L^∞の双対空間について - SUSHITEMPLEのブログ

みなさんこんにちは。ひよこてんぷらです。いきなりですが、今回は $L^{\infty}$ の双対空間についてお話したいと思います。なんでこんなことを考えたのかはおいおい話すとして、さっそくやっていきましょう。今回の話はDunford-Schwartzの「Linear Operators PartI」のp.296あたりのことを紐解いていく感じです。

まずは $X$ を抽象的な集合とし、 $\mathcal{M}$ を $X$ 上の完全加法族とします。さて、ここで有界有限加法的(bounded finitely additive)な符号付き測度

\begin{equation} \lambda : \mathcal{M} \to \mathbb{R} \end{equation}

を、 $\lambda (\varnothing)=0$ および $E_1 \cap E_2=\varnothing$ なる任意の $E_1,E_2 \in \mathcal{M}$ に対して

\begin{equation} \lambda (E_1 \cup E_2)=\lambda (E_1)+\lambda (E_2) \end{equation}

を満たすようなものと定義します。ここで、通常の測度は値に $\infty$ を取る可能性があるわけですが、ここでは有界な測度、すなわち常に有限値をとるものとします。また、通常の測度は完全加法性を持ちますが、ここでは有限加法性しか仮定していないことに注意します。

さて、これらの準備のもと、次の関数空間を導入します。

\begin{equation} ba(X,\mathcal{M}) = \left\{ \lambda : \mathcal{M} \to \mathbb{R} \, | \, \lambda : \text{finitely additive} \right\} \end{equation}

まさしくこの関数空間は有界有限加法的な符号付き測度の空間です。さて、この関数空間には次のnorm

\begin{equation}\begin{split} &\|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \\ &= \sup \left\{\left. \sum_{j=1}^N |\lambda (E_j)| \, \right| \, N \in \mathbb{N} \text{ and } \{E_j\}_{j=1}^N \subset \mathcal{M} : \text{disjoint} \right\} \end{split}\end{equation}

を導入することでBanach空間となることを示すことができます。なお、次の関係

\begin{equation} \sup_{E \in \mathcal{M}}|\lambda (E)| \le \|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \le 4 \sup_{E \in \mathcal{M}}|\lambda (E)| \end{equation}

および

\begin{equation} |\lambda|(X)=\|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \end{equation}

が成立するため、normにはいくつかの選択肢があるということに注意します。

さて、では次に $(X,\mathcal{M},\mu)$ を $\sigma$ 有限な測度空間とします。なおここでの $\mu$ は通常の測度であることに気を付けましょう。そして、先ほどの空間の部分空間を次のように定義します。

\begin{equation}\begin{split} &ba(X,\mathcal{M},\mu) \\ &=\left\{ \lambda \in ba(X,\mathcal{M}) \, \left| \, \lambda (E)=0 \text{ for } E \in \mathcal{M} \text{ with } \mu(E)=0 \right.\right\} \end{split}\end{equation}

さて、先ほどの空間 $ba(X,\mathcal{M})$ との違いは、測度 $\mu$ との関係が追加されていることです。この関係はつまり、 $\mu$ での零集合は $\lambda$ でもまた零集合となっているということです。この関係は絶対連続と呼ばれます。normは上で定義した $\|\cdot\|_{ba(X,\mathcal{M})}$ を与えます。

さて、これらの準備のもと、 $L^{\infty}$ の双対空間を考えていきます。いまから示したいことは、 $\lambda \in ba(X,\mathcal{M},\mu)$ に対して写像 $T_{\lambda}$ を

\begin{equation} T_{\lambda}f=\int_Xf(x)d\lambda (x) \quad {}^{\forall}f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

と定義すれば、 $T_{\lambda}$ を $\lambda$ と同一視することで

\begin{equation} L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*=ba(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

となることです。

しかしこれを示す際にまず注意しなければならないことは、積分

\begin{equation} \int_Xf(x)d\lambda (x) \quad {}^{\forall}f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

をどのように定義するかです。普通は測度に対してその積分をLebesgue式の定義で与えることができますが、いま $\lambda$ は有限加法的なので、普通の測度ほどいい振る舞いをしてくれるとは限りません。したがって、ここらへんの話を慎重に考えていきます。

