実補間理論の勉強 - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。実補間理論をやりましょう。

過去にも少しやりましたが、もっと掘り下げてしっかりと定式化していきます。最終的なゴールはLorentz空間の補間理論あたりまで見ていきたいですね。なお、Bergh-Löfströmを参考にしています。さて、ではまずは定義から確認していきましょう。

まずは $X_0,X_1$ をBanach空間とします。次の2つのBanach空間

\begin{equation}\begin{split} X_0+X_1&=\{ f_0+f_1 \, | \, (f_0,f_1) \in X_0 \times X_1 \} \\ \|f\|_{X_0+X_1}&=\inf_{f=f_0+f_1 , \, (f_0,f_1) \in X_0 \times X_1}\left\{\|f_0\|_{X_0}+ \|f_1\|_{X_1}\right\} \\ X_0 \cap X_1 &=\{ f \, | \, f \in X_0 , \, f \in X_1 \} \\ \|f\|_{X_0 \cap X_1}&=\max\left\{\|f\|_{X_0},\|f\|_{X_1}\right\} \end{split}\end{equation}

に対して、それぞれ関数

\begin{gather} K: [0,\infty) \times (X_0+X_1) \to \mathbb{R} \\ J: [0,\infty) \times (X_0 \cap X_1) \to \mathbb{R} \end{gather}

を

\begin{equation}\begin{split} K(t,f) &=K(t,f,X_0,X_1) \\ &=\inf_{f=f_0+f_1 , \, (f_0,f_1) \in X_0 \times X_1}\left\{\|f_0\|_{X_0}+t \|f_1\|_{X_1}\right\} \\ J(t,f) &=J(t,f,X_0,X_1) \\ &=\max\left\{\|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1}\right\} \end{split}\end{equation}

と定義しましょう。 $0 \le \theta \le 1$ および $1 \le q \le \infty$ とし、 $(0,\infty)$ 上の非負値関数 $\varphi$ に対して

\begin{equation} \Phi_{\theta,q}[\varphi ]=\left\{ \begin{array}{cl} \left\{ \int_0^{\infty}(t^{-\theta}\varphi (t) )^q dt/t \right\}^{1/q} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, 1 \le q \lt \infty ) \\ \sup_{0 \lt t \lt \infty}\{ t^{-\theta}\varphi (t) \} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, q=\infty ) \end{array}\right. \end{equation}

とおきましょう。ここで

\begin{equation}\begin{split} K_{\theta,q}&=K_{\theta,q}(X_0,X_1) \\ &=\left\{ f \in X_0+X_1 \, \left| \, \|f\|_{K_{\theta,q}}=\Phi_{\theta,q}[K(\cdot , f) ] \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

とします。他方、

\begin{equation}\mathscr{J}(f)=\left\{ u \, \left| \, u(t) \in X_0 \cap X_1 , \, f=\int_0^{\infty}u(t)\frac{dt}{t} \right.\right\}\end{equation}

に対して

\begin{equation}\begin{split} J_{\theta,q}&=J_{\theta,q}(X_0,X_1) \\ &=\left\{ f \in X_0 + X_1 \, \left| \, \|f\|_{J_{\theta,q}}=\inf_{u \in \mathscr{J}(f)}\Phi_{\theta,q}[J(\cdot , u(\cdot) ) ] \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

とします。そして

\begin{equation} \lambda_{\theta,q}=\left\{ \{a_j\}_{j \in \mathbb{Z}} \subset \mathbb{R} \, \left| \, \|\{a_j\}\|_{\lambda_{\theta,q}} \lt \infty \right. \right\} \end{equation}

を定義します。ただし

\begin{equation} \|\{a_j\}\|_{\lambda_{\theta,q}}=\left\{ \begin{array}{cl} \left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} (2^{-j \theta}|a_j|)^q \right\}^{1/q} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, 1 \le q \lt \infty ) \\ \sup_{j \in \mathbb{Z}}\{ 2^{-j \theta}|a_j| \} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, q=\infty ) \end{array}\right. \end{equation}

