実補間理論の勉強Part2

こんにちは。ひよこてんぷらです。

前回は実補間理論の勉強ということで、いくつかの関数空間を導入し、その性質を見てきましたね。

sushitemple.hatenablog.jp

詳しいことは前回に譲るとして、今回はさらに続きをやっていきましょう！！定義をざっと述べておきましょう。

\begin{equation}\begin{split} K(t,f) &=K(t,f,X_0,X_1) \\ &=\inf_{f=f_0+f_1 , \, (f_0,f_1) \in X_0 \times X_1}\left\{\|f_0\|_{X_0}+t \|f_1\|_{X_1}\right\} \\ J(t,f) &=J(t,f,X_0,X_1) \\ &=\max\left\{\|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1}\right\} \end{split}\end{equation}

および

\begin{equation} \Phi_{\theta,q}[\varphi ]=\left\{ \begin{array}{cl} \left\{ \int_0^{\infty}(t^{-\theta}\varphi (t) )^q dt/t \right\}^{1/q} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, 1 \le q \lt \infty ) \\ \sup_{0 \lt t \lt \infty}\{ t^{-\theta}\varphi (t) \} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, q=\infty ) \end{array}\right. \end{equation}

として、

\begin{equation}\begin{split} K_{\theta,q}&=K_{\theta,q}(X_0,X_1) \\ &=\left\{ f \in X_0+X_1 \, \left| \, \|f\|_{K_{\theta,q}}=\Phi_{\theta,q}[K(\cdot , f) ] \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

また

\begin{equation}\mathscr{J}(f)=\left\{ u \, \left| \, u(t) \in X_0 \cap X_1 , \,  f=\int_0^{\infty}u(t)\frac{dt}{t} \right.\right\}\end{equation}

に対して

\begin{equation}\begin{split} J_{\theta,q}&=J_{\theta,q}(X_0,X_1) \\ &=\left\{ f \in X_0 + X_1 \, \left| \, \|f\|_{J_{\theta,q}}=\inf_{u \in \mathscr{J}(f)}\Phi_{\theta,q}[J(\cdot , u(\cdot) ) ] \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

です。そして

\begin{equation} \lambda_{\theta,q}=\left\{ \{a_j\}_{j \in \mathbb{Z}} \subset \mathbb{R} \, \left| \, \|\{a_j\}\|_{\lambda_{\theta,q}} \lt \infty \right. \right\} \end{equation}

ただし

\begin{equation} \|\{a_j\}\|_{\lambda_{\theta,q}}=\left\{ \begin{array}{cl} \left\{ \sum_{j \in \mathbb{Z}} (2^{-j \theta}|a_j|)^q \right\}^{1/q} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, 1 \le q \lt \infty ) \\ \sup_{j \in \mathbb{Z}}\{ 2^{-j \theta}|a_j| \} & ( 0 \le \theta \le 1 , \, q=\infty ) \end{array}\right. \end{equation}

でしたね。前回示したことをざっと書いておきます。

(補題 A)

\begin{equation}\left\{\begin{gathered} K(s,f)=0 \quad \text{for all} \quad s \ge 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f = 0 \\ K(t,af) =|a| K(t,f) \quad a \in \mathbb{R} \\ K(t,f+g) \le K(t,f)+K(t,g) \end{gathered}\right.\end{equation}

が成立する。 の場合も同様。また、

\begin{equation}\left\{\begin{gathered} \Phi_{\theta,q}[\varphi]=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \varphi \equiv 0 \\ \Phi_{\theta,q}[ a\varphi ] =a \Phi_{\theta,q}[ \varphi ] \quad a \ge 0 \\ \Phi_{\theta,q}[\varphi+\psi] \le \Phi_{\theta,q}[\varphi]+\Phi_{\theta,q}[\psi] \end{gathered}\right.\end{equation}

が成立し、 は単調増加である。

(補題 B)

