閉作用素とresolvent

こんにちは。ひよこてんぷらです。さて、今回は関数解析の基本的な命題を考えてみます。

 

X をBanach空間とし、 D(A) \subset X を部分空間とします。ここで次の線形作用素

\begin{equation} A:D(A) \to X \end{equation}

および次の集合

\begin{equation} \rho(A)=\left\{\lambda \in \mathbb{C} \, \left| \, \begin{gathered} \lambda I-A : D(A) \to \mathrm{Im}(\lambda I-A): \text{injective} \\ \mathrm{Im}(\lambda I-A) : \text{closed} \\ (\lambda I-A)^{-1} \in \mathcal{L}(\mathrm{Im}(\lambda I-A),X) \end{gathered}\right.\right\} \end{equation}

を考えます。このとき、 \rho(A) \neq \varnothing ならば A は閉作用素となることを示します。

 

さて、ではいきましょう。点列 \{u_n\}_{n=1}^{\infty} \subset D(A) に対して v \in X が存在して、

\begin{equation} \lim_{n \to \infty}u_n=u \quad \text{in } X , \quad \lim_{n \to \infty}A u_n=v \quad \text{in } X \end{equation}

が成立するとしましょう。さて、仮定からある \lambda \in \rho(A) が取れるので、新たな点列 \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset X

\begin{equation} f_n=(\lambda I-A )u_n \in \text{Im}(\lambda I-A) \end{equation}

と定義します。仮定から

\begin{equation} \lim_{n \to \infty}f_n=\lambda \lim_{n \to \infty}u_n-\lim_{n \to \infty}A u_n=\lambda u-v \quad \text{in } X \end{equation}

が成立するので、これを f=\lambda u-v とおきましょう。ここで \mathrm{Im}(\lambda I-A)閉集合なので、 f \in \mathrm{Im}(\lambda I-A) です。さて、

\begin{equation} u_n=(\lambda I-A)^{-1}f_n \end{equation}

であるから、  (\lambda I-A)^{-1} \in \mathcal{L}(\mathrm{Im}(\lambda I-A),X) より両辺の極限をとって

\begin{equation} u=(\lambda I-A)^{-1}f \end{equation}

を得ます。これより u=(\lambda I-A)^{-1}f \in D(A) が分かり、

\begin{equation} \lambda u-A u=f \end{equation}

を得ます。また f=\lambda u-v なので

\begin{equation} \lambda u-A u=f=\lambda u-v \end{equation}

から v=Av を得ます。ゆえに A は閉作用素です。

 

さて、もし \rho(A) の定義が

\begin{equation} \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb{C} \, \left| \, \begin{gathered} \lambda I-A : D(A) \to X :\text{bijective} \\ (\lambda I-A)^{-1} \in \mathcal{L}(X) \end{gathered}\right.\right\} \end{equation}

だった場合は、これは \mathrm{Im}(\lambda I-A)=X に相当するので、 X の完備性からやはり成立します。しかしながら

\begin{equation} \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb{C} \, \left| \, \begin{gathered} \lambda I-A : D(A) \to X_0 :\text{bijective}, \quad \overline{X_0}=X \\ (\lambda I-A)^{-1} \in \mathcal{L}(X_0,X) \end{gathered}\right.\right\} \end{equation}

であった場合は成立しません。反例をあげます。

\begin{equation} X=l^2=\left\{ x=\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R} \, \left| \, \|x\|_{l^2}=\left( \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \lt \infty \right.\right\} \end{equation}

とし、

\begin{equation} D(A)=l_0=\left\{ x=\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R} \, \left| \, {}^{\exists}N \in \mathbb{N} , \, x_n=0 \text{ for } n \ge N \right.\right\} \end{equation}

とします。 D(A) は遠方でずっと 0 となる点列なので、 D(A) \subset X となります。同様に X_0=l_0 とします。さて、 \overline{X_0}=X は易しいです。実際、任意の x \in l^2 に対して

\begin{equation} \|x\|_{l^2}=\left( \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \lt \infty \end{equation}