としましょう。

さて、これでいったん定義は終了です。このような定義のもと、どのようなことが示されていくかを順に確認していきましょう。

(補題 A)

(i) 任意の $t \ge 0 , \, a \in \mathbb{R}$ および $f,g \in X_0+X_1$ に対して

\begin{equation}\left\{\begin{gathered} K(s,f)=0 \quad \text{for all} \quad s \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f = 0 \\ K(t,af) =|a| K(t,f) \\ K(t,f+g) \le K(t,f)+K(t,g) \end{gathered}\right.\end{equation}

が成立する。

(ii) 任意の $t \ge 0 , \, a \in \mathbb{R}$ および $f,g \in X_0 \cap X_1$ に対して

\begin{equation}\left\{\begin{gathered} J(s,f)=0 \quad \text{for all} \quad s \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f = 0 \\ J(t,af) =|a| J(t,f) \\ J(t,f+g) \le J(t,f)+J(t,g) \end{gathered}\right.\end{equation}

が成立する。

(iii) 任意の $a \ge 0$ および $(0,\infty)$ 上の非負値関数 $\varphi , \psi$ に対して

\begin{equation}\left\{\begin{gathered} \Phi_{\theta,q}[\varphi]=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \varphi \equiv 0 \\ \Phi_{\theta,q}[ a\varphi ] =a \Phi_{\theta,q}[ \varphi ] \\ \Phi_{\theta,q}[\varphi+\psi] \le \Phi_{\theta,q}[\varphi]+\Phi_{\theta,q}[\psi] \end{gathered}\right.\end{equation}

が成立する。また、 $\Phi_{\theta,q}$ は単調増加である。

(i) $f=f_0+f_1 , \, g=g_0+g_1$ と分解しておきます。 $X_0+X_1$ がBanach空間であることは認めて(意外にもこれがめんどくさそう)、定義より

\begin{equation} \|f\|_{X_0+X_1}=K(1,f)=0 \quad \Longrightarrow \quad f = 0 \end{equation}

を得ます。また、 $af=af_0+af_1$ より

\begin{equation}\begin{split} K(t,af) &\le \|af_0\|_{X_0}+t\|af_1\|_{X_1} \\ &= |a| \left( \|f_0\|_{X_0}+t\|f_1\|_{X_1} \right) \end{split}\end{equation}

であり、 $af=f_0^a+f_1^a$ とすると $f=a^{-1}f_0^a+a^{-1}f_1^a$ ですから

\begin{equation}\begin{split} |a|K(t,f) &\le |a|\left(\|a^{-1}f_0^a\|_{X_0}+t\|a^{-1}f_1^a\|_{X_1}\right) \\ &= \|f_0^a\|_{X_0}+t\|f_1^a\|_{X_1} \end{split}\end{equation}

です。それぞれ下限をとって $K(t,af)=|a|K(t,f)$ となりますね。一方で $f+g=(f_0+g_0)+(f_1+g_1)$ より

\begin{equation}\begin{split} K(t,f+g) &\le \|f_0+g_0\|_{X_0}+t\|f_1+g_1\|_{X_1} \\ &\le \left(\|f_0\|_{X_0}+t\|f_1\|_{X_1}\right)+\left(\|g_0\|_{X_0}+t\|g_1\|_{X_1}\right) \end{split}\end{equation}

ですから、再び下限をとって $K(t,f+g) \le K(t,f)+K(t,g)$ です。

(ii) $\|f\|_{X_0} \le J(s,f)=0$ より $f = 0$ であり、

\begin{equation}\begin{split} J(t,af)&=\max\left\{\|af\|_{X_0},t\|af\|_{X_1}\right\} \\ &=|a|\max\left\{\|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1}\right\} \\ &=|a|J(t,f) \\ J(t,f+g) &=\max\left\{ \|f+g\|_{X_0},t\|f+g\|_{X_1} \right\} \\ &\le \max\left\{\|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1}\right\}+\max\left\{\|g\|_{X_0},t\|g\|_{X_1}\right\} \\ &=J(t,f)+J(t,g) \end{split}\end{equation}