はじめに、 $f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ とします。このことから $f$ は $\mathcal{M}$ 可測関数であることがいえますが、ここでの関数 $f$ は、次の意味での関数とすることに注意します。

\begin{equation} f:(X,\mathcal{M},\mu) \to (\mathbb{R},\mathcal{B},|\cdot|) \end{equation}

なお、 $\mathcal{B}$ は実数直線 $\mathbb{R}$ に対応するBorel集合族とし、 $|\cdot|$ は普通のLebesgue測度とします。したがって任意の $I \in \mathcal{B}$ に対して

\begin{equation} f^{-1}(I) \in \mathcal{M} \end{equation}

が分かります。また、 $f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ より

\begin{equation} \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \lt \infty \end{equation}

が成立しますが、これはつまり $\mu (\Omega)=0$ なる集合 $\Omega \in \mathcal{M}$ が存在して

\begin{equation} (*) \quad |f(x)| \le \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \quad {}^{\forall}x \in X \setminus \Omega \end{equation}

が成立しているということです。いま $\lambda \in ba(X,\mathcal{M},\mu)$ なので、絶対連続性から

\begin{equation} \mu (\Omega)=0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda (\Omega)=0 \end{equation}

となります。すなわち $\Omega$ は $\mu$ における零集合なわけですが、 $\lambda$ においても零集合です。ゆえに上式のsupをとって

\begin{equation} (**) \quad \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\lambda)} \le \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \end{equation}

が得られます。また、 $(*)$ から像空間 $f(X \setminus \Omega)$ は有界であることが言えるわけですが、関数 $f$ は $(\mathbb{R},\mathcal{B},|\cdot|)$ 値であることに注意すれば、任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して適当な非交差左半開区間列 $\{ I_j^{\varepsilon }\}_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \subset \mathcal{B}$ が存在して

\begin{equation} f(X \setminus \Omega) \subset \bigcup_{j=1}^{N_{\varepsilon}} I_j^{\varepsilon} \quad \text{and} \quad f(X \setminus \Omega)\cap I_j^{\varepsilon} \neq \varnothing \quad \text{and} \quad |I_j^{\varepsilon}| \lt \varepsilon \end{equation}

が成立するようにできます。したがって特に

\begin{equation} f(X \setminus \Omega) = \left(\bigcup_{j=1}^{N_{\varepsilon}} I_j^{\varepsilon} \right) \cap f(X \setminus \Omega)=\bigcup_{j=1}^{N_{\varepsilon}} (I_j^{\varepsilon} \cap f(X \setminus \Omega) ) \end{equation}

ですが、両辺の逆像をとって

\begin{equation} X \setminus \Omega = \bigcup_{j=1}^{N_{\varepsilon}} (f^{-1}(I_j^{\varepsilon}) \cap (X \setminus \Omega ) ) \quad \text{and} \quad (X \setminus \Omega ) \cap f^{-1}(I_j^{\varepsilon}) \neq \varnothing \end{equation}

となります。ここで $f$ は $\mathcal{M}$ 可測関数ですから、 $\{f^{-1}(I_j^{\varepsilon})\}_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \subset \mathcal{M}$ であり、また $X,\Omega \in \mathcal{M}$ より

\begin{equation} \{E_j^{\varepsilon}\}_{j=1}^{N_{\varepsilon}} = \{f^{-1}(I_j^{\varepsilon}) \cap (X \setminus \Omega ) \}_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \subset \mathcal{M} \end{equation}

が分かります。すなわちこの集合列 $\{E_j^{\varepsilon}\}_{j=1}^{N_{\varepsilon}}$ に対して有界な測度 $\lambda(E_j^{\varepsilon})$ が定義されます。ここで定義関数を $\chi$ とすると、任意の点 $\xi_j^{\varepsilon} \in E_j^{\varepsilon}$ に対して次の単関数

\begin{equation} (***) \quad f_{\varepsilon}(x)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon})\chi_{E_j^{\varepsilon}}(x) \end{equation}

