Fourier multiplierまわりの話題の続き

こんにちは。ひよこてんぷらです。

前回はFourier multiplierまわりの話をしていました。

sushitemple.hatenablog.jp

いろいろと関数空間 $M_p$ の性質を調べようとしましたが、けっこう大変だったので途中で終わってしまいました。ということでもう少し続きをやりましょう。

再び定義などを振り返っておきましょう。

$1 \le p \le \infty$ に対して $M_p$ を

\begin{equation} M_p= \left\{ \rho \in \mathscr{S}^* \, \left| \, \|\rho\|_{M_p} = \sup_{f \in \mathscr{S} \setminus \{0\}} \frac{\|\mathcal{F}^{-1}[\rho ]*f\|_{L^p}}{\|f\|_{L^p}} \lt \infty \right.\right\} \end{equation}

と定義しました。このとき、次が成立します。

$1 \le p,q \le \infty$ は

\begin{equation} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{equation}

を満たしているとします。このとき

\begin{equation} M_p=M_q \quad \text{with} \quad \|\cdot\|_{M_p}=\|\cdot\|_{M_q} \end{equation}

が成立します。さらに

\begin{equation}\begin{split} M_1&=\mathcal{F}(L^{\infty})^* \quad \text{with} \quad \|\cdot\|_{M_1}=\|\mathcal{F}^{-1} [\cdot ]\|_{(L^{\infty})^*}=|\mathcal{F}^{-1}[\cdot ]|(\mathbb{R}^n) \\ M_2&=L^{\infty} \quad \text{with} \quad \|\cdot\|_{M_2}=\|\cdot\|_{L^{\infty}} \end{split}\end{equation}

が成立します。

さて、では続きをやりましょう。次の主張はこちらです。

$1 \le p \le p^* \le 2$ に対して

\begin{gather} M_1 \subset M_p \subset M_{p^*} \subset M_2 \quad \text{and} \\ \|\cdot\|_{M_2} \le \|\cdot\|_{M_{p^*}} \le \|\cdot\|_{M_p} \le \|\cdot\|_{M_1} \end{gather}

が成立します。

先の双対性も合わせて考えれば、関数空間 $M_p$ は $1 \le p \le 2$ だけ考えればよく、かつ単調な包含関係が成立することが分かります。

では証明しましょう。 $p=p^*$ は考える必要がないので、 $1 \le p \lt p^* \le 2$ としましょう。まずは $1 \lt p \lt p^* \le 2$ の場合を考えます。このとき $q$ を

\begin{equation} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{equation}

なるようにとれば、 $1 \lt p \lt 2$ より $2 \lt q \lt \infty$ が分かります。また、 $p \lt p^* \lt q$ が成立することに注意しましょう。さて、前回お話ししたように、 $M_p$ に関して $p \neq \infty$ ならば $\rho \in M_p$ は $L^p$ から $L^p$ への有界作用素となるFourier multiplier $\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}$ を与え、かつ

\begin{equation} \|\rho\|_{M_p}=\|\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}\|_{\mathcal{L}(L^p)} \end{equation}

が成立していました。さて、いま $\rho \in M_p \cap M_q$ とすれば、 $\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F} \in \mathcal{L}(L^p) \cap \mathcal{L}(L^q)$ ですから、補間論における作用素normの不等式が成立します。ここで $p \lt p^* \lt q$ より

\begin{equation} \frac{1}{p^*}=\frac{1-\theta}{p}+\frac{\theta}{q} \end{equation}

なる $0 \lt \theta \lt 1$ が存在するので、作用素normは

\begin{equation} \|\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}\|_{\mathcal{L}(L^{p^*})} \le \|\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}\|_{\mathcal{L}(L^p)}^{1-\theta}\|\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}\|_{\mathcal{L}(L^q)}^{\theta} \end{equation}

と評価されます。すなわち $\|\rho\|_{M_{p^*}} \le \|\rho\|_{M_p}^{1-\theta}\|\rho\|_{M_q}^{\theta}$ です。ここで

\begin{equation} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{equation}

であるから

\begin{equation} M_p=M_q \quad \text{with} \quad \|\cdot\|_{M_p}=\|\cdot\|_{M_q} \end{equation}