(i) 任意の に対して は非負値単調増加凹関数である。また、 が成立する。

(ii) 任意の に対して は非負値単調増加凸関数である。また、 および が成立する。

(定理 C) はそれぞれnorm空間である(実際は完備性も従う)。

(補題 D) 次の不等式

\begin{equation} 2^{-\theta}(\log 2)^{1/q} \le \frac{\|f\|_{K_{\theta,q}}}{\|\{K(2^j,f)\}\|_{\lambda_{\theta,q}}} \le 2(\log 2)^{1/q} \end{equation}

が成立する。また  と、ある列 が存在して

\begin{equation} \{J(2^j,u_j)\}_{j \in \mathbb{Z}} \in \lambda_{\theta,q} \quad \text{and} \quad f=\sum_{j \in \mathbb{Z}}u_j \end{equation}

は同値であり、

\begin{equation} 2^{-\theta}(\log 2)^{-1+1/q} \le \frac{\|f\|_{J_{\theta,q}}}{\inf_{\{u_j\}} \|\{J(2^j,u_j)\}\|_{\lambda_{\theta,q}}} \le 2(\log 2)^{-1+1/q} \end{equation}

が成立する。

さて、では初めに次の積分を計算しておきましょう。変数変換 を用いて

\begin{equation}\begin{split} \Phi_{\theta,q}[ \min\{1,\cdot /s\} ] &=\left\{ \int_0^{\infty}(t^{-\theta}\min\{1,t/s\})^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=\left\{ \int_0^{\infty}( (sr)^{-\theta}\min\{1,r\})^q \frac{dr}{r} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= s^{-\theta}\left( \int_0^1 r^{(1-\theta)q}  \frac{dr}{r}+ \int_1^{\infty}r^{-\theta q} \frac{dr}{r} \right)^{\frac{1}{q}} \\ &=s^{-\theta}\left\{ \frac{1}{(1-\theta)q}+\frac{1}{\theta q} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=\{\theta(1-\theta)q\}^{-1/q}s^{-\theta}  \end{split}\end{equation}

ですね。 のときは と考えてください。これを(INT)とします。さて、ではいきましょう。

(定理 E)

(i) 任意の および に対して

\begin{equation} K(s,f) \le \{\theta(1-\theta)q\}^{1/q} s^{\theta} \|f\|_{K_{\theta,q}} \end{equation}

が成立する。

(ii) 任意の および に対して

\begin{equation} \|f\|_{J_{\theta,q}} \le 2(\log 2)^{-1}s^{-\theta}J(s,f) \end{equation}

が成立する。

(i) 補題 Bより すなわち なので、両辺に を作用させれば、補題 Aから

\begin{equation} K(s,f)\Phi_{\theta,q}[ \min\{1,\cdot /s\} ] \le \Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f)] =\|f\|_{K_{\theta,q}} \end{equation}

が従います。(INT)から

\begin{equation} K(s,f) \le \{\theta(1-\theta)q\}^{1/q} s^{\theta} \|f\|_{K_{\theta,q}} \end{equation}

が分かりますね。

(ii) 任意の に対して であることより、定義関数 を用いて

\begin{equation} f = \int_{s/2}^s (\log 2)^{-1} f\frac{dt}{t}=\int_0^{\infty} (\log 2)^{-1}\chi_{(s/2,s)}(t)f \frac{dt}{t} \end{equation}

と書くことができます。ゆえに ならば

\begin{equation} u_s(t)=(\log 2)^{-1}\chi_{(s/2,s)}(t)f \in X_0 \cap X_1 \end{equation}

と定義すれば が言えますね。したがって の定義から が分かります。さて、補題 AおよびBより

\begin{equation}\begin{split} J(t,u_s(t) ) &= (\log 2)^{-1}\chi_{(s/2,s)}(t) J(t,f) \\ &\le (\log 2)^{-1}\chi_{(s/2,s)}(t) \max\{1,t/s\}J(s,f) \end{split}\end{equation}

