Fubiniの定理っぽいやつ - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。

今回はちょっとわけあって有界有限加法的な符号付き測度空間 $ba (X,\mathcal{M},\mu)$ に対する積分定理を確認していきたいと思います。

この空間が $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ の双対空間であることは前に確認したわけですが、そのとき普通は定義できない有限加法的な測度に対する積分を定義したわけです。

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定義としてはLebesgue式でなく、Riemann式に近い定義を与えました。すなわち、任意の $f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ に対して

\begin{equation} \int_Xf(x)d\lambda (x)=\lim_{\varepsilon \to +0} \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}}f(\xi_j^{\varepsilon})\lambda (E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

と定義したわけです。さて、一応普通の測度じゃなくても積分は定義できるわけですが、Lebesgue式の定式化ではないため、通常の測度論における定義がどの程度通用するかは分かりません。

特に今回関心がある問題は、Fubiniの定理ですね。すなわち測度空間 $(Y,\mathcal{N},\nu)$ を考え、次の積分の順序交換

\begin{equation} \int_Y\int_Xf(x,y)d\lambda (x)d\nu (y) = \int_X\int_Yf(x,y)d\nu (y)d\lambda (x) \end{equation}

がどのような仮定で成立するか？？という問題です。なお、普通は積測度の積分

\begin{equation} \int_{X \times Y}f(x,y)d(\lambda \times \nu)(x,y) \end{equation}

も含めてFubiniの定理を考察しますが、さすがにこれは難しそうなので、今回は逐次積分の交換可能性に焦点を当てていきましょう。というのも、実は過去にFubiniの定理を使っています。

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このときは $L^{\infty}$ の双対について詳しく勉強していなかったため、ここでしっかりと正当化できることを見ましょう。

さて、ではどうするか？？普通の抽象測度論の議論は通用しないわけですが、具体的に積分の形が書けているので、これをまず形式的に代入しましょう。すると

\begin{equation}\begin{split} \int_Y \lim_{\varepsilon \to +0} \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon},y)\lambda (E_j^{\varepsilon}) d\nu (y) &=\lim_{\varepsilon \to +0} \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \int_Y f(\xi_j^{\varepsilon},y) d\nu(y) \lambda (E_j^{\varepsilon}) \\ &=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_Y \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon},y)\lambda (E_j^{\varepsilon}) d\nu (y) \end{split}\end{equation}

となります。これを見ればすぐに分かりますが、要するにこれは測度 $\nu$ に対する極限の順序交換問題に帰着されそうです。実際、

\begin{equation} F_{\varepsilon}(y)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon},y)\lambda (E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

とすれば、

\begin{equation} \int_Y\lim_{\varepsilon \to +0}F_{\varepsilon}(y)d\nu(y)=\lim_{\varepsilon \to +0}\int_YF_{\varepsilon}(y)d\nu(y) \end{equation}

ですね。というわけで、さっそくLebesgueの収束定理が使える条件を考察しましょう！！

さて、 $\mu , \, \nu$ の適当な零集合を $\Omega_{\mu} , \, \Omega_{\nu}$ と書きましょう。ここで

\begin{gather} f(x,\cdot) \in L^1(Y,\mathcal{N},\nu) \quad {}^{\forall}x \in X \setminus \Omega_{\mu} \\ f(\cdot,y) \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu) \quad {}^{\forall}y \in Y \setminus \Omega_{\nu} \end{gather}

とします。このことから任意の $x \in X \setminus \Omega_{\mu}$ に対して $f(x,\cdot)$ は $\mathcal{N}$ 可測です。さらに

\begin{equation} F_{\varepsilon}(y)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon},y)\lambda (E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

が任意の $y \in Y \setminus \Omega_{\nu}$ に対して定義可能であり、 $F_{\varepsilon}$ は $\mathcal{N}$ 可測となります。Lebesgueの収束定理を使うためにはまず各点収束が必要なので、

\begin{equation} \lim_{\varepsilon \to +0}F_{\varepsilon}(y)=\lim_{\varepsilon \to +0}\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon},y)\lambda (E_j^{\varepsilon}) =\int_Xf(x,y)d\lambda (x)\end{equation}

