有界C^k級Lipschitz関数の空間 - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。今回は次の有界 $C^k$ 級Lipschitz関数の空間

\begin{equation} Lip^k(\Omega : X)=\left\{\left. f \in BC^k(\Omega :X) \, \right| \, \|f\|_{Lip^k(\Omega : X)} \lt \infty \right\} \end{equation}

の完備性を調べます。ただし

\begin{equation}\begin{split} \|f\|_{Lip^k(\Omega : X)} &= \|f\|_{BC^k(\Omega :X)}+[ f ]_{Lip^k(\Omega : X)} \\ \|f\|_{BC^k(\Omega :X)}&=\sum_{|\alpha| \le k}\sup_{x \in \Omega}\|\partial_x^{\alpha}f(x)\|_X \\ [ f ]_{Lip^k(\Omega : X)}&=\sum_{|\alpha|=k}\sup_{x,y \in \Omega , \, x \neq y} \frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x)-\partial_x^{\alpha}f(y)\|_X}{|x-y|} \end{split}\end{equation}

とします。また、 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ は適当な $N$ 次元の領域とし、 $X$ はBanach空間とします。 $BC^k$ とはbounded continuous、すなわち有界な $C^k$ 級の関数空間のことです。 $k+1$ 階の可微分性は分かりませんが、これに関しては $k$ 階の微分に対してLipschitz連続性が成立するという形の正則性を有しています。

ここで注意することは、 $BC^k$ ならば $k-1$ 階までの微分に対してはLipschitz連続性が成立するということです。これを確認していきましょう。まず多変数のTaylor展開から、 $j \in \mathbb{N}$ に対して $f \in C^j(\Omega : X)$ ならば任意の $x,y \in \Omega$ に対して

\begin{equation}\begin{split} &f(x)-\sum_{|\alpha| \le j-1}\frac{\partial_x^{\alpha}f(y)}{\alpha !}(x-y)^{\alpha} \\ &=\sum_{|\alpha|=j}\frac{j}{\alpha !}(x-y)^{\alpha}\int_0^1 (1-\theta)^{j-1}(\partial_x^{\alpha}f)(y+\theta (x-y))d\theta \end{split}\end{equation}

が成立することに注意しましょう。さて、ここで $f \in BC^1(\Omega: X)$ ならば上の公式から

\begin{equation} f(x)-f(y)=\sum_{|\alpha|=1}\frac{1}{\alpha !}(x-y)^{\alpha}\int_0^1(\partial_x^{\alpha}f)(y+\theta (x-y))d\theta \end{equation}

であり、

\begin{equation}\begin{split} &\|f(x)-f(y)\|_X \\ &\le \sum_{|\alpha|=1}\frac{1}{\alpha !}|(x-y)^{\alpha}|\int_0^1\|(\partial_x^{\alpha}f)(y+\theta (x-y))\|_Xd\theta \\ &\le \|f\|_{BC^1(\Omega : X)}|x-y|\sum_{|\alpha|=1}\frac{1}{\alpha !} \end{split}\end{equation}

を得るので $f$ はLipschitz連続です。では次に $k \ge 2 , \, 1 \le j \le k-1$ および $f \in BC^k(\Omega: X)$ とし、 $|\beta|=j$ なる多重指数 $\beta$ に対して $\partial_x^{\beta}f$ がLipschitz連続であることをみましょう。ここで $\partial_x^{\beta}f \in BC^1(\Omega: X)$ であるから再び上の公式から

\begin{equation} \partial_x^{\beta}f(x)-\partial_x^{\beta}f(y)=\sum_{|\alpha|=1}\frac{1}{\alpha !}(x-y)^{\alpha}\int_0^1(\partial_x^{\alpha}\partial_x^{\beta}f)(y+\theta (x-y))d\theta \end{equation}

であり、同様の議論から

\begin{equation}\begin{split} &\|\partial_x^{\beta}f(x)-\partial_x^{\beta}f(y)\|_X \\ &\le \sum_{|\alpha|=1}\frac{1}{\alpha !}|(x-y)^{\alpha}|\int_0^1\|(\partial_x^{\alpha}\partial_x^{\beta}f)(y+\theta (x-y))\|_Xd\theta \\ &\le \|\partial_x^{\beta}f\|_{BC^1(\Omega : X)}|x-y|\sum_{|\alpha|=1}\frac{1}{\alpha !} \\ &\le \|f\|_{BC^k(\Omega : X)}|x-y|\sum_{|\alpha|=1}\frac{1}{\alpha !} \end{split}\end{equation}