を定義できます。ここで

\begin{equation} f(\xi_j^{\varepsilon}) \in f(E_j^{\varepsilon}) \subset I_j^{\varepsilon} \cap f(X \setminus \Omega) \end{equation}

よりどのような点 $\xi_j^{\varepsilon} \in E_j^{\varepsilon}$ を選んでも $f(\xi_j^{\varepsilon})$ が有限値となることに注意しましょう。さて、任意の $x \in X \setminus \Omega$ に対してただ1つの $j$ が存在して $x \in E_j^{\varepsilon}$ となるわけですが、このとき $\{E_j^{\varepsilon}\}_{j=1}^{N_{\varepsilon}}$ の非交差性から $f_{\varepsilon}(x) = f(\xi_j^{\varepsilon})$ および

\begin{equation} f(x) \in f(E_j^{\varepsilon}) \subset I_j^{\varepsilon} \cap f(X \setminus \Omega) \end{equation}

となり、 $f_{\varepsilon}(x),f(x) \in I_j^{\varepsilon}$ が分かります。つまりどちらも $I_j^{\varepsilon}$ 上の点なので、

\begin{equation} |f(x)-f_{\varepsilon}(x)| \lt \varepsilon \end{equation}

が成立することが分かります。さて、測度 $\lambda(E_j^{\varepsilon})$ が定義されているので、単関数に対する積分を

\begin{equation} \int_Xf_{\varepsilon}(x)d\lambda (x)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon}) \lambda (E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

と定義することができます。この積分の線形性や、単関数の表示によらず積分値が決まるwell-defined性などのチェックは割愛します。さて、ここで十分小さな $\varepsilon_1,\varepsilon_2 \gt 0$ に対して

\begin{equation} |f_{\varepsilon_1}(x)-f_{\varepsilon_2}(x)| \le |f_{\varepsilon_1}(x)-f(x)|+|f(x)-f_{\varepsilon_2}(x)| \lt \varepsilon_1+\varepsilon_2 \end{equation}

が成立することに注意して、

\begin{equation}\begin{split} &\left| \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon_1}} f(\xi_j^{\varepsilon_1}) \lambda (E_j^{\varepsilon_1})-\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon_2}} f(\xi_j^{\varepsilon_2}) \lambda (E_j^{\varepsilon_2}) \right| \\ &= \left| \int_Xf_{\varepsilon_1}(x)d\lambda (x)-\int_Xf_{\varepsilon_2}(x)d\lambda (x) \right| \\ &=\left| \int_Xf_{\varepsilon_1}(x)-f_{\varepsilon_2}(x)d\lambda (x) \right| \\ &\le \int_X|f_{\varepsilon_1}(x)-f_{\varepsilon_2}(x)| d|\lambda|(x) \\ & \lt (\varepsilon_1+\varepsilon_2)\int_X d|\lambda|(x) \\ &= (\varepsilon_1+\varepsilon_2)|\lambda|(X) \to 0 \quad (\varepsilon_1,\varepsilon_2 \to +0) \end{split}\end{equation}

を得ます。ここで測度 $\lambda$ は有界であることに注意しましょう。さて、これは上式がCauchy列であることを意味しているから、収束することが分かります。さて、

\begin{equation} |f(x)-f_{\varepsilon}(x)| \lt \varepsilon \end{equation}

だったので、形式的な計算として

\begin{equation}\begin{split} &\left| \int_X f(x)d\lambda (x)-\int_Xf_{\varepsilon}(x)d\lambda (x) \right| \\ &= \left| \int_Xf(x)-f_{\varepsilon}(x)d\lambda (x) \right| \\ &\le \int_X|f(x)-f_{\varepsilon}(x)|d|\lambda|(x) \\ & \lt \varepsilon \int_Xd|\lambda|(x) \\ &=\varepsilon |\lambda|(X) \to 0 \quad (\varepsilon \to +0) \end{split}\end{equation}

を考えると、次の積分

\begin{equation} \int_Xf(x)d\lambda(x)=\lim_{\varepsilon \to +0}\int_Xf_{\varepsilon}(x)d\lambda (x)=\lim_{\varepsilon \to +0}\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon}) \lambda (E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