ですね。

(iii) 定義より

ですから、 $d\mu=dt/t$ という測度を考えれば $\Phi_{\theta,q} [ \varphi ] =\|t^{-\theta}\varphi \|_{L^q( (0,\infty),\mu)}$ とできます。ゆえに $L^q$ normの性質を用いればよいですね。

(補題 B)

(i) 任意の $f \in X_0+X_1$ に対して $K(\cdot,f)$ は非負値単調増加凹関数である。また、 $K(t,f) \le \max\{1,t/s\}K(s,f)$ が成立する。

(ii) 任意の $f \in X_0 \cap X_1$ に対して $J(\cdot,f)$ は非負値単調増加凸関数である。また、 $J(t,f) \le \max\{1,t/s\}J(s,f)$ および $K(t,f) \le \min\{1,t/s\}J(s,f)$ が成立する。

(i) 非負値単調増加性は明らかです。凹性もすぐ分かります。実際、 $f=f_0+f_1$ としたとき、任意の $0 \le a \le 1$ と $t_0,t_1 \gt 0$ に対して

\begin{equation}\begin{split} &\|f_0\|_{X_0}+(at_0+(1-a)t_1)\|f_1\|_{X_1} \\ &=a\left( \|f_0\|_{X_0}+t_0\|f_1\|_{X_1} \right)+(1-a)\left(\|f_0\|_{X_0}+t_1\|f_1\|_{X_1}\right) \\ &\ge aK(t_0,f)+(1-a)K(t_1,f) \end{split}\end{equation}

ですから、左辺の下限をとって

\begin{equation} K(at_0+(1-a)t_1,f) \ge aK(t_0,f)+(1-a)K(t_1,f) \end{equation}

ですね。また、

\begin{equation}\begin{split} K(t,f) \le \|f_0\|_{X_0}+t\|f_1\|_{X_1} \le \max\{1,t/s\}\left(\|f_0\|_{X_0}+s\|f_1\|_{X_1}\right) \end{split}\end{equation}

より再び下限をとって $K(t,f) \le \max\{1,t/s\}K(s,f)$ となります。

(ii) (i)と同様に示しましょう。すなわち $f \in X_0 \cap X_1$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{X_0}&=a\|f\|_{X_0}+(1-a)\|f\|_{X_0} \\ &\le aJ(t_0,f)+(1-a)J(t_1,f) \end{split}\end{equation}

および

\begin{equation}\begin{split} \left(at_0+(1-a)t_1\right)\|f\|_{X_1} &=a \cdot t_0\|f\|_{X_1}+(1-a) \cdot t_1\|f\|_{X_1} \\ &\le aJ(t_0,f)+(1-a)J(t_1,f) \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation} J(at_0+(1-a)t_1,f) \le aJ(t_0,f)+(1-a)J(t_1,f) \end{equation}

となり凸性はOKですね。そして

\begin{equation}\begin{split} J(t,f) &=\max\{\|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1}\} \\ &\le \max\{1,t/s\}\max\{ \|f\|_{X_0},s\|f\|_{X_1} \} \\ &=\max\{1,t/s\}J(s,f) \end{split}\end{equation}

もすぐ分かります。他方、 $f \in X_0 \cap X_1$ ですから $f=f+0 \in X_0+X_1$ とみることができます。同様に $f=0+f \in X_0+X_1$ とも思えますね。したがって

\begin{equation} K(t,f) \le \|f\|_{X_0}+t\|0\|_{X_1} =\|f\|_{X_0} \le J(s,f) \end{equation}

および

\begin{equation} K(t,f) \le \|0\|_{X_0}+t\|f\|_{X_1} =(t/s) \cdot s\|f\|_{X_1} \le (t/s)J(s,f) \end{equation}

が成立するので、 $K(t,f) \le \min\{1,t/s\}J(s,f)$ です。

(定理 C) $K_{\theta,q} , J_{\theta,q}$ はそれぞれnorm空間である(実際は完備性も従う)。

さて、まずは $K_{\theta,q}$ について、任意の $a \in \mathbb{R}$ および $f,g \in K_{\theta,q}$ に対して補題 Aより