なので、 $\|\rho\|_{M_{p^*}} \le \|\rho\|_{M_p}$ が示されます。ゆえに証明されました。

さて、では $p=1$ のときはどうでしょうか。このときは $q=\infty$ となってしまうので、個別に考えましょう。とはいっても、これは前回の証明をもう一度行えばOKです。 $M_1 \subset M_{p^*}$ を示したいわけなので、 $\rho \in M_1=\mathcal{F}(L^{\infty})^*$ とします。このとき $\mathcal{F}^{-1} [\rho ]$ は有界な測度なので、前回示した測度の畳み込み

\begin{equation} \mathcal{F}^{-1}[\rho]*f=\int_{\mathbb{R}^n} f(\cdot-x)d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) \end{equation}

を用いることで、任意の $f \in \mathscr{S}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \|\mathcal{F}^{-1}[\rho]*f\|_{L^{p^*}} &=\left\| \int_{\mathbb{R}^n} f(\cdot-x)d\mathcal{F}^{-1}[\rho](x) \right\|_{L^{p^*}} \\ &\le \int_{\mathbb{R}^n} \|f(\cdot-x)\|_{L^{p^*}}d|\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(x) \\ &=\|f\|_{L^{p^*}} \int_{\mathbb{R}^n} d|\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(x) \\ &=\|f\|_{L^{p^*}}|\mathcal{F}^{-1}[\rho]|(\mathbb{R}^n) \\ &=\|f\|_{L^{p^*}}\|\rho\|_{M_1} \end{split}\end{equation}

より両辺を $\|f\|_{L^{p^*}}$ で割ってsupをとれば $\|\rho\|_{M_{p^*}} \le \|\rho\|_{M_1}$ を得ます。したがって $M_1 \subset M_{p^*}$ も示され、証明完了です。

さて、もうそろそろ本題に入れそうです……その前にもうひとつ証明を頑張りましょう！！

前回に引き続き $t \neq 0$ および全空間上で定義された関数 $f$ に対して $m_tf=f(t \cdot)$ としておきます。また、 $1 \le p \le 2$ とします。このとき $\rho \in M_p$ に対して $\|m_t\rho\|_{M_p}=\|\rho\|_{M_p}$ が成立します。

これは要するにscale不変性といったところでしょうか。証明は少しめんどいですが、がんばりましょう。さて、証明の前に1つ、超関数の変数変換の定義を述べておきます。まず滑らかで可逆な写像 $\psi$ を用いて、変数変換を $y=\psi (x)$ で行います。このとき関数 $f$ に対して写像 $\Psi$ を $\Psi f=f \circ \psi$ で定めます。つまり次の変数変換

\begin{equation} (\Psi f)(x)=(f \circ \psi)(x)=f(\psi (x))=f(y) \end{equation}

が行われるという状況です。さて、このとき $\Psi T \in \mathscr{S}^*$ に対して超関数 $T$ を次の双対関係

\begin{equation} \left< \Psi T,f \right>=\left< T,(\Psi^{-1}f)|J_{\Psi^{-1}}| \right> \quad {}^{\forall} f \in \mathscr{S} \end{equation}

で定義します。ここで

\begin{equation} |J_{\Psi^{-1}}(y)|=\left| \mathrm{det} \, \frac{\partial \psi^{-1}}{\partial y}(y) \right|=\left| \mathrm{det} \, \frac{\partial x}{\partial y} \right| \end{equation}

はJacobianとします。なんだかよくわからないような気もしますが、普通に積分だと思って考えれば通常の変数変換と変わりません。定義は磯崎「超関数・フーリエ変換入門」を参考にしました。さて、これを用いて証明をしていきましょう。まずは超関数の畳み込みとFourier変換の定義から、任意の $f,g \in \mathscr{S}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \left< \mathcal{F}^{-1}[m_t\rho]*f,g \right> &= \left< \mathcal{F}^{-1}[m_t\rho],(m_{-1}f)*g \right> \\ &=\left< m_t\rho , \mathcal{F}^{-1}[(m_{-1}f)*g] \right> \end{split}\end{equation}

とします。さて、ここで $m_t\rho (x)=\rho (tx)$ ですから、変数変換をします。 $y=tx$ とすれば、上記の変数変換の定義から

\begin{equation} \left< m_t\rho , \mathcal{F}^{-1}[(m_{-1}f)*g] \right>=\left< \rho , m_{1/t}\mathcal{F}^{-1}[(m_{-1}f)*g] |t|^{-n} \right> \end{equation}