を自然に定義することができます。なお、ここでの積分は非交差左半開区間列 $\{ I_j^{\varepsilon }\}_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \subset \mathcal{B}$ および点列

\begin{equation} \xi_j^{\varepsilon} \in E_j^{\varepsilon} \subset f^{-1}(I_j^{\varepsilon}) \cap (X \setminus \Omega ) \end{equation}

が表れていますが、区間列は $f(X \setminus \Omega)$ を被覆できればなんでもよく、また点列も任意の点を選んでいることに注意しましょう。すなわちこの積分はRiemann式の定義に近いようなイメージですかね。

というわけでとりあえず次の作用素

\begin{equation} T_{\lambda}f= \int_Xf(x)d\lambda (x) \end{equation}

が考えられます。さて、この積分は $(**)$ に注意すれば

\begin{equation}\begin{split} |T_{\lambda}f| &\le \int_X|f(x)|d|\lambda| (x) \\ &\le \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\lambda)} \int_Xd|\lambda| (x) \\ &\le \|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)}|\lambda|(X) \\ &=\|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)}\|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \end{split}\end{equation}

とできるから、両辺を $\|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)}$ で割ってsupをとれば

\begin{equation} \|T_{\lambda}\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*} \le \|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \end{equation}

が得られます。

さて、では次に $\lambda \in ba(X,\mathcal{M},\mu)$ について、

\begin{equation}\begin{split} &\|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \\ &=\sup \left\{\left. \sum_{j=1}^N |\lambda (E_j)| \, \right| \, N \in \mathbb{N} \text{ and } \{E_j\}_{j=1}^N \subset \mathcal{M} : \text{disjoint} \right\} \\ & \lt \infty \end{split}\end{equation}

ですから、supの定義より任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して適当な非交差集合列 $\{E_j^{\varepsilon}\}_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \subset \mathcal{M}$ が存在して

\begin{equation} \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}}|\lambda(E_j^{\varepsilon})| \gt \|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} -\varepsilon \end{equation}

が成立します。さて、ここで関数 $f_{\varepsilon}$ を

\begin{equation} f_{\varepsilon}(x)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \frac{|\lambda(E_j^{\varepsilon})|}{\lambda(E_j^{\varepsilon})}\chi_{E_j^{\varepsilon}}(x) \quad {}^{\forall}x \in X \end{equation}

と定義します。 $x \in X$ に対してもし $x \in E_j^{\varepsilon}$ ならば非交差性から

\begin{equation} f_{\varepsilon}(x)=\frac{|\lambda(E_j^{\varepsilon})|}{\lambda(E_j^{\varepsilon})} \end{equation}

であり、したがって

\begin{equation} \sup_{x \in X}|f_{\varepsilon}(x)|=1 \end{equation}

が分かります。これは普通の意味での有界関数ですから、 $f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ かつ

\begin{equation} \|f_{\varepsilon}\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)}=1 \end{equation}

が分かります。さて、このとき単関数に対する積分の定義から

\begin{equation}\begin{split} \|T_{\lambda}\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*} &= \sup_{f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)} \frac{|T_{\lambda}f|}{\|f\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)}} \\ &\ge T_{\lambda}f_{\varepsilon} \\ &= \int_X f_{\varepsilon}(x)d\lambda (x) \\ &=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} \frac{|\lambda(E_j^{\varepsilon})|}{\lambda(E_j^{\varepsilon})} \times \lambda (E_j^{\varepsilon}) \\ &= \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}}|\lambda (E_j^{\varepsilon})| \\ & \gt \|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} -\varepsilon \end{split}\end{equation}

が得られます。ゆえに $\varepsilon \to +0$ とすれば、先ほど示した関係と合わせて

\begin{equation} \|T_{\lambda}\|_{L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*} = \|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \end{equation}

が分かりました！！

さて、あとは示すべきことは全単射性です。すなわち、作用素

\begin{equation} ba(X,\mathcal{M},\mu) \to L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^* , \quad \lambda \mapsto T_{\lambda}\end{equation}