を言いたいわけですが、これは $f(\cdot,y) \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ なのでOKです。さて、あとはこれが $\varepsilon \gt 0$ によらない可積分関数で抑えられればいいですから、例えば

\begin{equation}\begin{split} |F_{\varepsilon}(y)| &\le \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} |f(\xi_j^{\varepsilon},y)||\lambda (E_j^{\varepsilon})| \\ &\le \|f(\cdot,y)\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} |\lambda (E_j^{\varepsilon})| \\ &\le \|f(\cdot,y)\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \end{split}\end{equation}

ですから、

\begin{equation} \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \in L^1(Y,\mathcal{N},\nu) \end{equation}

ならばLebesgueの収束定理が使えます。

さて、まとめると、次が成立します。

2つの測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu) , \, (Y,\mathcal{N},\nu)$ に対して $\lambda \in ba(X,\mathcal{M},\mu)$ とします。このとき $(X,\mathcal{M},\mu) \times (Y,\mathcal{N},\nu)$ 上の関数 $f$ が

\begin{equation} \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \in L^1(Y,\mathcal{N},\nu) \end{equation}

を満たすならば、Fubiniの定理

\begin{equation} \int_Y\int_Xf(x,y)d\lambda (x)d\nu (y) = \int_X\int_Yf(x,y)d\nu (y)d\lambda (x) \end{equation}

が成立します。

さて、この結果についてですが、初めは

を仮定していました。実際これは各積分を定義するために必要な条件です。この条件は各変数 $x$ および $y$ に関する単独の条件なわけですが、Lebesgueの収束定理を用いるには

\begin{equation} \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \in L^1(Y,\mathcal{N},\nu) \end{equation}

という条件が必要になっています。こちらは単独ではなく両方の条件が必要で、より強い仮定です。実際、例えば普通のEuclid空間 $\mathbb{R}^n$ の場合、次の関数

\begin{equation} f(x,y)=g(x+y) \end{equation}

を考えてみれば分かります。もし各変数の単独の条件なら

\begin{equation} g \in L^1 \cap L^{\infty} \end{equation}

という条件で大丈夫です。しかし両方の条件では、

\begin{equation} \|g(\cdot +y)\|_{L^{\infty}}=\|g\|_{L^{\infty}} \end{equation}

なので、これは $y$ によらない定数となり、可積分ではないです。

つまり、Lebesgueの収束定理によるFubiniの定理はかなり強い条件が必要なので、使える場面があまり多くありません。そこで、他の収束定理を考えてみましょう。ひとつは単調収束定理がありますが、これは関数列

\begin{equation} F_{\varepsilon}(y)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon},y)\lambda (E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

が単調増加かどうか分からないので、使えません。ではFatouの補題はどうか？？これを使って考えてみましょう！！

まずはFatouの補題の主張を確認しておきます。

測度空間 $(Y,\mathcal{N},\nu)$ に対して非負値の $\mathcal{N}$ 可測関数列 $\{F_{\varepsilon}\}$ を考えるとき、

\begin{equation} \int_Y\liminf_{\varepsilon \to +0}F_{\varepsilon}(y)d\nu (y) \le \liminf_{\varepsilon \to +0} \int_Y F_{\varepsilon}(y) d\nu (y) \end{equation}

が成立します。

さて、この主張は非負値可測関数列ならなんでもよいです。もちろん積分の値は $\infty$ となる可能性がありますが、それを認めたうえでの結果となります。

さて、ではこれを使って逐次積分を考えてきましょう。

\begin{equation} f(\cdot,y) \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu) \quad {}^{\forall}y \in Y \setminus \Omega_{\nu} \end{equation}

