Fourier multiplierまわりの話題 - SUSHITEMPLEのブログ

どうもこんにちは。ひよこてんぷらです。

ちょっとわけあってFourier multiplierまわりのことを勉強しています。なんでこんなことを勉強しているかは後で話すことにして、とりあえず分かったことをつらつらと述べていきたいと思います。

まずは次の関数空間を定義します。

$1 \le p \le \infty$ に対して $M_p$ を

\begin{equation} M_p=M_p(\mathbb{R}^n) = \left\{ \rho \in \mathscr{S}^* \, \left| \, \|\rho\|_{M_p} = \sup_{f \in \mathscr{S} \setminus \{0\}} \frac{\|\mathcal{F}^{-1}[\rho ]*f\|_{L^p}}{\|f\|_{L^p}} \lt \infty \right.\right\} \end{equation}

と定義します。ここで $\mathscr{S}=\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ は急減少関数の空間、 $\mathscr{S}^*=\mathscr{S}^*(\mathbb{R}^n)$ はその双対、すなわち緩増加超関数の集合とします。また $\mathcal{F}$ はFourier変換です。この定義はBergh-Löfströmの「Interpolation Spaces」によるものです。

要するにこれは $\mathcal{F}^{-1} [\rho ]*$ という作用素の作用素normみたいなやつです。つまり

\begin{equation} \|\mathcal{F}^{-1}[\rho ]*f\|_{L^p} \le \|\rho\|_{M_p} \|f\|_{L^p} \end{equation}

が成立します。また、次の関係

\begin{equation} \mathcal{F}^{-1}[f]*\mathcal{F}^{-1}[g]=\mathcal{F}^{-1}[fg] \end{equation}

より

\begin{equation} \mathcal{F}^{-1}[\rho ]*f=\mathcal{F}^{-1}[\rho \mathcal{F}[f]] \end{equation}

を得ますから、作用素 $\mathcal{F}^{-1} [\rho ]*$ は $\rho$ をmultiplierとするFourier multiplier $\mathcal{F}^{-1} \rho \mathcal{F}$ です。ここで、 $1 \le p \lt \infty$ のとき $\overline{\mathscr{S}}=L^p$ に注意すれば、この作用素は $L^p$ から $L^p$ への有界線形作用素へ拡張することができます。すなわち

\begin{equation} \|\rho\|_{M_p}=\|\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}\|_{\mathcal{L}(L^p)} \end{equation}

です。 $p=\infty$ の場合は少し事情が複雑なので、後で説明します。

さて、さっそくこの関数空間の性質を見ていきたいのですが、はじめにいくつかの命題を示しておきます。まずは今後使うために簡単な作用素を定義しておきます。 $t \neq 0$ および全空間上で定義された関数 $f$ に対して $m_tf=f(t \cdot)$ としておきます。要するに $t$ 倍するという作用素です。また、緩増加 $C^{\infty}$ 級関数の集合 $\mathscr{O}_M$ を

\begin{equation}\begin{split} \mathscr{O}_M &= \mathscr{O}_M(\mathbb{R}^n) \\ &= \left\{ f \in C^{\infty} \, \left| \, \begin{gathered} {}^{\forall} \alpha \in \mathbb{N}_0^n \quad {}^{\exists}C_{\alpha} \gt 0 \quad {}^{\exists}m_{\alpha} \in \mathbb{N} \quad \text{s.t.} \\ |\partial_x^{\alpha}f(x)| \le C_{\alpha}(1+|x|)^{m_{\alpha}} \quad \text{in } \mathbb{R}^n \end{gathered} \right.\right\} \end{split}\end{equation}

と定義しておきます。要するに滑らかで何回微分しても多項式ぐらいの増大度を持つということです。この定義は垣田「シュワルツ超関数入門」から引っ張ってきました。

では基本命題として次を確認しておきます。

命題A:

$f,g \in \mathscr{S}$ ならば $f*g \in \mathscr{S}$ が成立します。また、 $T \in \mathscr{S}^* , \, f \in \mathscr{S}$ に対して $T*f$ を

\begin{equation} \left< T*f,\varphi \right>=\left< T,(m_{-1}f)*\varphi \right> \quad {}^{\forall} \varphi \in \mathscr{S} \end{equation}