とできるので、 を作用させましょう。補題 Aおよび変数変換 より

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{J_{\theta,q}} &\le \Phi_{\theta,q}[ J(\cdot,u_s(\cdot) ) ] \\ &\le (\log 2)^{-1} J(s,f) \Phi_{\theta,q} [\chi_{(s/2,s)}(\cdot) \max\{1,\cdot/s\} ] \\ &=(\log 2)^{-1}J(s,f) \left\{ \int_{s/2}^s (t^{-\theta}\max\{1,t/s\})^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=(\log 2)^{-1}J(s,f) \left\{ \int_{1/2}^1 ( (sr)^{-\theta}\max\{1,r\})^q \frac{dr}{r} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= (\log 2)^{-1}s^{-\theta}J(s,f) \left( \int_{1/2}^1 r^{-\theta q-1}dr \right)^{\frac{1}{q}} \\ &\le (\log 2)^{-1}s^{-\theta}J(s,f) \left\{ (1/2)^{-\theta q-1} \cdot (1/2) \right\}^{1/q} \\ &\le 2(\log 2)^{-1}s^{-\theta}J(s,f) \end{split}\end{equation}

で証明終了ですね。

(補題 F) に対して

\begin{equation} \lim_{t \to +0}K(t,f)=\lim_{t \to \infty}t^{-1}K(t,f)=0 \end{equation}

であるとする。このとき任意の に対して

\begin{equation} f=\sum_{j \in \mathbb{Z}}u_j^{\varepsilon} \quad \text{and} \quad J(2^j,u_j^{\varepsilon}) \lt (3+\varepsilon)K(2^j,f) \end{equation}

を満たす列 が存在する。

さて、任意の に対して の定義、すなわち下限のより

\begin{equation}\begin{split} \|f_{j,0}^{\varepsilon}\|_{X_0}+2^j\|f_{j,1}^{\varepsilon}\|_{X_1} &\lt K(2^j,f)+(\varepsilon /3) K(2^j,f) \\ &=(1+\varepsilon /3) K(2^j,f) \end{split}\end{equation}

なるような分解 が存在します。ゆえに仮定から

\begin{equation} \lim_{j \to -\infty}K(2^j,f)=\lim_{j \to \infty}2^{-j}K(2^j,f)=0 \end{equation}

であることに注意すれば、上式よりそれぞれ

\begin{equation} \lim_{j \to -\infty}\|f_{j,0}^{\varepsilon}\|_{X_0}=\lim_{j \to \infty}\|f_{j,1}^{\varepsilon}\|_{X_1}=0 \end{equation}

が得られます。ここで分解

\begin{equation} f=f_{j,0}^{\varepsilon}+f_{j,1}^{\varepsilon}=f_{j-1,0}^{\varepsilon}+f_{j-1,1}^{\varepsilon} \end{equation}

に注意して、

\begin{equation} u_j^{\varepsilon}=-f_{j-1,0}^{\varepsilon}+f_{j,0}^{\varepsilon}=-f_{j,1}^{\varepsilon}+f_{j-1,1}^{\varepsilon} \end{equation}

と定義すれば が成立します。また、

\begin{equation}\begin{split} &f-\sum_{j=-N_1}^{N_2}u_j^{\varepsilon} \\ &=f-\left\{ (-f_{-N_1-1,0}^{\varepsilon}+f_{-N_1,0}^{\varepsilon})+\cdots +(-f_{N_2-1,0}^{\varepsilon}+f_{N_2,0}^{\varepsilon}) \right\} \\ &=f-(-f_{-N_1-1,0}^{\varepsilon}+f_{N_2,0}^{\varepsilon}) \\ &=f_{-N_1-1,0}^{\varepsilon}+f_{N_2,1}^{\varepsilon} \end{split}\end{equation}

なので、 normを計算すれば、下限の定義から

\begin{equation} \left\|f-\sum_{j=-N_1}^{N_2}u_j^{\varepsilon}\right\|_{X_0+X_1} \le\|f_{-N_1-1,0}^{\varepsilon}\|_{X_0}+\|f_{N_2,1}^{\varepsilon}\|_{X_1} \end{equation}

