Lorentz空間上の補間不等式

こんにちは。ひよこてんぷらです。今度の論文で使いたい基本的な補間不等式を紹介します。

 

まずはLorentz空間の定義を簡単に述べましょう。 X をBanach空間、 \Omega \subset \mathbb{R}^n を適当な領域とするとき、 \Omega 上の X 値可測関数 f に対して

\begin{equation}\begin{split} \mu_f(\lambda)&=\mu(\{t \in \Omega \, | \, \|f(t)\|_X \gt \lambda\}) \\ f^*(t)&=\inf \{\lambda \gt 0 \, | \, \mu_f(\lambda) \le t\} \end{split}\end{equation}

とおき、 1 \le p \lt \infty , \, 1 \le q \le \infty に対してLorentz空間 L^{p,q}(\Omega : X)

\begin{equation} L^{p,q}(\Omega : X)=\{f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega :X) \, | \, \|f\|_{L^{p,q}(\Omega :X)} \lt \infty\} \end{equation}

と定義します。ただし

\begin{equation} \|f\|_{L^{p,q}(\Omega :X)}=\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle \left\{\int_0^{\infty}(t^{\frac{1}{p}}f^*(t) )^q\frac{dt}{t}\right\}^{\frac{1}{q}} & 1 \le q \lt \infty \\ \displaystyle \sup_{t \gt 0}\{t^{\frac{1}{p}}f^*(t)\} & q=\infty \end{array}\right. \end{equation}

とします。 X=\mathbb{R} のときは L^{p,q}(\Omega:\mathbb{R})=L^{p,q}(\Omega) とします。

 

このとき、Lorentz空間に対してどのような性質が成り立つかを考えましょう。というわけで、まずは次をそれぞれ証明します。

 

(i) f \in L^{p,q}(\Omega :X) に対して

\begin{equation} \| \|f(\cdot)\|_X \|_{L^{p,q}(\Omega )} = \|f\|_{L^{p,q}(\Omega :X)} \end{equation}

が成立します。

(ii) f,g \in L^{p,q}(\Omega) に対して

\begin{equation} |f| \le |g| \quad \Longrightarrow \quad \|f\|_{L^{p,q}(\Omega)} \le \|g\|_{L^{p,q}(\Omega)} \end{equation}

が成立します。

(iii)  0 \lt \theta とするとき、 f \in L^{p,q}(\Omega) に対して

\begin{equation} f \ge 0 \quad \Longrightarrow \quad \|f^{\theta}\|_{L^{p,q}(\Omega )} =\|f\|_{L^{\theta p,\theta q}(\Omega )}^{\theta} \end{equation}

が成立します。

 

さて、とりあえず(i)を示しましょう。これは、 X 値Lorentz空間は実質的に通常の実数値Lorentz空間での議論に帰着されるということを意味しています。証明は定義に従って計算です。とりあえず F(t)=\|f(t)\|_X とおくとき f^*(t)=F^*(t) が示されれば証明完了です。実際、

\begin{equation}\begin{split} \mu_f(\lambda)&=\mu(\{t \in \Omega \, | \, \|f(t)\|_X \gt \lambda\}) \\ &=\mu(\{t \in \Omega \, | \, F(t) \gt \lambda\}) \\ &=\mu_F(\lambda) \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation}\begin{split} f^*(t)&=\inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu_f(\lambda) \le t\} \\ &=\inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu_F(\lambda) \le t\} \\ &=F^*(t) \end{split}\end{equation}

なのでOKです。次に(ii)を示します。集合の大小関係に注意しながら

\begin{equation}\begin{split} \mu_f(\lambda)&=\mu(\{t \in \Omega \, | \, |f(t)| \gt \lambda\}) \\ &\le \mu(\{t \in \Omega \, | \, |g(t)| \gt \lambda\}) \\ &=\mu_g(\lambda) \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation}\begin{split} f^*(t)&=\inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu_f(\lambda) \le t\} \\ &\le \inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu_g(\lambda) \le t\} \\ &=g^*(t) \end{split}\end{equation}