で定義すれば、 $T*f \in \mathscr{O}_M$ が成立します。このとき $f,g \in \mathscr{S}$ に対して

\begin{equation} \left<T*f,g\right>=\left<T*(m_{-1}g),m_{-1}f\right> \end{equation}

が成立します。

命題B:

$1 \le p \lt \infty$ のとき

\begin{equation} \|g\|_{L^q} = \sup_{f \in L^p \setminus \{0\}} \frac{|\left< f,g \right>|}{\|f\|_{L^p}} \quad \text{for} \quad \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{equation}

であり、

\begin{equation} \sup_{f \in L^p \setminus \{0\}} \frac{\|\rho f\|_{L^p}}{\|f\|_{L^p}}=\|\rho\|_{L^{\infty}} \end{equation}

が成立します。ただし上式のいずれかは有限値とします。

命題C:

norm空間 $X$ とその部分空間 $L$ に対して、 $f \in L^*$ は次の意味で $\overline{f} \in X^*$ に拡張できます。

\begin{equation} \|\overline{f}\|_{X^*}=\|f\|_{L^*} , \quad \overline{f}=f \quad \text{in } L \end{equation}

また、上の拡張を用いると、次が成立します。

\begin{equation} \sup_{g \in \mathscr{S} \setminus \{0\}} \frac{|\left<f,g\right>|}{\|g\|_{L^{\infty}}}=\|\overline{f}\|_{(L^{\infty})^*}=|\overline{f}|(\mathbb{R}^n) \end{equation}

命題Aに対して、普通畳み込みは次式で定義されます。

\begin{equation} (f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^n} f(y)g(x-y)dy \end{equation}

これは $L^p$ くらいなら普通に定義できるので、急減少関数 $\mathscr{S}$ のclassなら上式で計算できます。ところが超関数くらいになるとよくわからないので、双対関係を用いて定義します。あの定義は、性質のよい関数、例えば $\mathscr{S}^*$ の代わりに多項式増大度の連続関数くらいなら普通の畳み込みと同じになります。双対関係は、多項式増大度の局所可積分関数 $L_{\mathrm{loc}}^1 = L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^n)$ くらいに対しては普通の積分

\begin{equation} \left<f,g\right>=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x)dx \end{equation}

の意味ですが、これも超関数だとうまく積分が定式化されないこともあるので少し慎重に考えます。例えば超関数とみなせるような測度 $\mu$ は次の双対

\begin{equation} \left<\mu,f\right>=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)d\mu (x) \end{equation}

を考えたりします。また、最後の等式は畳み込みの定義を2回使って

\begin{equation}\begin{split} \left<T*f,g\right> &=\left< T,(m_{-1}f)*g \right> \\ &=\left< T,(m_{-1}m_{-1}g)*m_{-1}f \right> \\ &=\left<T*(m_{-1}g),m_{-1}f\right> \end{split}\end{equation}

とすればよいです。他の証明はすべて「シュワルツ超関数入門」に載っています。

命題Bの前半の主張は $L^p$ 空間の双対性です。この主張は $p=\infty$ では成立しないことに注意します。後半の主張は双対性から示すことができます。まずはすぐに分かるように、 $\rho \in L^{\infty}$ ならば任意の $f \in L^p$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \|\rho f\|_{L^p} &=\left( \int_{\mathbb{R}^n} |\rho (x)f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\le \|\rho\|_{L^{\infty}}\left( \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= \|\rho\|_{L^{\infty}}\|f\|_{L^p} \end{split}\end{equation}

なので

\begin{equation} \sup_{f \in L^p \setminus \{0\}} \frac{\|\rho f\|_{L^p}}{\|f\|_{L^p}} \le \|\rho\|_{L^{\infty}} \end{equation}