なのでLipschitz連続です。ゆえに $BC^k$ ならば $k-1$ 階までの微分に対してはLipschitz連続性が成立します。

つまり $Lip^k$ は $C^k$ 級関数でかつ $k$ 階までのすべての微分が有界かつLipschitz連続性を有する空間です。有界だから $BLip^k$ と書きたいですが、通常関数空間としてLipschitz関数空間を定義するときは有界性も含めるので、今回は $Lip^k$ と書くことにしましょう。

さて、では完備性について考えていきましょう。 $BC^k$ の完備性は認めることにします。まずCauchy列をとりましょう。すなわち $\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset Lip^k(\Omega :X)$ が

\begin{equation}\begin{split} &\lim_{n,m \to \infty}\|f_n-f_m\|_{Lip^k(\Omega : X)} \\ &= \lim_{n,m \to \infty}\|f_n-f_m\|_{BC^k(\Omega :X)}+\lim_{n,m \to \infty}[ f_n-f_m ]_{Lip^k(\Omega : X)} \\ &=0 \end{split}\end{equation}

を満たすとします。 $BC^k$ の完備性から $f \in BC^k(\Omega : X)$ が存在して任意の $|\alpha| \le k$ に対して

\begin{equation} \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in \Omega}\| \partial_x^{\alpha}f_n(x)-\partial_x^{\alpha}f(x) \|_X=0 \end{equation}

が成立します。さて、では $f$ の $|\alpha|=k$ 階微分はLipschitz連続性を持ち、収束するでしょうか？確かめてみましょう。とりあえず $f \in Lip^k(\Omega : X)$ をみてみます。

\begin{equation} [ f ]_{Lip^k(\Omega : X)}=\sum_{|\alpha|=k}\sup_{x,y \in \Omega , \, x \neq y} \frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x)-\partial_x^{\alpha}f(y)\|_X}{|x-y|} \end{equation}

であるから、supの定義よりある $x_0,y_0 \in \Omega$ が存在して

\begin{equation}\begin{split} [f_n]_{Lip^k(\Omega : X)} &\le 1+\sum_{|\alpha|=k}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f_n(x_0)-\partial_x^{\alpha}f_n(y_0)\|_X}{|x_0-y_0|} \\ &\le 1+\frac{ 2\|f_n\|_{BC^k(\Omega :X)} }{|x_0-y_0|} \end{split}\end{equation}

となります。 $BC^k$ の完備性から

\begin{equation} \lim_{n \to \infty}\|f_n\|_{BC^k(\Omega :X)}=\|f\|_{BC^k(\Omega :X)} \end{equation}

なので、

\begin{equation} \limsup_{n \to \infty} [f_n]_{Lip^k(\Omega : X)} \le 1+\frac{ 2\|f\|_{BC^k(\Omega :X)} }{|x_0-y_0|} \lt \infty \end{equation}

が分かります。さて、 $x \neq y$ なる任意の $x,y \in \Omega$ に対して

\begin{equation}\begin{split} &\sum_{|\alpha|=k}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x)-\partial_x^{\alpha}f(y)\|_X}{|x-y|} \\ &\le \sum_{|\alpha|=k}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x)-\partial_x^{\alpha}f(y)-(\partial_x^{\alpha}f_n(x)-\partial_x^{\alpha}f_n(y))\|_X}{|x-y|} \\ &+\sum_{|\alpha|=k}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f_n(x)-\partial_x^{\alpha}f_n(y)\|_X}{|x-y|} \\ &\le \sum_{|\alpha|=k}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x)-\partial_x^{\alpha}f_n(x)\|_X+\|\partial_x^{\alpha}f(y)-\partial_x^{\alpha}f_n(y)\|_X}{|x-y|} \\ &+\sum_{|\alpha|=k}\sup_{x,y \in \Omega , \, x \neq y}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f_n(x)-\partial_x^{\alpha}f_n(y)\|_X}{|x-y|} \\ &\le \frac{2\|f-f_n\|_{BC^k(\Omega :X)}}{|x-y|}+[f_n]_{Lip^k(\Omega : X)} \end{split}\end{equation}