となりますね。したがって上で確認したように、右辺は で に収束し、 が分かります。あとは初めに与えた不等式から

\begin{equation}\begin{split} &J(2^j,u_j^{\varepsilon}) \\ &=\max\left\{ \|u_j^{\varepsilon}\|_{X_0},2^j\|u_j^{\varepsilon}\|_{X_1} \right\} \\ &\le \max\left\{ \|f_{j-1,0}^{\varepsilon}\|_{X_0}+\|f_{j,0}^{\varepsilon}\|_{X_0},2^j\|f_{j,1}^{\varepsilon}\|_{X_1}+2^j\|f_{j-1,1}^{\varepsilon}\|_{X_1} \right\} \\ &\le \left(\|f_{j-1,0}^{\varepsilon}\|_{X_0}+2^j\|f_{j-1,1}^{\varepsilon}\|_{X_1}\right)+\left(\|f_{j,0}^{\varepsilon}\|_{X_0}+2^j\|f_{j,1}^{\varepsilon}\|_{X_1}\right) \\ &\le 2(1+\varepsilon /3)K(2^{j-1},f)+(1+\varepsilon /3)K(2^j,f) \\ &\le(3+\varepsilon)K(2^j,f) \end{split}\end{equation}

が分かります。

(定理 G) および に対して が位相同型の意味で成立し、さらに

\begin{equation} \theta (1-\theta)\|f\|_{K_{\theta,q}} \le \|f\|_{J_{\theta,q}} \le 6(\log 2)^{-1} 2^{\theta}\|f\|_{K_{\theta,q}} \end{equation}

が成立する。

さて、任意の に対して定義から という表現を与えておきましょう。各 において ですから、下限の定義から任意の に対して

\begin{equation}\begin{split} \|u_0^{\varepsilon}(s)\|_{X_0}+t\|u_1^{\varepsilon}(s)\|_{X_1} &\lt K(t,u(s) )+\varepsilon K(t,u(s) ) \\ &=(1+\varepsilon) K(t,u(s) ) \end{split}\end{equation}

という分解 ができます。このとき

\begin{equation} f=\int_0^{\infty}u_0^{\varepsilon}(s)\frac{ds}{s}+\int_0^{\infty}u_1^{\varepsilon}(s)\frac{ds}{s} \end{equation}

ですから、

\begin{equation}\begin{split} K(t,f) &\le \left\| \int_0^{\infty}u_0^{\varepsilon}(s)\frac{ds}{s} \right\|_{X_0}+t\left\| \int_0^{\infty}u_1^{\varepsilon}(s)\frac{ds}{s} \right\|_{X_1} \\ &\le \int_0^{\infty} \|u_0^{\varepsilon}(s)\|_{X_0} \frac{ds}{s}+\int_0^{\infty} t\|u_1^{\varepsilon}(s)\|_{X_1} \frac{ds}{s} \\ &\lt (1+\varepsilon)\int_0^{\infty} K(t, u(s) ) \frac{ds}{s} \end{split}\end{equation}

すなわち ですね。さて補題 Bおよび変数変換 により

\begin{equation}\begin{split} K(t,f) &\le \int_0^{\infty} \min\{1,t/s\}J(s, u (s) ) \frac{ds}{s} \\ &= \int_0^{\infty} \min\{1,1/r\}J(tr, u (tr) ) \frac{dr}{r} \end{split}\end{equation}

となります。さてここで に を作用させると再び変数変換 により

\begin{equation}\begin{split} &\left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}J(tr, u(tr) ) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= \left\{ \int_0^{\infty} ( (s/r)^{-\theta}J(s, u(s) ) )^q \frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= r^{\theta}\Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot) )] \end{split}\end{equation}

が得られることに注意します。 でも同様ですね。作用素 は normの形をしているから積分の中に入れられます。変数変換 および(INT)より

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{K_{\theta,q}} &=\Phi_{\theta,q}[ K(\cdot,f) ] \\ &\le \int_0^{\infty} \min\{1,1/r\} r^{\theta}\Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot) )] \frac{dr}{r} \\ &= \Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot) )] \int_{\infty}^0 \min\{1,t\} t^{-\theta} \frac{(-1/t^2)dt}{1/t} \\ &= \Phi_{\theta,1}[\min\{1,\cdot\}]\Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot) )] \\ &=\{\theta(1-\theta)\}^{-1}\Phi_{\theta,q}[J(\cdot,u(\cdot) )] \end{split}\end{equation}