となります。逆については、まず双対性から

\begin{equation}\begin{split} \|\rho\|_{L^{\infty}}^p &= \||\rho|^p\|_{L^{\infty}} \\ &= \sup_{f \in L^1 \setminus \{0\}} \frac{|\left< |\rho|^p,f \right>|}{\|f\|_{L^1}} \\ &=\sup_{f \in L^1 \setminus \{0\}} \frac{1}{\|f\|_{L^1}} \left| \int_{\mathbb{R}^n} |\rho(x)|^pf(x)dx \right| \\ &\le \sup_{f \in L^1 \setminus \{0\}} \frac{1}{\|f\|_{L^1}}\int_{\mathbb{R}^n} |\rho(x)|^p|f(x)|dx \end{split}\end{equation}

を導きます。ここで $f \in L^1$ ならば $|f|^{\frac{1}{p}} \in L^p$ に注意すれば、仮定から

\begin{equation}\begin{split} \frac{1}{\|f\|_{L^1}}\int_{\mathbb{R}^n} |\rho(x)|^p|f(x)|dx &= \frac{1}{\| (|f|^{\frac{1}{p}})^p\|_{L^1}}\int_{\mathbb{R}^n} |\rho(x)|^p(|f(x)|^{\frac{1}{p}})^pdx \\ &= \frac{1}{\||f|^{\frac{1}{p}}\|_{L^p}^p} \times \|\rho |f|^{\frac{1}{p}}\|_{L^p}^p \\ &\le \left(\sup_{f \in L^p \setminus \{0\}} \frac{\|\rho f\|_{L^p}}{\|f\|_{L^p}}\right)^p\end{split}\end{equation}

を得ますので、これらを合わせて

\begin{equation} \|\rho\|_{L^{\infty}}^p \le \left(\sup_{f \in L^p \setminus \{0\}} \frac{\|\rho f\|_{L^p}}{\|f\|_{L^p}}\right)^p \end{equation}

となります。

最後に命題Cですが、前半の主張はHahn Banachの定理としてよく知られています。後半の主張について、もう一度等式を書いておくと、

\begin{equation} \sup_{g \in \mathscr{S} \setminus \{0\}} \frac{|\left<f,g\right>|}{\|g\|_{L^{\infty}}}=\|\overline{f}\|_{(L^{\infty})^*}=|\overline{f}|(\mathbb{R}^n) \end{equation}

が成立するというものですが、ここで $|\overline{f}|(\mathbb{R}^n)$ は測度の意味です。つまり

\begin{equation} |\overline{f}|(\mathbb{R}^n)=\int_{\mathbb{R}^n} d|\overline{f}| \end{equation}

が成立します。 $L^p$ の双対は命題Bによって $(L^p)^*=L^q$ が成立するわけですが、これは $p = \infty$ の場合は成立しないわけでした。では $(L^{\infty})^*$ はなんなのか？というと、僕はあまり詳しくはないのですが、どうやらこれは測度としてみることができるようです。つまり $\|\overline{f}\|_{(L^{\infty})^*}=|\overline{f}|(\mathbb{R}^n)$ の部分に関しては $L^{\infty}$ の双対として導かれることです。さて、これが分かれば後は簡単で、Hahn Banachの定理を使えば証明できます。急減少関数の空間 $\mathscr{S}$ は通常seminormを導入してFréchet空間とみるわけですが、ここでは $L^{\infty}$ の部分空間として $\mathscr{S}=(\mathscr{S},\|\cdot\|_{L^{\infty}})$ とみます。つまり $L^{\infty}$ の位相を備えているとします。そうすればHahn Banachの定理より $f \in \mathscr{S}^*$ は

\begin{equation} \sup_{g \in \mathscr{S} \setminus \{0\}} \frac{|\left<f,g\right>|}{\|g\|_{L^{\infty}}}=\|f\|_{\mathscr{S}^*}=\|\overline{f}\|_{(L^{\infty})^*}=|\overline{f}|(\mathbb{R}^n) \end{equation}

と拡張できるわけです。これで証明完了です。

ではここらで準備はおしまいにして、関数空間 $M_p$ に関する性質を見ていきます。まずは次を示します。

$1 \le p,q \le \infty$ は

\begin{equation} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{equation}

を満たしているとします。このとき

\begin{equation} M_p=M_q \quad \text{with} \quad \|\cdot\|_{M_p}=\|\cdot\|_{M_q} \end{equation}