です。さて、では具体的に計算していきます。まずは

\begin{equation}\begin{split} &m_{1/t}\mathcal{F}^{-1}[(m_{-1}f)*g](y) |t|^{-n} \\ &=|t|^{-n}\mathcal{F}^{-1}[(m_{-1}f)*g](y/t) \\ &=\frac{|t|^{-n}}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-i\frac{y}{t} \cdot z} ((m_{-1}f)*g)(z)dz \\ &=\frac{|t|^{-n}}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-iy \cdot z'} ((m_{-1}f)*g)(tz')|t|^ndz' \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-iy \cdot z'} m_t((m_{-1}f)*g)(z')dz' \\ &= \mathcal{F}^{-1}[m_t((m_{-1}f)*g)](y) \end{split}\end{equation}

を導きます。途中で変数変換 $z=tz'$ を行いました。さらに畳み込みを計算します。

\begin{equation}\begin{split} m_t((m_{-1}f)*g)(x) &= ((m_{-1}f)*g)(tx) \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} (m_{-1}f)(y)g(tx-y)dy \\ &=\int_{\mathbb{R}^n} (m_{-1}f)(ty')g(tx-ty') |t|^n dy' \\ &=|t|^n\int_{\mathbb{R}^n} (m_{-t}f)(y')(m_tg)(x-y') dy' \\ &=|t|^n((m_{-t}f)*(m_tg) )(x) \end{split}\end{equation}

今度は $y=ty'$ です。さて、ここまでの計算を振り返ると、結局次の双対

\begin{equation} \left< \mathcal{F}^{-1}[m_t\rho]*f,g \right>=\left< \rho , m_{1/t}\mathcal{F}^{-1}[(m_{-1}f)*g] |t|^{-n} \right> \end{equation}

において

\begin{equation} m_{1/t}\mathcal{F}^{-1}[(m_{-1}f)*g] |t|^{-n} =|t|^n\mathcal{F}^{-1}[(m_{-t}f)*(m_tg) ] \end{equation}

だったので、再び定義からもとに戻して

\begin{equation}\begin{split} \left< \mathcal{F}^{-1}[m_t\rho]*f,g \right> &=\left< \rho , |t|^n\mathcal{F}^{-1}[(m_{-t}f)*(m_tg) ] \right> \\ &=|t|^n \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho ] , (m_{-t}f)*(m_tg) \right> \\ &=|t|^n \left< \mathcal{F}^{-1}[\rho ]* (m_tf) , m_tg \right> \end{split}\end{equation}

を得ます。ゆえにHölderの不等式から

\begin{equation}\begin{split} \left|\left< \mathcal{F}^{-1}[m_t\rho]*f,g \right>\right| &=|t|^n \left|\left< \mathcal{F}^{-1}[\rho ]* (m_tf) , m_tg \right>\right| \\ &\le |t|^n \|\mathcal{F}^{-1}[\rho ]* (m_tf)\|_{L^p}\|m_tg\|_{L^q} \\ &\le |t|^n \|\rho\|_{M_p}\|m_tf\|_{L^p}\|m_tg\|_{L^q} \end{split}\end{equation}

が成立します。ここで

\begin{equation} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{equation}

です。さて、ここで

\begin{equation}\begin{split} \|m_tf\|_{L^p} &= \left( \int_{\mathbb{R}^n} |(m_tf)(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ &=\left( \int_{\mathbb{R}^n} |f(tx)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\ &=\left( \int_{\mathbb{R}^n} |f(y)|^p |t|^{-n}dy \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= |t|^{-\frac{n}{p}}\left( \int_{\mathbb{R}^n} |f(y)|^p dy \right)^{\frac{1}{p}} \\ &= |t|^{-\frac{n}{p}}\|f\|_{L^p} \end{split}\end{equation}

ですから、

\begin{equation}\begin{split} \left|\left< \mathcal{F}^{-1}[m_t\rho]*f,g \right>\right| &\le |t|^n \|\rho\|_{M_p}\|m_tf\|_{L^p}\|m_tg\|_{L^q} \\ &= |t|^n \|\rho\|_{M_p}|t|^{-\frac{n}{p}}\|f\|_{L^p}|t|^{-\frac{n}{q}}\|g\|_{L^q} \\ &= \|\rho\|_{M_p}\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} \end{split}\end{equation}

