意すれば

\begin{equation}\begin{split} &\left\| (\varphi_k*(\varphi_{k- 1}+\varphi_k+\varphi_{k+1})*f)-\sum_{j=-N}^N (\varphi_k*\varphi_j*f) \right\|_{L^p} \\ &\le 3\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}\|\varphi_k*f\|_{L^p}+3\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}\|\varphi_k*f\|_{L^p} \\ &=6\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}\|\varphi_k*f\|_{L^p} \end{split}\end{equation}

と評価できる。したがって

\begin{equation}\begin{split} &2^{sk}\left\| \varphi_k*\left\{ f-\sum_{j=-N}^N (\varphi_j*f) \right\}\right\|_{L^p} \\ &\le \left\{\begin{array}{cc} 0 & -N+1 \le k \le N -1 \\ 6\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}2^{sk}\|\varphi_k*f\|_{L^p} & |k| \ge N \end{array}\right.\end{split}\end{equation}

が成立し、

\begin{equation}\begin{split} &\left\| f-\sum_{j=-N}^N (\varphi_j*f) \right\|_{\dot{B}_{p,q}^s} \\ &\le \left\{ \sum_{|k| \ge N} \left( 6\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}2^{sk}\|\varphi_k*f\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= 6\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1} \left\{ \sum_{|k| \ge N} \left( 2^{sk}\|\varphi_k*f\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \end{split}\end{equation}

を得る。ここで $f \in \dot{B}_{p,q}^s$ より

\begin{equation} \|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s}=\left\{ \sum_{k=-\infty}^{\infty} \left( 2^{sk}\|\varphi_k*f\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \lt \infty \end{equation}

だから、上式は $N \to \infty$ で $0$ に収束する。したがって

\begin{equation} f_N=\sum_{j=-N}^N (\varphi_j*f) \end{equation}

とおくと、

\begin{equation} \lim_{N \to \infty}\|f-f_N\|_{\dot{B}_{p,q}^s} =0 \end{equation}

が成立する。ここで、 $f_N \in C^{\infty}$ であることに注意する。実際、 $f \in \mathscr{S}_0^* , \, \varphi_j \in \mathscr{S}_0$ であるから $\varphi_j*f \in C^{\infty}$ であり、その有限和であるから $f_N \in C^{\infty}$ である。

次に、十分大きな $R \gt 0$ をとり、滑らかなcutoff関数で

\begin{equation} \chi_R(x)=\left\{\begin{array}{cl} 1 & |x| \le R \\ 0 & |x| \ge 2R \end{array}\right. \end{equation}

なるようなものを選ぶ。ここで

\begin{equation} f_{N,R}= \left( \sum_{j=-2N}^{2N}\varphi_j \right)*(\chi_R f_N) \end{equation}

とおくと、 $f_{N,R} \in \mathscr{S}$ である。実際、

\begin{equation} \chi_R \in C_0^{\infty} \subset \mathscr{S} , \quad f_N \in C^{\infty} , \quad \varphi_j \in \mathscr{S}_0 \subset \mathscr{S} \end{equation}

および $\mathscr{S}$ は畳み込みに関して閉じていることに注意すればよい。また、

\begin{equation} f_N=\sum_{k=-N}^N (\varphi_k*f) \end{equation}

より

\begin{equation}\begin{split} f_N &=\sum_{j=-\infty}^{\infty}(\varphi_j*f_N) \\ &=\sum_{j=-\infty}^{\infty}\left\{\varphi_j*\sum_{k=-N}^N (\varphi_k*f)\right\} \\ &=\sum_{j=-2N}^{2N}\left\{\varphi_j*\sum_{k=-N}^N (\varphi_k*f)\right\} \\ &=\left(\sum_{j=-2N}^{2N}\varphi_j\right)*f_N \end{split}\end{equation}

であることに注意すれば、

\begin{equation} f_N-f_{N,R}=\left( \sum_{j=-2N}^{2N}\varphi_j \right)*( (1-\chi_R) f_N) \end{equation}

を得る。ここで $|k| \ge 2N+2$ のとき

\begin{equation} \varphi_k*(f_N-f_{N,R})=\varphi_k*\left( \sum_{j=-2N}^{2N}\varphi_j \right)*( (1-\chi_R) f_N)=0 \end{equation}

であることに注意すれば、

\begin{equation}\begin{split} &\|f_N-f_{N,R}\|_{\dot{B}_{p,q}^s} \\ &=\left\{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\left( 2^{sk}\|\varphi_k*( f_N-f_{N,R} )\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= \left\{ \sum_{k=-2N-1}^{2N+1}\left( 2^{sk} \left\| \varphi_k*\left( \sum_{j=-2N}^{2N}\varphi_j \right)*( (1-\chi_R) f_N) \right\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le \left\{ \sum_{k=-2N-1}^{2N+1} \left( 2^{sk}\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}\sum_{j=-2N}^{2N}\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}\|(1-\chi_R)f_N\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= (4N+1)\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}^2\|(1-\chi_R)f_N\|_{L^p}\left( \sum_{k=-2N-1}^{2N+1} 2^{qsk} \right)^{\frac{1}{q}} \\ &\le (4N+1)(4N+3)^{\frac{1}{q}}2^{(2N+1)|s|}\|\mathcal{F}^{-1}\varphi\|_{L^1}^2\|(1-\chi_R)f_N\|_{L^p} \end{split}\end{equation}

を得る。ここで

\begin{equation} \|(1-\chi_R)f_N\|_{L^p}^p=\int_{\mathbb{R}^n} |(1-\chi_R(x) )f_N(x)|^p dx \end{equation}

において、 $|(1-\chi_R)f_N|^p \le |f_N|^p$ および

\begin{equation}\begin{split} \int_{\mathbb{R}^n}|f_N(x)|^pdx &=\|f_N\|_{L^p}^p \\ &=\left\| \sum_{k=-N}^N (\varphi_k*f) \right\|_{L^p}^p \\ &\le \left( \sum_{k=-N}^N \|\varphi_k*f\|_{L^p} \right)^p \\ &\lt \infty \end{split}\end{equation}

に注意すれば、Lebesgueの収束定理より

\begin{equation} \lim_{R \to \infty} \|(1-\chi_R)f_N\|_{L^p}=0 \end{equation}

すなわち

\begin{equation} \lim_{R \to \infty} \|f_N-f_{N,R}\|_{\dot{B}_{p,q}^s}=0 \end{equation}

が成立する。ゆえに、任意の $f \in \dot{B}_{p,q}^s$ に対して

\begin{equation} f_{N,R}= \left( \sum_{j=-2N}^{2N}\varphi_j \right)*(\chi_R f_N) \end{equation}

とおけば

\begin{equation}\begin{split} \|f-f_{N,R}\|_{\dot{B}_{p,q}^s} &\le \|f-f_N\|_{\dot{B}_{p,q}^s}+\|f_N-f_{N,R}\|_{\dot{B}_{p,q}^s} \\ &\to \|f-f_N\|_{\dot{B}_{p,q}^s} \quad (R \to \infty) \\ &\to 0 \quad (N \to \infty) \end{split}\end{equation}

を得るから、Besov空間 $\dot{B}_{p,q}^s$ はSchwartz空間 $\mathscr{S}$ で近似可能である。また、証明から分かるように実際はより狭い $\mathscr{S}_0$ で近似できることが分かる。