が成立します。さらに

\begin{equation}\begin{split} M_1&=\mathcal{F}(L^{\infty})^* \quad \text{with} \quad \|\cdot\|_{M_1}=\|\mathcal{F}^{-1} [\cdot ]\|_{(L^{\infty})^*}=|\mathcal{F}^{-1}[\cdot ]|(\mathbb{R}^n) \\ M_2&=L^{\infty} \quad \text{with} \quad \|\cdot\|_{M_2}=\|\cdot\|_{L^{\infty}} \end{split}\end{equation}

が成立します。

では示してみましょう。以下、 $\rho \in M_p , \, f,g \in \mathscr{S}$ とします。命題AおよびHölderの不等式、また $M_p$ の定義を用いれば

\begin{equation}\begin{split} \left|\left<\mathcal{F}^{-1}[\rho]*g,f\right>\right| &=\left|\left< \mathcal{F}^{-1}[\rho]*(m_{-1}f),m_{-1}g \right>\right| \\ &\le \|\mathcal{F}^{-1}[\rho]*(m_{-1}f)\|_{L^p}\|m_{-1}g\|_{L^q} \\ &\le \|\rho\|_{M_p}\|m_{-1}f\|_{L^p}\|m_{-1}g\|_{L^q} \\ &=\|\rho\|_{M_p}\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} \end{split}\end{equation}

を得ます。さて、ここで $1 \le p \lt \infty$ とします。このときは命題Bから

\begin{equation}\begin{split} \|\mathcal{F}^{-1}[\rho]*g\|_{L^q} &= \sup_{f \in L^p \setminus \{0\}} \frac{1}{\|f\|_{L^p}} \left| \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho]*g,f \right> \right| \\ &\le \sup_{f \in L^p \setminus \{0\}} \frac{1}{\|f\|_{L^p}} \times \|\rho\|_{M_p}\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} \\ &= \|\rho\|_{M_p}\|g\|_{L^q} \end{split}\end{equation}

を得ます。あとは両辺を $\|g\|_{L^q}$ で割ってsupをとれば $\|\rho\|_{M_q} \le \|\rho\|_{M_p}$ を得ます。したがって $M_p \subset M_q$ です。 $1 \lt p \lt \infty$ に対しては $p,q$ を入れ替えて議論することで $M_p=M_q$ となります。 $p=1$ の場合のみ命題Bの双対性が使えず $M_1 \subset M_{\infty}$ にとどまります。

では $M_{\infty} \subset M_1$ は個別に示しましょう。まず初めに、

\begin{equation} S_{\rho}=\sup_{f \in \mathscr{S} \setminus \{0\}}\frac{\left|\left<\mathcal{F}^{-1}[\rho], f\right>\right|}{\|f\|_{L^{\infty}}} \end{equation}

とおくと $S_{\rho}=\|\rho\|_{M_{\infty}}$ が成立することを示します。まず $S_{\rho} \lt \infty$ としましょう。このとき、命題Aから任意の $f,g \in \mathscr{S}$ に対して $(m_{-1}f)*g \in \mathscr{S}$ なので、超関数の畳み込みの定義から

\begin{equation}\begin{split} \left| \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho]*f,g \right> \right| &=\left| \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho],(m_{-1}f)*g \right> \right| \\ &\le S_{\rho}\|(m_{-1}f)*g\|_{L^{\infty}} \\ &\le S_{\rho}\|m_{-1}f\|_{L^{\infty}}\|g\|_{L^1} \\ &= S_{\rho}\|f\|_{L^{\infty}}\|g\|_{L^1} \end{split}\end{equation}

となります。途中でYoungの不等式を用いました。したがって命題Bの双対性から

\begin{equation}\begin{split} \|\mathcal{F}^{-1}[\rho]*f\|_{L^{\infty}} &= \sup_{g \in L^1 \setminus \{0\}} \frac{1}{\|g\|_{L^1}} \left| \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho]*f,g \right> \right| \\ &\le \sup_{g \in L^1 \setminus \{0\}} \frac{1}{\|g\|_{L^1}} \times S_{\rho}\|f\|_{L^{\infty}}\|g\|_{L^1} \\ &= S_{\rho}\|f\|_{L^{\infty}} \end{split}\end{equation}

