L^∞の双対空間についての続き

こんにちは。ひよこてんぷらです。

 

前回は L^{\infty} の双対空間について少しお話しました。

 

sushitemple.hatenablog.jp

 

今回はその話の続きをやっていきたいと思います。

 

前回は具体的に何を示したのかというと、 \sigma 有限な測度空間 (X,\mathcal{M},\mu) に対して次の位相同型

\begin{equation} L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^* = ba(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

を示しました。ここで ba(X,\mathcal{M},\mu)\mu に関して絶対連続であるような有界有限加法的な符号付き測度の空間です。

 

さて、今回はこれが L^1 より真に広いことを見ていきましょう。よく知られているように、 1 \lt p \lt \infty に対する L^p 空間に関してはそのHölder共役指数 q を用いて位相同型 (L^p)^*=L^q が言えることが知られています。また、 (L^1)^*=L^{\infty} も知られています。しかし L^1 \subset (L^{\infty})^* であり、 L^1 , \, L^{\infty} は反射的でないということは関数解析でよく目にすることです。

 

ですがこれは本当でしょうか??今回はこのことについてしっかりと掘り下げて示していきたいと思います。さて、 ba(X,\mathcal{M},\mu) は有限加法的な測度の空間でしたが、新たに完全加法的な空間 ca(X,\mathcal{M},\mu) を導入しましょう。すなわち、有界完全加法的(bounded countably additive)な符号付き測度

\begin{equation} \lambda : \mathcal{M} \to \mathbb{R} \end{equation}

を、 \lambda (\varnothing)=0 および任意の非交差集合列 \{E_j\}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{M} に対して

\begin{equation} \lambda \left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)=\sum_{j=1}^{\infty} \lambda (E_j) \end{equation}

を満たすようなものと定義し、

\begin{equation} ca(X,\mathcal{M}) =\{\lambda : \mathcal{M} \to \mathbb{R} \, | \, \lambda : \text{countably additive}\} \end{equation}

および

\begin{equation}\begin{split} &ca(X,\mathcal{M},\mu) \\ &=\{\lambda \in ca(X,\mathcal{M}) \, | \, \lambda(E)=0 \text{ for } E \in \mathcal{M} \text{ with } \mu (E)=0\} \end{split}\end{equation}

と定義します。normは ba(X,\mathcal{M},\mu) と同じ \|\cdot\|_{ba(X,\mathcal{M})} を導入します。

 

さて、僕が調べた結果としては見つけられなかったのですが、おそらくですがこれは L^1 と位相同型になると思います。すなわち次が成立すると思います。

 

(X,\mathcal{M},\mu)\sigma 有限な測度空間とするとき、 f \in L^1(X,\mathcal{M},\mu) に対して

\begin{equation} \lambda_f(E)=\int_Ef(x)d\mu(x) \quad {}^{\forall}E \in \mathcal{M} \end{equation}

と定義すれば、 \lambda_ff を同一視することで

\begin{equation} L^1(X,\mathcal{M},\mu)=ca(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

となります。

 

さて、では示してみましょう。まずは  \lambda_f \in ca(X,\mathcal{M},\mu) を示しましょう。これは易しいです。実際、

\begin{equation} |\lambda_f(E)| \le \int_E|f(x)|d\mu(x) \le \|f\|_{L^1(X,\mathcal{M},\mu)} \end{equation}

より有界性は分かります。

\begin{equation} \lambda_f(\varnothing)=\int_{\varnothing}f(x)d\mu(x)=0 \end{equation}

もいいでしょう。ついでに絶対連続性も

\begin{equation} \lambda_f(\Omega)=\int_{\Omega}f(x)d\mu(x)=0 \quad \text{for} \quad \mu(\Omega)=0 \end{equation}

ですね。さて、完全加法性については、非交差集合列 \{E_j\}_{j=1}^{\infty} に対して

\begin{equation} E = \bigcup_{j=1}^{\infty} E_j \end{equation}

とするとき、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{j=1}^N\lambda_f(E_j) &= \sum_{j=1}^N\int_{E_j}f(x)d\mu(x) \\ &= \int_{\bigcup E_j}f(x)d\mu(x) \\ &=\int_X \chi_{\bigcup E_j}(x) f(x)d\mu(x) \end{split}\end{equation}

となります。さて、ここで N \to \infty のとき各点収束

\begin{equation} \chi_{\bigcup E_j}(x)=\chi_E(x) \end{equation}

を見ましょう。実際、任意の x \in E に対して \chi_E(x)=1 であり、また

\begin{equation} x \in E = \bigcup_{j=1}^{\infty} E_j \end{equation}

よりある k が存在して x \in E_k なので、 k \le N ならば \chi_{\bigcup E_j}(x)=1 です。一方任意の  x \notin E に対して \chi_E(x)=0 ですが、任意の N に対して

\begin{equation} E = \bigcup_{j=1}^{\infty} E_j \supset \bigcup_{j=1}^N E_j \end{equation}

