斉次Besovの微分階数の意味について

どうもこんにちは。ひよこてんぷらです。

前回はLaplacianのFourier multiplier $(-\Delta)^{\frac{1}{2}s}=\mathcal{F}^{-1}|\cdot|^s\mathcal{F}$ を超関数 $\mathscr{S}^*$ の枠組みでどのように定式化をするかという基礎的な話を頑張っておりました。

sushitemple.hatenablog.jp

しかし前にも話したように、いま勉強していることのゴールはBesov空間 $\dot{B}_{p,q}^s$ の不等式評価を行うことで熱半群 $e^{t\Delta}$ の滑らかさを見たいということでした。

そういうわけで話をもとに戻しましょう。今回はBesov空間における微分階数 $s$ が確かに微分階数としての意味合いを持っていることを確認していきます。

しかしこれも結構証明が大変なので、少しずつ準備をしながら頑張っていきましょう。なお、LaplacianにおいてはFourier変換の持つ性質

\begin{equation} \mathcal{F}[(-\Delta)^N f]=|\xi|^{2N}\mathcal{F}[f] \end{equation}

から作用素を定義したわけですが、普通の微分 $\partial_x^{\alpha}$ に対しては

\begin{equation} \mathcal{F}[\partial_x^{\alpha}f]=(i\xi)^{\alpha}\mathcal{F}[f] \end{equation}

が成立します。今後は代表的な微分作用素としてこの2つの作用素を調べていきます。すなわち

\begin{equation} \rho(\xi)=|\xi|^s \quad \text{or} \quad \rho(\xi)=(i\xi)^{\alpha} \end{equation}

としたFourier multiplier $\mathcal{F}^{-1}\rho \mathcal{F}$ を調べていきます。今後は $\rho$ とは上のどちらかを意味するものとします。

前回から用いている記号を引き続き使いましょう。すなわち、次の関数

\begin{gather} \varphi \in C_0^{\infty} \quad \text{with} \quad \text{supp } \varphi \subset \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n \, | \, 1/2 \le |\xi| \le 2 \right\} \\ \text{and} \quad \sum_{j=-\infty}^{\infty} \varphi (2^{-j}\xi)=1 \quad {}^{\forall} \xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \end{gather}

に対してLittlewood-Paley分解 $\{\varphi_j\}=\{\mathcal{F}^{-1} [\varphi (2^{-j}\xi) ]\}$ を考え、

\begin{equation} \|f\|_{\dot{B}_{p,q}^s}=\left\{ \sum_{j=-\infty}^{\infty} \left( 2^{sj}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} \end{equation}

としてBesov空間 $\dot{B}_{p,q}^s$ を定義します。また $t \neq 0$ および全空間上で定義された関数 $f$ に対して $m_tf=f(t \cdot)$ としておきます。

次の命題を用意します。

命題E:

任意の $j,k \in \mathbb{Z}$ に対して

\begin{equation} \varphi_j*\varphi_k=0 \quad (|j-k| \ge 2) \end{equation}

が成立します。また、

\begin{equation} (m_{-1}\mathcal{F}^{-1}[\rho \mathcal{F}[\varphi_j]])*(m_{-1}\varphi_k)=m_{-1}\mathcal{F}^{-1}[\rho \mathcal{F}[\varphi_j*\varphi_k]] \end{equation}

が成立します。

命題F:

任意の $m \in \mathbb{N}$ に対して斉次Sobolev空間 $\dot{H}^m$ および非斉次Sobolev空間 $H^m$ を

\begin{equation}\begin{split} \dot{H}^m&=\dot{H}^m(\mathbb{R}^n)=\left\{ f \in \mathscr{S}^* / \mathscr{P} \, \left| \, \|f\|_{\dot{H}^m}=\|(-\Delta)^{\frac{1}{2}m}f\|_{L^2} \lt \infty \right.\right\} \\ H^m&=H^m(\mathbb{R}^n)=\left\{ f \in \mathscr{S}^* \, \left| \, \|f\|_{H^m}=\|(I-\Delta)^{\frac{1}{2}m}f\|_{L^2} \lt \infty \right.\right\} \end{split}\end{equation}

と定義すれば、 $\|\cdot\|_{\dot{H}^m}$ および $\|\cdot\|_{H^m}$ はそれぞれ

\begin{equation} \sum_{ |\beta| = m} \|\partial_x^{\beta}f\|_{L^2} , \quad \sum_{|\beta| \le m} \|\partial_x^{\beta}f\|_{L^2} \end{equation}

と同値になります。特に、

\begin{equation} \|\cdot\|_{L^2}+\|\cdot\|_{\dot{H}^m} \le C_m\|\cdot\|_{H^m} \end{equation}