より両辺を $\|f\|_{L^{\infty}}$ で割ってsupをとれば $\|\rho\|_{M_{\infty}} \le S_{\rho}$ が成立します。一方で $\|\rho\|_{M_{\infty}} \lt \infty$ ならば、定義から任意の $f \in \mathscr{S}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \|\mathcal{F}^{-1}[\rho]*(m_{-1}f)\|_{L^{\infty}} &\le \|\rho\|_{M_{\infty}}\|m_{-1}f\|_{L^{\infty}} \\ &=\|\rho\|_{M_{\infty}}\|f\|_{L^{\infty}} \\ &\lt \infty \end{split}\end{equation}

が成立します。命題Aと合わせれば畳み込み $\mathcal{F}^{-1}[\rho ]*(m_{-1}f)$ は滑らかな有界関数であり、すなわち普通の意味で各点における値を定義できます。したがって各点 $x \in \mathbb{R}^n$ に対して

\begin{equation}\begin{split} (\mathcal{F}^{-1}[\rho]*(m_{-1}f))(x) &=\int_{\mathbb{R}^n} \mathcal{F}^{-1}[\rho](y)(m_{-1}f)(x-y)dy \\ &=\int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{F}^{-1}[\rho](y)f(y-x)dy \end{split}\end{equation}

が成立します。ここで $x=0$ とすれば

\begin{equation}\begin{split} (\mathcal{F}^{-1}[\rho]*(m_{-1}f))(0)=\int_{\mathbb{R}^n}\mathcal{F}^{-1}[\rho](y)f(y)dy=\left< \mathcal{F}^{-1}[\rho],f \right> \end{split}\end{equation}

が成立します。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} \left| \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho],f \right> \right| &= \left|(\mathcal{F}^{-1}[\rho]*(m_{-1}f))(0)\right| \\ &\le \|\mathcal{F}^{-1}[\rho]*(m_{-1}f)\|_{L^{\infty}} \\ &\le \|\rho\|_{M_{\infty}}\|f\|_{L^{\infty}} \end{split}\end{equation}

となり、両辺を $\|f\|_{L^{\infty}}$ で割ってsupをとれば $S_{\rho} \le \|\rho\|_{M_{\infty}}$ が分かります。したがって

\begin{equation} \|\rho\|_{M_{\infty}}=S_{\rho}=\sup_{f \in \mathscr{S} \setminus \{0\}}\frac{\left|\left<\mathcal{F}^{-1}[\rho], f\right>\right|}{\|f\|_{L^{\infty}}} \end{equation}

が成立するわけですが、ここで命題Cより作用素を拡張して

\begin{equation} \sup_{f \in \mathscr{S} \setminus \{0\}}\frac{\left|\left<\mathcal{F}^{-1}[\rho], f\right>\right|}{\|f\|_{L^{\infty}}}=\|\overline{\mathcal{F}^{-1}[\rho]}\|_{(L^{\infty})^*}=|\overline{\mathcal{F}^{-1}[\rho]}|(\mathbb{R}^n) \end{equation}

が成立するようにできます。さて、初めに $1 \le p \lt \infty$ のときFourier multiplier $\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}$ は $L^p$ から $L^p$ への有界線形作用素へ拡張することができ、

\begin{equation} \|\rho\|_{M_p}=\|\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}\|_{\mathcal{L}(L^p)} \end{equation}

となることを言いましたが、 $p=\infty$ の場合は $\overline{\mathscr{S}} \neq L^{\infty}$ なので、上記のような拡張はできないわけでした。しかし $p=\infty$ のときは、Hahn Banachの定理によって拡張された $L^{\infty}$ から $\mathbb{R}$ への作用素 $\overline{\mathcal{F}^{-1}[\rho ]}$ は測度とみなすことができるわけです。この拡張を含めて

\begin{equation} \|\rho\|_{M_{\infty}}=\|\mathcal{F}^{-1}[\rho]\|_{(L^{\infty})^*}=|\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(\mathbb{R}^n) \end{equation}