ですから、任意の \varepsilon \gt 0 に対してある N_{\varepsilon} \in \mathbb{N} が存在して

\begin{equation} \left( \sum_{n=N_{\varepsilon}}^{\infty}|x_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \lt \varepsilon \end{equation}

とできます。したがって

\begin{equation} y_n=\left\{\begin{array}{cl} x_n & n \le N_{\varepsilon}-1 \\ 0 & n \ge N_{\varepsilon} \end{array}\right. \end{equation}

とすれば、 y=\{y_n\}_{n=1}^{\infty} \in l_0 かつ

\begin{equation} \|x-y\|_{l^2}=\left( \sum_{n=1}^{\infty}|x_n-y_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}} =\left( \sum_{n=N_{\varepsilon}}^{\infty}|x_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \lt \varepsilon \end{equation}

となり、OKです。さて、では作用素 A

\begin{equation} A:D(A) \to X_0, \quad Ax=\{nx_n\}_{n=1}^{\infty} \end{equation}

と定義しましょう。 D(A)=X_0=l_0 なので、定数倍しても遠方はどうせ 0 であり、well-definedです。さて、 0 \in \rho(A) を確認しましょう。逆の存在はすぐ分かり、

\begin{equation} A^{-1}:X_0 \to D(A), \quad A^{-1}x=\{n^{-1}x_n\}_{n=1}^{\infty} \end{equation}

となります。線形性は大丈夫で、有界性も

\begin{equation} \|A^{-1}x\|_{l^2}=\left( \sum_{n=1}^{\infty}|n^{-1}x_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le \left( \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}} =\|x\|_{l^2} \end{equation}

より大丈夫ですね。したがって 0 \in \rho(A) です。では最後に A が閉作用素でないことを見ましょう。

\begin{equation} x_n^m=\left\{\begin{array}{cl} n^{-2} & n \le m -1 \\ 0 & n \ge m \end{array}\right. \end{equation}

で与えられる列 x^m=\{x_n^m\}_{n=1}^{\infty} \subset D(A)=l_0 を考えましょう。これに A を作用させると Ax^m=\{nx_n^m\}_{n=1}^{\infty} であり、

\begin{equation} nx_n^m=\left\{\begin{array}{cl} n^{-1} & n \le m -1 \\ 0 & n \ge m \end{array}\right. \end{equation}

となります。さて、先ほどのdensityの議論と同様に、 x^m , \, Ax^m はそれぞれ x=\{n^{-2}\}_{n=1}^{\infty} \in l^2 , \, y=\{n^{-1}\}_{n=1}^{\infty} \in l^2 に収束します。ゆえに閉作用素ならば x \in D(A)=l_0 となるはずですが、 x は遠方でも 0 にはならないため、矛盾となります。そういうことで一応これが反例になります。

 

しかしながら、次の集合

\begin{equation} \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb{C} \, \left| \, \begin{gathered} \lambda I-A : D(A) \to X_0 :\text{bijective}, \quad \overline{X_0}=X \\ (\lambda I-A)^{-1} \in \mathcal{L}(X_0,X) \end{gathered}\right.\right\} \end{equation}

\overline{X_0}=X なので、有界作用素X 上に拡張して解釈すれば先ほどの場合と同じ集合になり、初めの主張は成立すると思われます。実際そのような拡張は一意に存在するので、このように考えればそこまで問題にはならないかなあとも思います。上で示した反例も、 A の定義域を拡張すれば作用自体はできて一致もします。

 

さて、今回はここまでとしますが、少しだけコメントをしておきます。一般に \rho(A) はresolvent集合と呼ばれるものですが、通常はこの集合はどのように定義されているものなのでしょうか??「 \rho(A) \neq \varnothing ならば A は閉作用素」という標語はresolvent集合がどういう意味なのかを検討する必要がありますね。ちなみに僕は (\lambda I-A)^{-1} \in \mathcal{L}(X) 派です。