が成立します。

命題G:

任意の $j \in \mathbb{Z}$ に対して

\begin{equation} \| \rho (2^j\xi) \varphi \|_{L^2} \le \left\{ \begin{array}{ll} 2^{sj}2^{|s|}\|\varphi\|_{L^2} & \text{if } \rho(\xi)=|\xi|^s \\ 2^{|\alpha|j}2^{|\alpha|}\|\varphi\|_{L^2} & \text{if } \rho(\xi)=(i\xi)^{\alpha} \end{array} \right. \end{equation}

および

\begin{equation}\|\rho(2^j\xi)\varphi \|_{\dot{H}^n} \le \left\{ \begin{array}{ll} 2^{sj}2^{|s|}(|s|+1)^nC_n\|\varphi\|_{H^n} & \text{if } \rho(\xi)=|\xi|^s \\ 2^{|\alpha|j}2^{|\alpha|}|\alpha|^nC_n\|\varphi\|_{H^n} & \text{if } \rho(\xi)=(i\xi)^{\alpha} \end{array} \right. \end{equation}

が成立します。

では証明していきましょう。命題Eの前半の主張はよく知られているLittlewood-Paley分解の性質です。関数のsupportに注意して議論すれば証明できます。さて、後半の主張は難しくはないですがちゃんと計算するとややめんどうです。やってみましょう。

まずは任意の $f \in \mathscr{S}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} m_{-1}\mathcal{F}^{-1}[f](x)&=\mathcal{F}^{-1}[f](-x) \\ &=\frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i\xi \cdot (-x)}f(\xi)d\xi \\ &=\frac{1}{(2\pi)^n} \mathcal{F}[f](x) \end{split}\end{equation}

が成立することに注意します。これと次の関係

\begin{equation} \mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\mathcal{F}[g] , \quad \mathcal{F}[f]*\mathcal{F}[g]=(2 \pi)^n \mathcal{F}[fg] \end{equation}

を用いれば、

\begin{equation}\begin{split} &(m_{-1}\mathcal{F}^{-1}[\rho \mathcal{F}[\varphi_j]])*(m_{-1}\varphi_k) \\ &= (m_{-1}\mathcal{F}^{-1}[\rho \mathcal{F}[\varphi_j]])*(m_{-1}\mathcal{F}^{-1}[\mathcal{F}[\varphi_k]]) \\ &= \left(\frac{1}{(2\pi)^n}\mathcal{F}[\rho \mathcal{F}[\varphi_j]]\right)*\left( \frac{1}{(2\pi)^n}\mathcal{F}[\mathcal{F}[\varphi_k]]\right) \\ &= \frac{1}{(2\pi)^{2n}} \times (2\pi)^n \mathcal{F}[\rho\mathcal{F}[\varphi_k]\mathcal{F}[\varphi_j]] \\ &= \frac{1}{(2\pi)^n} \mathcal{F}[\rho \mathcal{F}[\varphi_j*\varphi_k]] \\ &= m_{-1}\mathcal{F}^{-1}[\rho \mathcal{F}[\varphi_j*\varphi_k]] \end{split}\end{equation}

となり証明できます。特段難しい変形はしていませんが、けっこうややこしいですね。

では命題Fはどうでしょうか。これは何を言いたいのかというと、Laplacian $(-\Delta)^{\frac{1}{2}m}$ は普通の微分 $\partial_x^{\beta} \, ( |\beta| = m)$ と同じような意味ですよ、ということです。なお、 $\dot{H}^m , \, H^m$ はより一般に実数 $s \in \mathbb{R}$ に対して考えてよく、normも $L^2$ ではなく $L^p$ にして定義できます。その場合は $\dot{H}^{s,p} \, H^{s,p}$ などと書いたりします。なお、こちらもBesovと同じく斉次空間は多項式の商空間を考えることでnormの分離公理を達成し、Banach空間になるようにしています。

さて、では命題Gを示しましょう。この命題がBesovの微分に関する性質を証明するのに役立ってくれます。次の2つの積分値

\begin{equation} \| \rho (2^j\xi) \varphi \|_{L^2} , \quad \| \rho (2^j\xi) \varphi \|_{\dot{H}^n} \end{equation}

を評価したいわけですが、いま $\varphi$ は

\begin{equation} \text{supp } \varphi \subset \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n \, | \, 1/2 \le |\xi| \le 2 \right\} \end{equation}

を満たしているので、今後の議論は $1/2 \le |\xi| \le 2$ 上で行えば十分です。まずはすぐわかるように $\rho(\xi)=|\xi|^s$ のとき

\begin{equation} |\rho(2^j\xi)|=|2^j\xi|^s=2^{sj}|\xi|^s \le 2^{sj}2^{|s|} \end{equation}