なので当然 \chi_{\bigcup E_j}(x)=0 です。したがって各点収束が言えます。あとは

\begin{equation} \int_X| \chi_{\bigcup E_j}(x) f(x)|d\mu(x) \le \int_X|f(x)|d\mu(x)=\|f\|_{L^1(X,\mathcal{M},\mu)} \end{equation}

よりLebesgueの収束定理でも使えば

\begin{equation} \sum_{j=1}^{\infty}\lambda_f(E_j) =\int_X \chi_E(x) f(x)d\mu(x)=\int_E f(x)d\mu(x)=\lambda_f (E) \end{equation}

が分かるので、  \lambda_f \in ca(X,\mathcal{M},\mu) ですね。前回注意したように

\begin{equation} \sup_{E \in \mathcal{M}}|\lambda_f (E)| \le \|\lambda_f\|_{ba(X,\mathcal{M})} \le 4\sup_{E \in \mathcal{M}}|\lambda_f (E)| \end{equation}

なので、先ほどの結果と合わせて

\begin{equation} \|\lambda_f\|_{ba(X,\mathcal{M})} \le 4\|f\|_{L^1(X,\mathcal{M},\mu)} \end{equation}

を得ます。

 

さて、次は全単射性を見ましょう。すなわち、任意の \lambda \in ca(X,\mathcal{M},\mu) に対してある f_{\lambda} \in L^1(X,\mathcal{M},\mu) が一意に存在して

\begin{equation} \lambda(E)=\int_Ef_{\lambda}(x)d\mu(x) \quad {}^{\forall}E \in \mathcal{M} \end{equation}

と表せるか??ということですね。一見すると難しい問題ですが、実はRadon-Nikodymの結果そのものです!!次にRadon-Nikodymの定理を述べておきます。

 

(X,\mathcal{M},\mu)\sigma 有限な測度空間とします。このとき \lambda \in ca(X,\mathcal{M},\mu) に対して f \in L^1(X,\mathcal{M},\mu) が存在して、

\begin{equation} \lambda(E)=\int_Ef(x)d\mu(x) \quad {}^{\forall}E \in \mathcal{M} \end{equation}

が成立します。さらに、 f\mu 上の零集合を除いて一意的です。

 

さて、この結果を見れば全単射性はもう示されたということになります。さて、あとは f_{\lambda} が非負となる集合、負となる集合をそれぞれ E^+ , \, E^- とすれば、

\begin{equation}\begin{split} \|f_{\lambda}\|_{L^1(X,\mathcal{M},\mu)} &= \int_X |f_{\lambda}(x)|d\mu(x) \\ &=\int_{E^+} f_{\lambda}(x)d\mu(x)-\int_{E^-}f_{\lambda}(x)d\mu(x) \\ &= \lambda (E^+)-\lambda (E^-) \\ &\le 2\sup_{E \in \mathcal{M}}|\lambda (E)| \\ &\le 2\|\lambda\|_{ba(X,\mathcal{M})} \end{split}\end{equation}

となります。結局、写像

\begin{equation} L^1(X,\mathcal{M},\mu) \to ca(X,\mathcal{M},\mu) , \quad f \mapsto \lambda_f \end{equation}

を次の積分

\begin{equation} \lambda_f(E)=\int_Ef(x)d\mu(x) \quad {}^{\forall}E \in \mathcal{M} \end{equation}

で定めれば、これは全単射かつ

\begin{equation} \frac{1}{2}\|f\|_{L^1(X,\mathcal{M},\mu)} \le \|\lambda_f\|_{ba(X,\mathcal{M})} \le 4\|f\|_{L^1(X,\mathcal{M},\mu)} \end{equation}

となるから、位相同型

\begin{equation} L^1(X,\mathcal{M},\mu) = ca(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

が示されました!!