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{K_{\theta,q}}&=\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f)]=0 \\ &\Longrightarrow \quad K(t,f) =0 \quad \text{for all} \quad t \ge 0 \\ &\Longrightarrow \quad f = 0 \\ \|af\|_{K_{\theta,q}} &=\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,af)] \\ &=\Phi_{\theta,q}[|a|K(\cdot,f)] \\ &=|a|\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f)] \\ &=|a|\|f\|_{K_{\theta,q}} \\ \|f+g\|_{K_{\theta,q}} &=\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f+g)] \\ &\le \Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f)+K(\cdot,g)] \\ &\le \Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f)] +\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,g)] \\ &=\|f\|_{K_{\theta,q}}+\|g\|_{K_{\theta,q}} \end{split}\end{equation}

ですね。最後の三角不等式では $\Phi_{\theta,q}$ の単調増加性を用いています。

さて $J_{\theta,q}$ については定義が下限で与えられているので少しめんどくさいです。まずは $f \in J_{\theta,q}$ に対して $J_{\theta,q}$ の定義から $f=\int_0^{\infty}u(t)dt/t$ という表現を与えておきましょう。任意の $a \in \mathbb{R}$ に対して $af=\int_0^{\infty} a u(t)dt/t$ なので、下限の定義および補題 Aから

\begin{equation}\begin{split} \|af\|_{J_{\theta,q}} &\le \Phi_{\theta,q}[ J(\cdot,a u(\cdot) ) ] \\ &=\Phi_{\theta,q}[ |a|J(\cdot, u(\cdot) ) ] \\ &=|a|\Phi_{\theta,q}[ J(\cdot, u(\cdot) ) ] \end{split}\end{equation}

より右辺の下限をとって $\|af\|_{J_{\theta,q}} \le |a|\|f\|_{J_{\theta,q}}$ ですね。また $af$ に対して $u_a \in \mathscr{J}(a f)$ とすると、定義より $af=\int_0^{\infty}u_a(t)dt/t$ という表現があり、すなわち $f=\int_0^{\infty}a^{-1}u_a(t)dt/t$ なので、補題 Aより

\begin{equation}\begin{split} |a|\|f\|_{J_{\theta,q}} &\le |a|\Phi_{\theta,q}[ J(\cdot, a^{-1}u_a(\cdot) ) ] \\ &=\Phi_{\theta,q}[ |a|J(\cdot, a^{-1}u_a(\cdot) ) ] \\ &=\Phi_{\theta,q}[ J(\cdot, u_a(\cdot) ) ] \end{split}\end{equation}

です。やはり下限をとって $|a|\|f\|_{J_{\theta,q}} \le \|f\|_{J_{\theta,q}}$ ですね。三角不等式も同様です。 $f=\int_0^{\infty}u(t)dt/t , \, g=\int_0^{\infty}v(t)dt/t$ として補題 Aより

\begin{equation}\begin{split} \|f+g\|_{J_{\theta,q}} &\le \Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot)+v(\cdot) )] \\ &\le \Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot) )+ J(\cdot,v(\cdot) )] \\ &\le \Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot) )]+\Phi_{\theta,q}[ J(\cdot,v(\cdot) )] \end{split}\end{equation}

で、右辺の下限をとればよいです。さて、最後に $\|f\|_{J_{\theta,q}}=0$ ならば $f=0$ についてですが、これはけっこうめんどいです。 $0 \lt \theta \lt 1$ および $1 \le q \lt \infty$ の場合を考えましょう。Hölder共役 $1/q+1/q'=1$ を考え、次の定数

\begin{equation} M= (\theta q')^{-1/q'}+\{ (1-\theta)q' \}^{-1/q'} \end{equation}

を与えておきます。さて $f \in J_{\theta,q}$ とするとき、下限の定義から任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して

\begin{equation} \Phi_{\theta,q}[J(\cdot, u_{\varepsilon}(\cdot) )] \lt \|f\|_{J_{\theta,q}}+\varepsilon /M \end{equation}