が全単射であることを示せれば、位相同型であることをいうことができます。

まずは単射性ですが、これは易しいです。実際、任意の $E \in \mathcal{M}$ に対してその定義関数 $\chi_E$ を考えれば、これは $0$ か $1$ しか値をとらないので、普通の意味で有界であり、したがって $\chi_E \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ です。そして単関数に対する積分の定義から

\begin{equation} T_{\lambda}\chi_E=\int_X\chi_E(x)d\lambda (x)=\lambda (E) \end{equation}

が得られます。単射性は

\begin{equation} T_{\lambda_1}=T_{\lambda_2} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1=\lambda_2 \end{equation}

が言えればよいから、これで証明完了です。

次は全射性を言いましょう。すなわち任意の $T \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*$ に対してある $\lambda \in ba (X,\mathcal{M},\mu)$ が存在して、積分の形で表せることを示しましょう。上と同様に任意の $E \in \mathcal{M}$ に対してその定義関数 $\chi_E \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ を考えれば、これは $T$ に作用できて、ある実数値 $T\chi_E \in \mathbb{R}$ が対応します。これを

\begin{equation} \lambda (E)=T\chi_E \end{equation}

として $\lambda$ を定義しましょう。こうすれば $\lambda$ は任意の $E \in \mathcal{M}$ に対して有限な実数値を対応させることが分かります。さて、このとき $\lambda$ は有限加法的な測度でしょうか？まずは空集合 $\varnothing \in \mathcal{M}$ に対して、その定義関数は $\chi_{\varnothing} \equiv 0$ ですから、 $T$ の線形性から

\begin{equation} \lambda (\varnothing)=T\chi_{\varnothing}=0 \end{equation}

となります。有限加法性については、まず定義関数の性質から

\begin{equation} \chi_{E_1 \cup E_2}=\chi_{E_1}+\chi_{E_2} \quad \text{for} \quad E_1 \cap E_2 =\varnothing \end{equation}

なので、再び $T$ の線形性から

\begin{equation}\begin{split} \lambda (E_1 \cup E_2) &=T\chi_{E_1 \cup E_2} \\ &=T(\chi_{E_1}+\chi_{E_2}) \\ &=T\chi_{E_1}+T\chi_{E_2} \\ &=\lambda (E_1)+\lambda (E_2) \end{split}\end{equation}

より $\lambda \in ba(X,\mathcal{M})$ が従います。次に絶対連続性を見ましょう。いま $\mu(\Omega)=0$ なる $\Omega \in \mathcal{M}$ を取ります。このとき $\chi_{\Omega} \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ は $x \in X \setminus \Omega$ のとき $\chi_{\Omega}(x)=0$ となりますが、 $\Omega$ は $\mu$ では零集合なのでこの意味で $\chi_{\Omega} \equiv 0$ となります。ゆえに

\begin{equation} \lambda (\Omega)=T\chi_{\Omega}=0 \end{equation}

であり、 $\lambda \in ba(X,\mathcal{M},\mu)$ が示されました。

いよいよ最後ですが、 $T \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*$ に対して定義した $\lambda \in ba(X,\mathcal{M},\mu)$ は

\begin{equation} Tf=\int_Xf(x)d\lambda (x) \end{equation}

という表示を持つでしょうか？これを見ていきましょう。さて、これは既に示した構成法を用います。すなわち、任意の $f \in L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ に対して近似した関数列 $\{f_{\varepsilon}\}$ を $(***)$ で定義します。このときの積分の定義は

\begin{equation} \int_Xf_{\varepsilon}(x)d\lambda (x)=\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon}) \lambda (E_j^{\varepsilon}) \end{equation}

だったわけですが、 $\lambda$ の定義と $T$ の線形性から

\begin{equation} \sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon}) \lambda (E_j^{\varepsilon}) =\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon})T\chi_{E_j^{\varepsilon}}=T\sum_{j=1}^{N_{\varepsilon}} f(\xi_j^{\varepsilon})\chi_{E_j^{\varepsilon}}=Tf_{\varepsilon} \end{equation}

となります。結局

\begin{equation} Tf_{\varepsilon}=\int_Xf_{\varepsilon}(x)d\lambda (x) \end{equation}