 

さて、この証明は何も参考にしていないので、もしかしたら間違っているかもしれません……間違っていたらすみません。

 

さて、では合っていると仮定すると、次の関係

\begin{equation} L^1(X,\mathcal{M},\mu) = ca(X,\mathcal{M},\mu) \subset ba(X,\mathcal{M},\mu)=L^{\infty}(X,\mathcal{M},\mu)^* \end{equation}

が成立します。なお、

\begin{equation} ca(X,\mathcal{M},\mu) \subset ba(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

なのはよいでしょう。実際、完全加法的ならば有限加法的です。というわけで、真の包含関係があることを確認しましょう。すなわち、

\begin{equation} ca(X,\mathcal{M},\mu) \subsetneq ba(X,\mathcal{M},\mu) \end{equation}

を示しましょう。一般の集合だとなかなか反例が難しいので、ここではEuclid空間、すなわちLebesgue集合族 \mathcal{L}_n とLebesgue測度 \mu_n からなる測度空間 (\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) における

\begin{equation} ca(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) \subsetneq ba(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) \end{equation}

を示しましょう。その反例となる測度は次で与えられます。

\begin{equation} \lambda (E)=\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(E \cap (0,j)^n)}{j^n} \end{equation}

さて、だいぶすごそうなのが出てきましたが、どうでしょうか……なお、 (0,j)^n(0,j) \subset \mathbb{R}n 個の直積です。まず初めに \lambda \in ba(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) を見ましょう。すぐ分かるように \lambda は非負値であり、 \mu_n の単調性から E=\mathbb{R}^n のとき最大の値を持ちます。このときは

\begin{equation} \lambda (\mathbb{R}^n)=\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(\mathbb{R}^n \cap (0,j)^n)}{j^n}=\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n((0,j)^n)}{j^n}=1 \end{equation}

であるから、有界であることが分かります。さらに絶対連続性もすぐに分かり、 \mu_n(\Omega)=0 ならば

\begin{equation} \lambda (\Omega)=\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(\Omega \cap (0,j)^n)}{j^n} \le \lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(\Omega)}{j^n}=0 \end{equation}

です。もちろん \lambda (\varnothing)=0 です。そして有限加法性ですが、これは

\begin{equation} (E_1 \cup E_2) \cap (0,j)^n=(E_1 \cap (0,j)^n) \cup (E_2 \cap (0,j)^n) \end{equation}

が成立するため、 E_1 \cap E_2 =\varnothing ならば

\begin{equation}\begin{split} \lambda (E_1 \cup E_2) &=\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n((E_1 \cup E_2) \cap (0,j)^n)}{j^n} \\ &=\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(E_1 \cap (0,j)^n)}{j^n} +\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(E_2 \cap (0,j)^n)}{j^n} \\ &=\lambda (E_1)+\lambda (E_2) \end{split}\end{equation}

となり成立です。したがって \lambda \in ba(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) です。さて、これが完全加法性を持たなければ \lambda \notin ca(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) ということで、これを確認しましょう。反例の構成には、次の集合列を考えます。

\begin{equation} E_0=[0,1)^n , \quad E_k=[0,k+1)^n \setminus [0,k)^n \end{equation}

さて、要するにこれは第1象限の立方体ブロックを交わらないようにでかくしていっている感じですね。すなわち

\begin{equation} \bigcup_{k=0}^NE_k=\bigcup_{k=0}^N[0,k+1)^n \setminus [0,k)^n=[0,N+1)^n \end{equation}

です。最後の等式は階差数列的なのを考えれば分かりますね。さて、こいつは完全加法性を満たしません。実際、

\begin{equation}\begin{split} \lambda \left( \bigcup_{k=0}^{\infty} E_k \right) &=\lambda ([0,\infty)^n) \\ &=\lim_{j=\infty} \frac{\mu_n([0,\infty)^n \cap (0,j)^n)}{j^n} \\ &=\lim_{j=\infty} \frac{\mu_n( (0,j)^n)}{j^n} \\ &=1 \end{split}\end{equation}

ですが、各 k に対しては E_k=[0,k+1)^n \setminus [0,k)^n有界ですから、十分大きな j に対しては

\begin{equation} E_k \cap (0,j)^n=E_k \end{equation}

となります。したがって

\begin{equation}\begin{split} \sum_{k=0}^{\infty}\lambda (E_k) &=\sum_{k=0}^{\infty}\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(E_k \cap (0,j)^n)}{j^n} \\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\lim_{j \to \infty} \frac{\mu_n(E_k)}{j^n} \\ &=0 \end{split}\end{equation}

となります。すなわち \lambda \notin ca(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) です。この反例によって、

\begin{equation} L^1 = ca(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n) \subsetneq ba(\mathbb{R}^n,\mathcal{L}_n,\mu_n)=(L^{\infty})^* \end{equation}

であることが確かめられました!!反例のポイントは測度の定義に極限があることですね。この極限の交換ができないという点で完全加法性を排除しています。うーん面白い反例だ。

 

すなわち、やっぱり L^{\infty} の双対は L^1 より大きいということですね!!さて、今回はキリがいいここまでとします。実際はもう少し踏み込んだことをやりたいので、もし時間があれば次回は ba(X,\mathcal{M},\mu) における積分定理を少し考察してみようかと思います。よろしくお願いします。