ですから、 という表現の下限をとって ですね。

では今度は逆です。任意の に対して、定理 Eより

\begin{equation} K(t,f) \le \{\theta(1-\theta)q\}^{1/q}t^{\theta}\|f\|_{K_{\theta,q}} \end{equation}

が成立します。ゆえにこれは

\begin{equation} \lim_{t \to +0}K(t,f)=\lim_{t \to \infty}t^{-1}K(t,f)=0 \end{equation}

を満たしていますから、補題 Fより任意の に対して

\begin{equation} f=\sum_{j \in \mathbb{Z}}u_j^{\varepsilon} \quad \text{and} \quad J(2^j,u_j^{\varepsilon}) \lt (3+\varepsilon)K(2^j,f) \end{equation}

を満たす列 が存在しますね。さて、数列空間 を思い出しましょう。両辺のnormをとると補題 Dより

\begin{equation}\begin{split} \|\{ J(2^j,u_j^{\varepsilon}) \}\|_{\lambda_{\theta,q}} &\le (3+\varepsilon)\|\{ K(2^j,f) \}\|_{\lambda_{\theta,q}} \\ &\le (3+\varepsilon)2^{\theta}(\log 2)^{-1/q}\|f\|_{K_{\theta,q}} \end{split}\end{equation}

ですから、左辺の下限を考えて再び補題 Dから

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{J_{\theta,q}} &\le 2(\log 2)^{-1+1/q} \cdot (3+\varepsilon)2^{\theta}(\log 2)^{-1/q}\|f\|_{K_{\theta,q}} \\ &=2(3+\varepsilon)(\log 2)^{-1}2^{\theta}\|f\|_{K_{\theta,q}} \end{split}\end{equation}

ですね。ゆえに証明終了です！！

定理 Gが意味していることは、2つのBanach空間 から作られる空間 と は ならば同じ空間になるということです。これを念頭において、 と を  の補間空間として と書くことにします。normも同様です。なお、 が または の場合は での定義を採用します。

さて、だいぶ疲れてきましたが、もう少し踏ん張りましょう！！ここで新たな定義を導入します。Banach空間 が連続埋め込みの意味で

\begin{equation} X_0 \cap X_1 \subset Y \subset X_0+X_1 \end{equation}

を満たしているとします。さらに、任意の に対して

\begin{equation} K(t,f,X_0,X_1) \le C_{\theta}t^{\theta}\|f\|_Y, \quad t \gt 0 \end{equation}

および任意の に対して

\begin{equation} \|f\|_Y \le C_{\theta}t^{-\theta}J(t,f,X_0,X_1), \quad t \gt 0 \end{equation}

が成立するとします。このとき と書くことにしましょう。

(補題 H)

(i) および が成立する。また、 ならば である。

(ii) 次の2つの条件

(a)  

(b) 任意の および に対して なる が存在して

\begin{equation} \|f_0^t\|_{X_0} \le C'_{\theta}t^{\theta}\|f\|_Y \quad \text{and} \quad \|f_1^t\|_{X_1} \le C'_{\theta}t^{\theta -1}\|f\|_Y \end{equation}

および任意の に対して

\begin{equation} \|f\|_Y \le C_{\theta}\|f\|_{X_0}^{1-\theta}\|f\|_{X_1}^{\theta} \end{equation}

は同値である。

(i) および の定義から、任意の に対して

\begin{equation} K(t,f,X_0,X_1) =\inf_{f=f_0+f_1 , \, (f_0,f_1) \in X_0 \times X_1}\left\{ \|f_0\|_{X_0}+t\|f_1\|_{X_1} \right\} \le \|f\|_{X_0} \end{equation}

および に対して

\begin{equation} J(t,f,X_0,X_1) =\max\left\{ \|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1} \right\} \ge \|f\|_{X_0} \end{equation}