となったわけですが、 $\{f_{\varepsilon}\}$ は適当な $\mu$ 上の零集合を除けば

\begin{equation} |f(x)-f_{\varepsilon}(x)| \lt \varepsilon \end{equation}

と一様に評価されていたので、すなわちこれは

\begin{equation} f_{\varepsilon} \to f \quad \text{in } L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu) \quad (\varepsilon \to +0) \end{equation}

を意味します。 $T$ は連続なので、 $\varepsilon \to +0$ として

\begin{equation} Tf=\int_Xf(x)d\lambda (x) \end{equation}

が示されました！！もちろん右辺については積分の定義より従います。

さて、これで結局次の位相同型

\begin{equation} L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*=ba(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

が言えました！！特に測度空間が通常のEuclid空間、すなわちLebesgue集合族 $\mathcal{L}_n$ およびLebesgue測度 $\mu_n$ に対する測度空間 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n)$ ならば、

\begin{equation} (L^{\infty})^*=L^{\infty}(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n)^*=ba(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) \end{equation}

ということです。

さて、これでもうおしまいにしようかと思いますが、最後に1つ補足をしておきます。今回の証明では測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$ は完備であることを仮定していません。参考にしたのは前述の通りDunford-Schwartzですが、この証明では測度空間を完備化させて位相同型

\begin{equation} L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^*=ba(X,\overline{\mathcal{M}},\mu) \end{equation}

を言っています。しかし僕の証明では完備化は必要ないと思います。この違いはおそらく可測性の定義の違いだと思います。

僕は $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ の元 $f$ は必ず $\mathcal{M}$ 可測性を持ち、すなわち任意の $I \in \mathcal{B}$ に対して $f^{-1}(I) \in \mathcal{M}$ としています。したがってこの時点で測度 $\lambda(f^{-1}(I))$ が定義できます。一方でDunford-Schwartzではp.241において $L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)$ の元 $f$ に $\mu$ measurableという性質を与えています。これはどのような定義かというと、まず $f$ が有限個の実数列 $\{\alpha_j\}_{j=1}^N \subset \mathbb{R}$ に対して

\begin{equation} f^{-1}(\alpha_j)=\{ x \in X \, | \, f(x)=\alpha_j \} \in \mathcal{M} \end{equation}

を満たすとき $\mu$ simple functionと定義し、さらに $\mu$ simple functionで近似できるような $f$ をtotally $\mu$ measurableと定義しています。そして、 $|\mu|(E) \lt \infty$ なる任意の $E \in \mathcal{M}$ に対して $f\chi_E$ がtotally $\mu$ measurableならば、 $f$ を $\mu$ measurableと定義しています。さて、このように定義が違うとどうなるのかということですが、Dunford-Schwartzによれば、この定式化を採用した結果として以下を紹介しています(p.148)。

$(X,\mathcal{M},\mu)$ を測度空間とし、その完備化を $(X,\overline{\mathcal{M}},\overline{\mu})$ とします。このとき、 $f$ が $\mu$ measurableであることと、任意の $I \in \mathcal{B} , \, E \in \mathcal{M}$ に対して

\begin{equation} |\mu|(E) \lt \infty \quad \Longrightarrow \quad E \cap f^{-1}(I) \in \overline{\mathcal{M}} \end{equation}

であることは同値になります。

つまり僕の定義はすぐに $f^{-1}(I) \in \mathcal{M}$ が言えますが、Dunford-Schwartzでは完備化が必要な上に逆像が測度有限な場合しか $f^{-1}(I) \in \overline{\mathcal{M}}$ が言えないということです。これが証明の違いの原因であると推察しています。しかし現在の測度論の定式化としてはDunford-Schwartzの方法はあまりメジャーでないと思うので(測度だけに)、たぶん僕の証明法で大丈夫だと思います。

おそらくですが、 $\mu$ measurableにおいて逆像が測度有限な場合しか可測集合であることが言えないのは、可積分性を強く意識した定式化なのだと思います。実際、 $f^{-1}(I) \in \mathcal{M}$ が言えたとしても $\mu(f^{-1}(I))=\infty$ となるかもしれないので、こういう集合に対して単関数を定義してもうまく積分できないかもしれません(たぶんこのときは単関数の係数を $0$ とするのだと思いますが)。

まあ少し長くなってしまいましたので、今回はここまでとします。今回もありがとうございます。