なる $u_{\varepsilon} \in \mathscr{J}(f)$ がとれます。 $\mathscr{J}(f)$ の定義から $u_{\varepsilon}(t) \in X_0 \cap X_1$ なので、補題 Bより

\begin{equation} \|u_{\varepsilon}(t)\|_{X_0+X_1}=K(1,u_{\varepsilon}(t) ) \le \min\{1,1/t\}J(t,u_{\varepsilon}(t) )\end{equation}

となります。 $\mathscr{J}(f)$ の定義から $f=\int_0^{\infty}u_{\varepsilon}(t)dt/t$ なので、Hölderの不等式より

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{X_0+X_1} &\le \int_0^{\infty}\|u_{\varepsilon}(t)\|_{X_0+X_1} \frac{dt}{t} \\ &\le \left( \int_0^1+\int_1^{\infty} \right) \min\{1,1/t\}J(t,u_{\varepsilon}(t) ) \frac{dt}{t} \\ &=\int_0^1 J(t,u_{\varepsilon}(t) ) \frac{dt}{t}+\int_1^{\infty} (1/t) \cdot J(t,u_{\varepsilon}(t) ) \frac{dt}{t} \\ &\le \left( \int_0^1 t^{\theta q'} \frac{dt}{t} \right)^{\frac{1}{q'}}\left\{ \int_0^1 (t^{-\theta}J(t,u_{\varepsilon}(t) ) )^q\frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &+ \left( \int_1^{\infty} t^{-(1-\theta) q'} \frac{dt}{t} \right)^{\frac{1}{q'}}\left\{ \int_1^{\infty} (t^{-\theta}J(t,u_{\varepsilon}(t) ) )^q\frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le (\theta q')^{-1/q'}\Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u_{\varepsilon}(\cdot) )] \\ &+\{ (1-\theta)q' \}^{-1/q'} \Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u_{\varepsilon}(\cdot) )] \\ &\lt M \|f\|_{J_{\theta,q}}+\varepsilon \end{split}\end{equation}

を得ます。ゆえにもし $\|f\|_{J_{\theta,q}}=0$ ならば $\|f\|_{X_0+X_1} \lt \varepsilon$ なので、 $f = 0$ ですね。これで証明終了です。

次に数列空間 $\lambda_{\theta,q}$ との関係を見ていきましょう。

(補題 D)

(i) $f \in X_0+X_1$ に対して $a_j=K(2^j,f)$ とおくと、

\begin{equation} f \in K_{\theta,q} \quad \Longleftrightarrow \quad \{a_j\}_{j \in \mathbb{Z}} \in \lambda_{\theta,q} \end{equation}

および

\begin{equation} 2^{-\theta}(\log 2)^{1/q} \le \frac{\|f\|_{K_{\theta,q}}}{\|\{a_j\}\|_{\lambda_{\theta,q}}} \le 2(\log 2)^{1/q} \end{equation}

が成立する。

(ii) 次の2つの条件

(a) $f \in J_{\theta,q}$

(b) ある列 $\{u_j\}_{j \in \mathbb{Z}} \subset X_0 \cap X_1$ が存在して、

\begin{equation} \{J(2^j,u_j)\}_{j \in \mathbb{Z}} \in \lambda_{\theta,q} \quad \text{and} \quad f=\sum_{j \in \mathbb{Z}}u_j \end{equation}

は同値である。さらに、

\begin{equation} 2^{-\theta}(\log 2)^{-1+1/q} \le \frac{\|f\|_{J_{\theta,q}}}{\inf_{\{u_j\}} \|\{J(2^j,u_j)\}\|_{\lambda_{\theta,q}}} \le 2(\log 2)^{-1+1/q} \end{equation}

が成立する。ただし、下限は(b)を満たすようなすべての列 $\{u_j\}_{j \in \mathbb{Z}} \subset X_0 \cap X_1$ に対するものとする。