より であり、上の不等式から同様の議論で も分かります。 に関しては定理 Eで既に示しています。

(ii) まず(a)を仮定します。すなわち とします。 の定義から、任意の および でない に対してある分解 ができて

\begin{equation} \|f_0^t\|_{X_0}+t\|f_1^t\|_{X_1} \lt 2K(t,f,X_0,X_1) \le 2C_{\theta}t^{\theta}\|f\|_Y \end{equation}

が成立します。これより直ちに

\begin{equation} \|f_0^t\|_{X_0} \le 2C_{\theta}t^{\theta}\|f\|_Y \quad \text{and} \quad \|f_1^t\|_{X_1} \le 2C_{\theta}t^{\theta -1}\|f\|_Y \end{equation}

です。さらに任意の でない に対して の定義から

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_Y &\le C_{\theta}t^{-\theta}J(t,f,X_0,X_1) \\ &=C_{\theta}t^{-\theta}\max\left\{ \|f\|_{X_0},t\|f\|_{X_1} \right\} \\ &=C_{\theta}\max\left\{ t^{-\theta}\|f\|_{X_0},t^{1-\theta}\|f\|_{X_1} \right\} \end{split}\end{equation}

なので、 とおけば が得られます。

逆を示しましょう。(b)を仮定します。任意の および に対して

\begin{equation} \|f_0^t\|_{X_0} \le C'_{\theta}t^{\theta}\|f\|_Y \quad \text{and} \quad \|f_1^t\|_{X_1} \le C'_{\theta}t^{\theta -1}\|f\|_Y \end{equation}

なる分解ができるので、 であり、 の定義から

\begin{equation} K(t,f,X_0,X_1) \le \|f_0^t\|_{X_0}+t\|f_1^t\|_{X_1} \le 2C'_{\theta}t^{\theta}\|f\|_Y \end{equation}

が分かります。また任意の に対して

\begin{equation} \|f\|_Y \le C_{\theta}\|f\|_{X_0}^{1-\theta}\|f\|_{X_1}^{\theta} \end{equation}

なので、 の定義から

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_Y &\le C_{\theta}t^{-\theta}\|f\|_{X_0}^{1-\theta}(t\|f\|_{X_1})^{\theta} \\ &\le C_{\theta}t^{-\theta}\{J(t,f,X_0,X_1)\}^{1-\theta}\{J(t,f,X_0,X_1)\}^{\theta}  \\ &=C_{\theta}t^{-\theta}J(t,f,X_0,X_1) \end{split}\end{equation}

です。これらより が分かりますね。

さて、最後に補間論における超重要なreiteration theoremを証明して終わりにしましょう！！

(定理 I)

(i) をBanach空間とする。 なる に対して かつ ならば、任意の および に対して

\begin{equation} (X_0,X_1)_{\theta,q}=(Y_0,Y_1)_{\alpha ,q} \quad \text{where} \quad \theta=(1-\alpha)\theta_0+ \alpha\theta_1 \end{equation}

が位相同型の意味で成立する。

(ii) 任意の  なる  および また に対して

\begin{gather} ( (X_0,X_1)_{\theta_0,q_0},(X_0,X_1)_{\theta_1,q_1} )_{\alpha ,q}=(X_0,X_1)_{\theta,q} \\ \text{where} \quad \theta=(1-\alpha)\theta_0+ \alpha\theta_1 \end{gather}

が位相同型の意味で成立する。

(i) それぞれの包含関係を見ましょう。初めに を仮定します。このとき なので と分解できます。さて、仮定から および なので、補題 AおよびHより

\begin{equation}\begin{split} K(t,f,X_0,X_1) &\le K(t,f_0,X_0,X_1)+K(t,f_1,X_0,X_1) \\ &\le C_{\theta_0}t^{\theta_0}\|f_0\|_{Y_0}+C_{\theta_1}t^{\theta_1}\|f_1\|_{Y_1} \\ &\le C_{\theta_0,\theta_1}t^{\theta_0}\left( \|f_0\|_{Y_0}+t^{\theta_1-\theta_0}\|f_1\|_{Y_1} \right) \end{split}\end{equation}