で証明完了です。最後に(iii)をみましょう。 f \ge 0 より f^{\theta} が実数値関数として定義されることに注意します。

\begin{equation}\begin{split} \mu_{f^{\theta}}(\lambda)&=\mu(\{t \in \Omega \, | \, \{f(t)\}^{\theta} \gt \lambda\}) \\ &= \mu(\{t \in \Omega \, | \, f(t) \gt \lambda^{\frac{1}{\theta}}\}) \\ &=\mu_f(\lambda^{\frac{1}{\theta}}) \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation}\begin{split} (f^{\theta})^*(t)&=\inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu_{f^{\theta}}(\lambda) \le t\} \\ &= \inf\{\lambda \gt 0 \, | \, \mu_f(\lambda^{\frac{1}{\theta}}) \le t\} \\ &= \inf\{\lambda^{\theta} \gt 0 \, | \, \mu_f(\lambda) \le t\} \\ &=\{f^*(t)\}^{\theta} \end{split}\end{equation}

なので、定義に従って計算です。

\begin{equation}\begin{split} \|f^{\theta}\|_{L^{p,q}(\Omega)}&=\left\{\int_0^{\infty}(t^{\frac{1}{p}}(f^{\theta})^*(t) )^q \frac{dt}{t}\right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=\left\{\int_0^{\infty}(t^{\frac{1}{p}}\{f^*(t)\}^{\theta} )^q \frac{dt}{t}\right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=\left\{\int_0^{\infty}(t^{\frac{1}{\theta p}}f^*(t) )^{\theta q} \frac{dt}{t}\right\}^{\frac{\theta}{\theta q}} \\ &=\|f\|_{L^{\theta p , \theta q}(\Omega)}^{\theta} \end{split}\end{equation}

および

\begin{equation}\begin{split} \|f^{\theta}\|_{L^{p,\infty}(\Omega)} &=\sup_{t \gt 0}\{t^{\frac{1}{p}}(f^{\theta})^*(t)\} \\ &= \sup_{t \gt 0}\{t^{\frac{1}{p}}\{f^*(t)\}^{\theta}\} \\ &= \left\{\sup_{t \gt 0}\{t^{\frac{1}{\theta p}}f^*(t)\}\right\}^{\theta} \\ &=\|f\|_{L^{\theta p,\infty}(\Omega)}^{\theta} \end{split}\end{equation}

より結論を得ます。

 

さて、今回やりたかったことは補間不等式はLorentz空間上でも成立するか?という問題です。与えられたBanach空間 X,Y について、その実補間空間 (X,Y)_{\theta,r} を考えることができますが、このとき f \in X \cap Y に対して次の補間不等式

\begin{equation} \|f\|_{(X,Y)_{\theta,r}} \le C\|f\|_X^{1-\theta}\|f\|_Y^{\theta} \end{equation}

が成立することが知られています。これがさらにBanach空間値の関数として

\begin{equation} \|f(t)\|_{(X,Y)_{\theta,r}} \le C\|f(t)\|_X^{1-\theta}\|f(t)\|_Y^{\theta} \end{equation}

という形で与えられていたとき、そのLorentz空間での不等式はどうなるでしょうか?先ほどの性質からこれをみていきましょう。まずは性質(i)と(ii)から

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{L^{p,q}(\Omega :(X,Y)_{\theta,r})} &= \left\| \|f(\cdot)\|_{(X,Y)_{\theta,r}} \right\|_{L^{p,q}(\Omega)} \\ &\le C\left\| \|f(\cdot)\|_X^{1-\theta}\|f(\cdot)\|_Y^{\theta} \right\|_{L^{p,q}(\Omega)} \end{split}\end{equation}