(i) さて、 $1 \le q \lt \infty$ の場合を示しましょう。定義から

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{K_{\theta,q}}&=\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f) ] \\ &=\left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}K(t,f) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=\left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}}\int_{2^j}^{2^{j+1}} (t^{-\theta}K(t,f) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \end{split}\end{equation}

となることに注意しましょう。さて、補題 Bより $2^j \le t \le 2^{j+1}$ に対して

\begin{gather} K(t,f) \le \max\{1,t/2^j\}K(2^j,f) \le 2K(2^j,f) \\ K(2^j,f) \le \max\{1,2^j/t\}K(t,f) \le K(t,f) \end{gather}

であり、すなわち $K(2^j,f) \le K(t,f) \le 2K(2^j,f)$ が分かります。さて、 $2^j \le t \le 2^{j+1}$ ならば $2^{-\theta}2^{-j\theta} \le t^{-\theta} \le 2^{-j\theta}$ であり、また仮定から $a_j=K(2^j,f)$ なので、これらより

\begin{equation} 2^{-\theta}2^{-j\theta}a_j \le t^{-\theta}K(t,f) \le 2 \cdot 2^{-j \theta}a_j \end{equation}

が分かりますね。あとは形を合わせて積分すればOKです。実際、

\begin{equation} 2^{-\theta}\left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^j}^{2^{j+1}}\frac{dt}{t}(2^{-j\theta}a_j)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \le \|f\|_{K_{\theta,q}} \le 2\left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^j}^{2^{j+1}}\frac{dt}{t}(2^{-j\theta}a_j)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \end{equation}

より

\begin{equation} 2^{-\theta}(\log 2)^{1/q} \|\{a_j\}\|_{\lambda_{\theta,q}} \le \|f\|_{K_{\theta,q}} \le 2(\log 2)^{1/q} \|\{a_j\}\|_{\lambda_{\theta,q}} \end{equation}

ですね。

(ii) 同じく $1 \le q \lt \infty$ の場合を考えます。まずは(a)を仮定します。すなわち $f \in J_{\theta,q}$ とするわけですが、定義から $f=\int_0^{\infty}u(t)dt/t$ という表現を持ちます。さて、(i)と同じように考えましょう。

\begin{equation}\begin{split} \Phi_{\theta,q}[ J(\cdot,u(\cdot)) ] &=\left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}J(t,u(t) ) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=\left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^j}^{2^{j+1}} (t^{-\theta}J(t,u(t) ) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \end{split}\end{equation}

という分解を念頭において考えます。ここで $u_j=\int_{2^j}^{2^{j+1}}u(t)dt/t$ とすると $\sum_{j \in \mathbb{Z}}u_j=f$ ですね。さて、

\begin{equation}\begin{split} 2^{-j\theta}\|u_j\|_{X_0} &\le \int_{2^j}^{2^{j+1}}2^{-j\theta}\|u(t)\|_{X_0}\frac{dt}{t} \\ &\le \int_{2^j}^{2^{j+1}}2^{\theta}t^{-\theta}\|u(t)\|_{X_0}\frac{dt}{t} \\ 2^{-j\theta}2^j\|u_j\|_{X_1} &\le \int_{2^j}^{2^{j+1}}2^{-j\theta}2^j\|u(t)\|_{X_1}\frac{dt}{t} \\ &\le \int_{2^j}^{2^{j+1}} 2^{\theta}t^{-\theta} \cdot t\|u(t)\|_{X_1}\frac{dt}{t} \end{split}\end{equation}

ですから、

\begin{equation}\begin{split} J(2^j,u_j)&=\max\left\{ \|u_j\|_{X_0},2^j\|u_j\|_{X_1} \right\} \\ J(t,u(t) )&=\max\left\{ \|u(t)\|_{X_0},t\|u(t)\|_{X_1} \right\} \end{split}\end{equation}

を念頭に置くと

\begin{equation} 2^{-j\theta}J(2^j,u_j) \le 2^{\theta}\int_{2^j}^{2^{j+1}} t^{-\theta}J(t,u(t) )\frac{dt}{t} \end{equation}