を得ます。さて、命題Bの双対性から

\begin{equation}\begin{split} \|\mathcal{F}^{-1}[m_t\rho]*f\|_{L^p} &= \sup_{g \in \mathscr{S} \setminus \{0\}} \frac{1}{\|g\|_{L^q}} \left|\left< \mathcal{F}^{-1}[m_t\rho]*f,g \right>\right| \\ &\le \sup_{g \in \mathscr{S} \setminus \{0\}} \frac{1}{\|g\|_{L^q}} \times \|\rho\|_{M_p}\|f\|_{L^p}\|g\|_{L^q} \\ &=\|\rho\|_{M_p}\|f\|_{L^p} \end{split}\end{equation}

となります。あとは両辺を $\|f\|_{L^p}$ で割ってsupをとれば $\|m_t\rho\|_{M_p} \le \|\rho\|_{M_p}$ を得ます。 $t \neq 0$ は任意だったので、逆も

\begin{equation} \|\rho\|_{M_p}=\|m_{1/t}m_t \rho\|_{M_p} \le \|m_t \rho\|_{M_p} \end{equation}

としてすぐに分かります。

さて、これで準備が完了しました！！やっと本題に入ることができます！！もとより今回やりたかったことは、Besov空間における不等式の定数をきちんと求めたかったということです。最終的なゴールは、熱半群 $e^{t\Delta}$ の滑らかさを見ていくというものです。

さて、Besov空間の定義はあまりしっかりとは書きませんが、次を満たす関数

\begin{gather} \varphi \in C_0^{\infty} \quad \text{with} \quad \text{supp } \varphi \subset \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n \, | \, 1/2 \le |\xi| \le 2 \right\} \\ \text{and} \quad \sum_{j=-\infty}^{\infty} \varphi (2^{-j}\xi)=1 \quad {}^{\forall} \xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \end{gather}

に対してLittlewood-Paley分解 $\{\varphi_j\}=\{\mathcal{F}^{-1} [\varphi (2^{-j}\xi) ]\}$ を考え、

\begin{equation} \|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s}=\left\{ \sum_{j=-\infty}^{\infty} \left( 2^{sj}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \end{equation}

として定義します。もちろん $q=\infty$ ではsupに修正します。

Besov空間の定義における $s$ は微分階数のようなものを表すのですが、この定義だけではいまいちそういう感じがしません。しかし実はBesov空間(ここでの空間 $\dot{B}_{p,q}^s$ は特に斉次Besov空間と呼ばれます)においては、 Laplacianの分数べき $(-\Delta)^{\frac{1}{2}s}$ がBesovの微分階数を動かす作用素になっているということを示すことができます。

しかし、証明にはさらに少し準備が必要です。というのは、Laplacianの分数べきはFourier multiplier $(-\Delta)^{\frac{1}{2}s}=\mathcal{F}^{-1}| \cdot |^s\mathcal{F}$ でもって定義することができるのですが、超関数 $f \in \mathscr{S}^*$ に対して普通に作用させてしまうと

\begin{equation} (-\Delta)^{\frac{1}{2}s}f=\mathcal{F}^{-1}[| \cdot |^s\mathcal{F}[f]] \end{equation}

となってしまうからです。 $s \lt 0$ のときは関数 $|\xi|^s$ は原点で発散してしまうため、都合が悪い関数です。普通には超関数 $\mathscr{S}^*$ としてみなすことすらできませんが、双対における積分を主値積分(Cauchy principal value)というもので修正することにより、一応超関数とみなすことは可能です。しかしながら、この場合は超関数の積 $|\xi|^s\mathcal{F} [f ]$ を計算する必要が出てくるのですが、超関数という非常に広いclassにおける乗法はうまく定義することができません(Wikipedia)。もちろんLebesgue空間やSobolev空間なども超関数とみなされるわけですが、この程度の乗法なら問題は起きません。しかし抽象論としてでかすぎる空間 $\mathscr{S}^*$ で考えるとこのような問題が起きてしまうということです。