が得られます。さてこの分解の下限を考えれば

\begin{equation} K(t,f,X_0,X_1) \le C_{\theta_0,\theta_1} t^{\theta_0} K(t^{\theta_1-\theta_0},f,Y_0,Y_1) \end{equation}

ですね。両辺に を作用させると、補題 Aより に対して

\begin{equation}\begin{split} &\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f,X_0,X_1)] \\ &\le C_{\theta_0,\theta_1}\left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}t^{\theta_0}K(t^{\theta_1-\theta_0},f,Y_0,Y_1) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \end{split}\end{equation}

が得られます。さて、 ですから

\begin{equation} t^{-\theta}t^{\theta_0}=t^{-(1-\alpha)\theta_0-\alpha \theta_1+\theta_0}=t^{-\alpha (\theta_1-\theta_0)} \end{equation}

という変形を念頭に置くと、変数変換 が使えそうです。ここでは としておきます。このとき

\begin{equation}\begin{split} &\Phi_{\theta,q}[K(\cdot,f,X_0,X_1)] \\ &\le C_{\theta_0,\theta_1}\left\{ \int_0^{\infty} (s^{-\alpha}K(s,f,Y_0,Y_1) )^q \frac{(\theta_1-\theta_0)^{-1}s^{(\theta_1-\theta_0)^{-1}-1}ds}{s^{(\theta_1-\theta_0)^{-1}}} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= C_{\theta_0,\theta_1} (\theta_1-\theta_0)^{-1/q}\Phi_{\alpha,q}[K(\cdot,f,Y_0,Y_1)] \end{split}\end{equation}

より が分かりますね。

では逆はどうでしょうか。 としましょう。ここで なる表現を与えておきます。上で示した不等式を逆から計算していくと

\begin{equation}\begin{split} & (\theta_1-\theta_0)^{-1/q}\|f\|_{(Y_0,Y_1)_{\alpha,q}} \\ &= (\theta_1-\theta_0)^{-1/q}\Phi_{\alpha,q}[K(\cdot,f,Y_0,Y_1)] \\ &=\left\{ \int_0^{\infty} (s^{-\alpha}K(s,f,Y_0,Y_1) )^q \frac{(\theta_1-\theta_0)^{-1}s^{(\theta_1-\theta_0)^{-1}-1}ds}{s^{(\theta_1-\theta_0)^{-1}}} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &= \left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}t^{\theta_0}K(t^{\theta_1-\theta_0},f,Y_0,Y_1) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \end{split}\end{equation}

ということで、この右辺が有限値になることを見ていきましょう。ということで  を調べます。定理 Gで示したのと同様に

\begin{equation} t^{\theta_0}K(t^{\theta_1-\theta_0},f,Y_0,Y_1) \le \int_0^{\infty} t^{\theta_0} K(t^{\theta_1-\theta_0},u(s),Y_0,Y_1) \frac{ds}{s} \end{equation}

とできます。さて、  および より

\begin{equation}\begin{split} \|u(s)\|_{Y_0} &\le C_{\theta_0}s^{-\theta_0}J(s,u(s),X_0,X_1) \\ \|u(s)\|_{Y_1} &\le C_{\theta_1}s^{-\theta_1}J(s,u(s),X_0,X_1) \end{split}\end{equation}

なので、補題 Bより

\begin{equation}\begin{split} &K(t^{\theta_1-\theta_0},u(s),Y_0,Y_1) \\ &\le \min\{ 1,(t/s)^{\theta_1-\theta_0} \} J(s^{\theta_1-\theta_0},u(s),Y_0,Y_1) \\ &=\min\{ 1,(t/s)^{\theta_1-\theta_0} \} \max\left\{ \|u(s)\|_{Y_0},s^{\theta_1-\theta_0}\|u(s)\|_{Y_1} \right\} \\ &\le \min\{ 1,(t/s)^{\theta_1-\theta_0} \} \cdot C_{\theta_0,\theta_1}s^{-\theta_0}J(s,u(s),X_0,X_1) \\ &\le C_{\theta_0,\theta_1}t^{-\theta_0}\min\{ (t/s)^{\theta_0},(t/s)^{\theta_1} \}J(s,u(s),X_0,X_1) \end{split}\end{equation}