となりますね。さて、Hölderの不等式を用いて

\begin{equation}\begin{split} &2^{\theta}\int_{2^j}^{2^{j+1}} t^{-\theta}J(t,u(t) )\frac{dt}{t} \\ &\le 2^{\theta}\left\{\int_{2^j}^{2^{j+1}} (t^{-\theta}J(t,u(t) ))^q\frac{dt}{t}\right\}^{\frac{1}{q}}\left(\int_{2^j}^{2^{j+1}} \frac{dt}{t}\right)^{1-\frac{1}{q}} \\ &= 2^{\theta}(\log 2)^{1-1/q}\left\{\int_{2^j}^{2^{j+1}} (t^{-\theta}J(t,u(t) ))^q\frac{dt}{t}\right\}^{\frac{1}{q}} \end{split}\end{equation}

ですから、

\begin{equation}\begin{split} \|\{J(2^j,u_j)\}\|_{\lambda_{\theta,q}} &= \left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} (2^{-j\theta}J(2^j,u_j) )^q \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le 2^{\theta}(\log 2)^{1-1/q}\left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^j}^{2^{j+1}} (t^{-\theta}J(t,u(t) ))^q\frac{dt}{t}\right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=2^{\theta}(\log 2)^{1-1/q} \Phi_{\theta,q}[ J(\cdot,u(\cdot) ) ] \end{split}\end{equation}

ですね。初めに $f=\int_0^{\infty}u(t)dt/t$ なる $u \in \mathscr{J}(f)$ を考えたので、右辺の下限を考えれば

\begin{equation} \inf_{\{b_j\}} \|\{J(2^j,u_j)\}\|_{\lambda_{\theta,q}} \le 2^{\theta}(\log 2)^{1-1/q} \|f\|_{J_{\theta,q}} \end{equation}

となります。

次は逆です。(b)を仮定します。つまり

\begin{equation} \{J(2^j,u_j)\}_{j \in \mathbb{Z}} \in \lambda_{\theta,q} \quad \text{and} \quad f=\sum_{j \in \mathbb{Z}}u_j \end{equation}

なる列 $\{u_j\}_{j \in \mathbb{Z}} \subset X_0 \cap X_1$ を考えましょう。各 $2^j \le t \lt 2^{j+1}$ に対して $u(t)=(\log 2)^{-1}u_j$ とすれば、 $\int_{2^j}^{2^{j+1}}dt/t=\log 2$ より

\begin{equation} \int_0^{\infty} u(t)\frac{dt}{t} = \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^j}^{2^{j+1}} (\log 2)^{-1}u_j \frac{dt}{t} =\sum_{j \in \mathbb{Z}} u_j =f \end{equation}

すなわち $u \in \mathscr{J}(f)$ を得ます。ここで

\begin{equation} \|u(t)\|_{X_0}=(\log 2)^{-1}\|u_j\|_{X_0} , \quad t\|u(t)\|_{X_1} \le (\log 2)^{-1}2^{j+1}\|u_j\|_{X_1} \end{equation}

より $J(t,u(t) ) \le 2(\log 2)^{-1} J(2^j, u_j)$ ですから、

\begin{equation}\begin{split} \Phi_{\theta,q}[ J(\cdot, u(\cdot) ) ] &= \left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^j}^{2^{j+1}} (t^{-\theta}J(t,u(t) ) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le 2(\log 2)^{-1} \left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} \int_{2^j}^{2^{j+1}} (2^{-j\theta}J(2^j,u_j ) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le 2(\log 2)^{-1+1/q} \left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}}(2^{-j\theta}J(2^j,u_j ) )^q \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= 2(\log 2)^{-1+1/q} \|\{ J(2^j,u_j) \}\|_{\lambda_{\theta,q}} \end{split}\end{equation}

となり、やはり下限を考えれば

\begin{equation} \|f\|_{J_{\theta,q}} \le 2(\log 2)^{-1+1/q} \inf_{\{u_j\}} \|\{J(2^j,u_j)\}\|_{\lambda_{\theta,q}} \end{equation}

として結論を得ます。

さて、今回はこのくらいにしておきましょう。次回も頑張ります。