を得ます。ここでLorentz空間でのHölderの不等式を用います。すなわち、

\begin{equation} 1=\frac{1}{\theta_0}+\frac{1}{\theta_1} \end{equation}

に対して

\begin{equation} \|fg\|_{L^{p,q}(\Omega)} \le 2^{\frac{1}{p}}\|f\|_{L^{\theta_0p,\theta_0q}(\Omega)}\|g\|_{L^{\theta_1p,\theta_1q}(\Omega)} \end{equation}

が成立します。証明は過去の記事を見てください。

 

sushitemple.hatenablog.jp

 

さて、これを用いれば

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{L^{p,q}(\Omega :(X,Y)_{\theta,r})} &\le C\left\| \|f(\cdot)\|_X^{1-\theta}\|f(\cdot)\|_Y^{\theta} \right\|_{L^{p,q}(\Omega)} \\ &\le 2^{\frac{1}{p}}C\left\| \|f(\cdot)\|_X^{1-\theta} \right\|_{L^{\theta_0p,\theta_0q}(\Omega)}\left\| \|f(\cdot)\|_Y^{\theta} \right\|_{L^{\theta_1p,\theta_1q}(\Omega)} \end{split}\end{equation}

となりますが、ここで \theta_0=1/(1-\theta) , \, \theta_1=1/\theta とおけばこれはHölderの不等式の条件を満たすので、 (1-\theta)\theta_0=\theta \theta_1=1 です。ゆえに性質(iii), (i)を用いれば

\begin{equation}\begin{split} &\|f\|_{L^{p,q}(\Omega :(X,Y)_{\theta,r})} \\ &\le 2^{\frac{1}{p}}C\left\| \|f(\cdot)\|_X^{1-\theta} \right\|_{L^{\theta_0p,\theta_0q}(\Omega)}\left\| \|f(\cdot)\|_Y^{\theta} \right\|_{L^{\theta_1p,\theta_1q}(\Omega)} \\ &= 2^{\frac{1}{p}}C\left\| \|f(\cdot)\|_X \right\|_{L^{(1-\theta)\theta_0p,(1-\theta)\theta_0q}(\Omega)}^{1-\theta}\left\| \|f(\cdot)\|_Y \right\|_{L^{\theta\theta_1p,\theta\theta_1q}(\Omega)}^{\theta} \\ &= 2^{\frac{1}{p}}C\left\| \|f(\cdot)\|_X \right\|_{L^{p,q}(\Omega)}^{1-\theta}\left\| \|f(\cdot)\|_Y \right\|_{L^{p,q}(\Omega)}^{\theta} \\ &= 2^{\frac{1}{p}}C\|f\|_{L^{p,q}(\Omega:X)}^{1-\theta}\|f\|_{L^{p,q}(\Omega:Y)}^{\theta} \end{split}\end{equation}

を得ます。これで次の不等式

\begin{equation} \|f\|_{L^{p,q}(\Omega :(X,Y)_{\theta,r})} \le 2^{\frac{1}{p}}C\|f\|_{L^{p,q}(\Omega:X)}^{1-\theta}\|f\|_{L^{p,q}(\Omega:Y)}^{\theta} \end{equation}

を得たわけですが、これがLorentz空間上の補間不等式です!!改めてまとめると、次が成立します。

 

1 \le p \lt \infty , \, 1 \le q,r \le \infty , \, 0 \lt \theta \lt 1 とします。このとき、 f \in L^{p,q}(\Omega:X \cap Y) に対して  f \in L^{p,q}(\Omega :(X,Y)_{\theta,r}) であり、次の不等式

\begin{equation} \|f\|_{L^{p,q}(\Omega :(X,Y)_{\theta,r})} \le C\|f\|_{L^{p,q}(\Omega:X)}^{1-\theta}\|f\|_{L^{p,q}(\Omega:Y)}^{\theta} \end{equation}

が成立します。

 

では今回はここまでとします。見てくださってありがとうございます。