となるわけですが、ここで $n$ の上極限をとれば

\begin{equation} \sum_{|\alpha|=k}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x)-\partial_x^{\alpha}f(y)\|_X}{|x-y|} \le \limsup_{n \to \infty}[f_n]_{Lip^k(\Omega : X)} \end{equation}

を得ます。右辺が有界であることは先にみたので、さらに $x,y \in \Omega$ によらないことにも注意すれば、supをとって $[f]_{Lip^k(\Omega :X)} \lt \infty$ を得ます。したがって $f \in Lip^k(\Omega : X)$ です。さて、最後にこれが収束することをみれば証明完了です！！

さて、

\begin{equation}\begin{split} &[f-f_n]_{Lip^k(\Omega:X)} \\ &= \sum_{|\alpha|=k}\sup_{x,y \in \Omega , \, x \neq y}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x)-\partial_x^{\alpha}f(y)-(\partial_x^{\alpha}f_n(x)-\partial_x^{\alpha}f_n(y))\|_X}{|x-y|} \\ &\lt \infty \end{split}\end{equation}

なので、supの定義から任意の $\varepsilon \gt 0$ に対してある $x_{\varepsilon},y_{\varepsilon} \in \Omega$ が存在して

\begin{equation}\begin{split} &[f-f_n]_{Lip^k(\Omega:X)} \\ &\le \varepsilon+\sum_{|\alpha|=k}\frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x_{\varepsilon})-\partial_x^{\alpha}f(y_{\varepsilon})-(\partial_x^{\alpha}f_n(x_{\varepsilon})-\partial_x^{\alpha}f_n(y_{\varepsilon}))\|_X}{|x_{\varepsilon}-y_{\varepsilon}|} \\ &\le \varepsilon + \sum_{|\alpha|=k} \frac{\|\partial_x^{\alpha}f(x_{\varepsilon})-\partial_x^{\alpha}f_n(x_{\varepsilon})\|_X+\|\partial_x^{\alpha}f(y_{\varepsilon})-\partial_x^{\alpha}f_n(y_{\varepsilon})\|_X}{|x_{\varepsilon}-y_{\varepsilon}|} \\ &\le \varepsilon + \frac{2\|f-f_n\|_{BC^k(\Omega :X)}}{|x_{\varepsilon}-y_{\varepsilon}|} \end{split}\end{equation}

となります。先に $n \to \infty$ としてから $\varepsilon \to +0$ とすれば

\begin{equation} \lim_{n \to \infty}[f-f_n]_{Lip^k(\Omega:X)}=0 \end{equation}

となります。したがって完備性が示されました！！

さて、これで今回はおしまいにしようと思いますが、少し補足しておきます。よく知られている空間として有界一様連続関数の空間 $BUC$ というものがあります。さらにこれは有界 $C^k$ 級一様連続関数の空間 $BUC^k$ というものに一般化されます。これはつまり $C^k$ 級関数でかつ $k$ 階までのすべての微分が有界かつ一様連続性を有する空間です。これはLipschitz連続性より弱く、したがって

\begin{equation} Lip^k \subset BUC^k \end{equation}

です。実際、 $f$ がLipschitz連続性を持てば

\begin{equation} \|f(x)-f(y)\|_X \le [f]_{Lip(\Omega :X)}|x-y| \end{equation}

ですが、これは $x,y \in \Omega$ によらない評価なので、一様連続です。さて、ここで僕が思ったことは、

\begin{equation} BUC^{\infty}= \bigcap_{k \in \mathbb{N}} BUC^k , \quad Lip^{\infty}= \bigcap_{k \in \mathbb{N}} Lip^k \end{equation}

とすれば、 $BUC^{\infty}=Lip^{\infty}$ なのではないか？？ということです。なお、 $\infty$ の場合はnormが微分階数に依存して大きくなってしまうので、Fréchet空間としてみることになると思います。さて、先に述べたことから

\begin{equation} Lip^{\infty} \subset BUC^{\infty} \end{equation}

なので、これの逆はどうかということですが、これも先に確認したことから $BC^k$ ならば $k-1$ 微分はLipschitz連続なので逆も従うだろうと思います。 $k$ が有限なら微分階数が1階分弱くなってしまうのでこの主張は成立しないと思いますが、 $k=\infty$ ならばこの違いは無視でき一致するだろうということです。

今回はここまでとします。けっこう基本的なことだと思いましたがまともに計算するとなかなか大変でした。見てくださってありがとうございます。