となります。変数変換 を用いて上の積分を計算しましょう。

\begin{equation}\begin{split} &t^{\theta_0}K(t^{\theta_1-\theta_0},f,Y_0,Y_1) \\ &\le \int_0^{\infty} t^{\theta_0} K(t^{\theta_1-\theta_0},u(s),Y_0,Y_1) \frac{ds}{s} \\ &\le C_{\theta_0,\theta_1} \int_0^{\infty} \min\{ (t/s)^{\theta_0},(t/s)^{\theta_1} \} J(s,u(s),X_0,X_1) \frac{ds}{s} \\ &= C_{\theta_0,\theta_1} \int_0^{\infty} \min\{ r^{-\theta_0},r^{-\theta_1} \} J(tr,u(tr),X_0,X_1) \frac{dr}{r} \end{split}\end{equation}

さて、後は補題 Aより両辺に を作用させて右辺の収束を見ればよいです。 は normの形を持ちますから積分の中に入れることができます。さて、変数変換 により

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^{\infty} \min\{ r^{-\theta_0},r^{-\theta_1} \}\left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}J(tr,u(tr),X_0,X_1) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \frac{dr}{r} \\ &=\int_0^{\infty} \min\{ r^{-\theta_0-1},r^{-\theta_1-1} \}\left\{ \int_0^{\infty} ( (s/r)^{-\theta}J(s,u(s),X_0,X_1) )^q \frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{q}} dr \\ &= \Phi_{\theta,q}[ J(\cdot,u(\cdot),X_0,X_1) ] \int_0^{\infty} \min\{ r^{-\theta_0-1},r^{-\theta_1-1} \} r^{\theta} dr \end{split}\end{equation}

となるわけですが、 より

\begin{gather} r^{-\theta_0-1}r^{\theta}=r^{-\theta_0-1+(1-\alpha)\theta_0+\alpha \theta_1}=r^{\alpha (\theta_1-\theta_0)-1} \\ r^{-\theta_1-1}r^{\theta}=r^{-\theta_1-1+(1-\alpha)\theta_0+\alpha \theta_1} =r^{-(1-\alpha)(\theta_1-\theta_0)-1} \end{gather}

なので、ちょうど符号が異なり積分が収束します。実際、例えば なら

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^{\infty} \min\{ r^{-\theta_0-1},r^{-\theta_1-1} \} r^{\theta} dr \\ &=\int_0^1 r^{\alpha (\theta_1-\theta_0)-1}dr+\int_1^{\infty} r^{-(1-\alpha)(\theta_1-\theta_0)-1}dr \\ &=\frac{1}{\alpha (\theta_1-\theta_0)}+\frac{1}{(1-\alpha)(\theta_1-\theta_0)} \\ &=\{ \alpha (1-\alpha)(\theta_1-\theta_0) \}^{-1} \end{split}\end{equation}

ですね。したがって

\begin{equation}\begin{split} &(\theta_1-\theta_0)^{-1/q}\|f\|_{(Y_0,Y_1)_{\alpha,q}} \\ &\le C_{\theta_0,\theta_1}\int_0^{\infty} \min\{ r^{-\theta_0},r^{-\theta_1} \}\left\{ \int_0^{\infty} (t^{-\theta}J(tr,u(tr),X_0,X_1) )^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \frac{dr}{r} \\ &= C_{\theta_0,\theta_1}\{ \alpha (1-\alpha)(\theta_1-\theta_0) \}^{-1}\Phi_{\theta,q}[ J(\cdot,u(\cdot),X_0,X_1) ] \end{split}\end{equation}

であり、表現 の下限をとって結論を得ます。

(ii) 補題 Hより および なので、 の代わりにこれを用いれば結論を得ます。

さて、今回は少し長くなってしまいましたがこのくらいにしておきましょう。抽象論はこの程度にして、次回は具体的な理論を考えていきたいと思います。