と書くことにします。そうすると、 $M_{\infty} \subset M_1$ を示すことができます。実際、 $\rho \in M_{\infty}$ のとき $\mathcal{F}^{-1}[\rho ]$ は測度とみなせるので、畳み込みの定義および測度に対する双対関係を用いれば、 $f,g \in \mathscr{S}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho]*f,g \right> &=\left< \mathcal{F}^{-1}[\rho],(m_{-1}f)*g \right> \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} ((m_{-1}f)*g)(x) d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} (m_{-1}f)(x-y)g(y)dy \right) d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(y-x)g(y)dy \right) d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} f(y-x)d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) \right) g(y)dy \\ &= \left< \int_{\mathbb{R}^n} f(\cdot-x)d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) ,g\right> \end{split}\end{equation}

が成立しますから、超関数として

\begin{equation} \mathcal{F}^{-1}[\rho]*f=\int_{\mathbb{R}^n} f(\cdot-x)d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) \end{equation}

が成立します。なお、途中で積分を交換していますが、これはFubiniの定理を使えばよいです。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} \|\mathcal{F}^{-1}[\rho]*f\|_{L^1} &= \int_{\mathbb{R}^n} |(\mathcal{F}^{-1}[\rho]*f)(x)|dx \\ &= \int_{\mathbb{R}^n} \left| \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)d\mathcal{F}^{-1}[\rho](y) \right| dx \\ &\le \int_{\mathbb{R}^n} \left( \int_{\mathbb{R}^n} |f(x-y)| dx \right) d|\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(y) \\ &=\|f\|_{L^1} \int_{\mathbb{R}^n} d|\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(y) \\ &= \|f\|_{L^1} |\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(\mathbb{R}^n) \\ &= \|f\|_{L^1} \|\rho\|_{M_{\infty}} \end{split}\end{equation}

より両辺を $\|f\|_{L^1}$ で割ってsupをとれば $\|\rho\|_{M_1} \le \|\rho\|_{M_{\infty}}$ が示されます。したがって $M_{\infty} \subset M_1$ も分かりました。これで $M_1=M_{\infty}$ が示され、さらに

\begin{equation} \|\rho\|_{M_1}=\|\mathcal{F}^{-1}[\rho]\|_{(L^{\infty})^*}=|\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(\mathbb{R}^n) \end{equation}

が言えました。すなわち $M_1=\mathcal{F}(L^{\infty})^*$ です。また、 $M_2=L^{\infty}$ については、次の関係

\begin{equation} \mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[g] \end{equation}

およびParsevalの等式 $\|\mathcal{F} [f ]\|_{L^2}=(2\pi)^{\frac{1}{2}n}\|f\|_{L^2}$ を用いれば、命題Bに注意して

\begin{equation}\begin{split} \|\rho\|_{M_2} &=\sup_{f \in L^2 \setminus \{0\}} \frac{\|\mathcal{F}^{-1}[\rho] * f\|_{L^2}}{\|f\|_{L^2}} \\ &=\sup_{\mathcal{F}[f] \in L^2 \setminus \{0\}} \frac{(2\pi)^{-\frac{1}{2}n}\|\mathcal{F}[\mathcal{F}^{-1}[\rho] * f]\|_{L^2}}{(2\pi)^{-\frac{1}{2}n}\|\mathcal{F}[f]\|_{L^2}} \\ &=\sup_{\mathcal{F}[f] \in L^2 \setminus \{0\}} \frac{\|\rho \mathcal{F}[f]\|_{L^2}}{\|\mathcal{F}[f]\|_{L^2}} \\ &=\|\rho\|_{L^{\infty}} \end{split}\end{equation}

より従います。

さて、やっと証明が終わりました！！一番証明が大変だったのはやはり $p=\infty$ の場合でしたね……なかなか理解できずに長い間苦しんでいました。他にも $M_p$ の満たす性質はあるのですが、かなり長くなってしまったので今回はここまでとします。ありがとうございます。