とします。ここでは関数列を

\begin{equation} F_{\varepsilon}(y)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} |f(\xi_j^{\varepsilon},y)||\lambda |(E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

と定義することで、非負値可測関数列としましょう。さて、この積分は

\begin{equation}\begin{split} \liminf_{\varepsilon \to +0}F_{\varepsilon}(y) &=\lim_{\varepsilon \to +0}F_{\varepsilon}(y) \\ &=\lim_{\varepsilon \to +0}\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} |f(\xi_j^{\varepsilon},y)||\lambda |(E_j^{\varepsilon}) \\ &=\int_X |f(x,y)|d|\lambda|(x) \end{split}\end{equation}

となります。したがってFatouの補題から

\begin{equation}\begin{split} \int_Y \int_X |f(x,y)|d|\lambda|(x) d\nu (y) &\le \liminf_{\varepsilon \to +0} \int_Y F_{\varepsilon}(y) d\nu (y) \\ &\le \lim_{\varepsilon \to +0} \int_Y \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} |f(\xi_j^{\varepsilon},y)||\lambda |(E_j^{\varepsilon}) d\nu(y) \\ &= \int_X \int_Y |f(x,y)| d\nu (y)d|\lambda|(x) \end{split}\end{equation}

が得られます。ここで右辺の可積分性は分かりません。しかし値として $\infty$ を認めることで、とりあえずこの不等式は成立します。したがってまとめると、次が成立します。

\begin{equation} f(\cdot,y) \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

を満たすならば、Fatouの補題

\begin{equation} \int_Y\int_X|f(x,y)|d|\lambda (x)|d\nu (y) \le \int_X\int_Y|f(x,y)|d\nu (y)d|\lambda (x)| \end{equation}

が成立します。

普通のFubiniの定理は絶対値を付ければ $\infty$ も込めて等式が成立しますが、残念ながら今のところはここまでしか言えていません。とはいえ、不等式評価が主な解析においてはこの評価でも十分議論できるとは思います。

さて、ではこれを使って過去に使ったFubiniの定理を正当化しましょう！！過去にやったことは、Schwartz関数の空間 $\mathscr{S}$ およびその双対である緩増加超関数の空間 $\mathscr{S}^*$ に対して、 $f \in \mathscr{S} , \, \lambda \in (L^{\infty})^*$ ならば超関数として

\begin{equation} \lambda *f = \int_{\mathbb{R}^n} f(\cdot -x)d\lambda (x) \end{equation}

が成立することでした。超関数の畳み込みの定義にのっとって、これを示しましょう！！ $m_{-1}$ を引数を $-1$ 倍する作用素とします。任意の $g \in \mathscr{S}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \left< \lambda*f,g \right>&=\left< \lambda,(m_{-1}f)*g \right> \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} ((m_{-1}f)*g)(x)d\lambda (x) \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} (m_{-1}f)(x-y)g(y)dy \right) d\lambda (x) \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(y-x)g(y)dy \right) d\lambda (x) \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(y-x) d\lambda (x) \right) g(y)dy \\ &= \left< \int_{\mathbb{R}^n} f(\cdot -x)d\lambda (x),g \right> \end{split}\end{equation}

として示したわけですが、途中で積分を交換しているので、Fubiniの定理です。これは実際

\begin{equation}\begin{split} \int_{\mathbb{R}^n} \|f(y-\cdot)g(y)\|_{L^{\infty}}dy &\le \|f\|_{L^{\infty}}\int_{\mathbb{R}^n}|g(y)|dy \\ &=\|f\|_{L^{\infty}}\|g\|_{L^1} \\ &\lt \infty \end{split}\end{equation}

となっているから、確かに成立します。ゆえに

\begin{equation} \lambda *f = \int_{\mathbb{R}^n} f(\cdot -x)d\lambda (x) \end{equation}

が確かめられました！！さらにその後の積分交換もやはりFatouで成立します。

さて、では今回はここまでとします。次回で一応この話は一区切りにしたいと思います。よろしくお願いします。