および $\rho(\xi)=(i\xi)^{\alpha}$ のとき

\begin{equation} |\rho(2^j\xi)|=|(i2^j\xi)^{\alpha}|=2^{|\alpha|j}|\xi^{\alpha}| \le 2^{|\alpha|j}|\xi|^{|\alpha|} \le 2^{|\alpha|j}2^{|\alpha|} \end{equation}

です。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} \| \rho (2^j\xi) \varphi \|_{L^2} &=\left( \int_{\mathbb{R}^n} |\rho (2^j\xi) \varphi (\xi)|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \left( \int_{1/2 \le |\xi| \le 2} |\rho (2^j\xi) \varphi (\xi)|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &\le \left\{ \begin{array}{ll} 2^{sj}2^{|s|}\|\varphi\|_{L^2} & \text{if } \rho(\xi)=|\xi|^s \\ 2^{|\alpha|j}2^{|\alpha|}\|\varphi\|_{L^2} & \text{if } \rho(\xi)=(i\xi)^{\alpha} \end{array} \right. \end{split}\end{equation}

が得られます。

さて、後半については少し面倒な計算が必要です。というのも、早速命題Fを用いて

\begin{equation} \| \rho (2^j\xi) \varphi \|_{\dot{H}^n} \le C_n\sum_{ |\beta| = n}\| \partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi) \|_{L^2} \end{equation}

が得られるわけですが、ここで $|\beta| = n$ 回の微分をする必要がありますので、まずはLeibnizで計算です。

\begin{equation} \partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi(\xi)) =\sum_{\gamma \le \beta} \binom{\beta}{\gamma} \partial_{\xi}^{\gamma}(\rho(2^j\xi))\partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \end{equation}

さて、ここでまずは $\rho(\xi)=|\xi|^s$ のとき

\begin{equation} \partial_{\xi}^{\gamma}(\rho(2^j\xi))=\partial_{\xi}^{\gamma}|2^j\xi|^s=2^{sj}\partial_{\xi}^{\gamma}|\xi|^s \end{equation}

を計算しなければなりません。なかなかめんどうな計算が必要……だと思われますが、実はこれはすでに命題Dにより証明されています！！再掲すると、 $R \ge 1 , \, s \in \mathbb{R} , \, \beta \in \mathbb{N}_0^n$ とするとき、 $0 \lt |\xi| \le R$ に対して

\begin{equation} \left| \partial_{\xi}^{\beta}|\xi|^s \right| \le C_{\beta}R^{|\beta|^2}(|s|+1)^{|\beta|}|\xi|^{s-|\beta|} \end{equation}

が成立するというものです。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} \left| \partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi(\xi)) \right| &\le \sum_{\gamma \le \beta} \binom{\beta}{\gamma}2^{sj}\left| \partial_{\xi}^{\gamma}|\xi|^s \right| \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right| \\ &\le 2^{sj}\sum_{\gamma \le \beta} \binom{\beta}{\gamma}C_{\gamma}(|s|+1)^{|\gamma|}|\xi|^{s-|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right| \\ &\le 2^{sj}(|s|+1)^nC_n\sum_{\gamma \le \beta}|\xi|^{s-|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right| \end{split}\end{equation}

とできます。ここで $|\beta| = n$ に注意しましょう。したがって

\begin{equation}\begin{split} &\|\partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi) \|_{L^2} \\ &=\left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| \partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi(\xi)) \right|^2 d\xi\right)^{\frac{1}{2}} \\ &\le 2^{sj}(|s|+1)^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} \left( \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2s-2|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= 2^{sj}(|s|+1)^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} \left( \int_{1/2 \le |\xi| \le 2} |\xi|^{2s-2|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &\le 2^{sj}(|s|+1)^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} 2^{|s|+|\gamma|} \left( \int_{1/2 \le |\xi| \le 2} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= 2^{sj}2^{|s|}(|s|+1)^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} \| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi \|_{L^2} \end{split}\end{equation}

となり、

\begin{equation}\begin{split} \| \rho (2^j\xi) \varphi \|_{\dot{H}^n} &\le C_n\sum_{ |\beta| = n}\| \partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi) \|_{L^2} \\ &\le 2^{sj}2^{|s|}(|s|+1)^nC_n\sum_{ |\beta| = n}\sum_{\gamma \le \beta}\| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi \|_{L^2} \\ &\le 2^{sj}2^{|s|}(|s|+1)^nC_n\|\varphi\|_{H^n} \end{split}\end{equation}

と評価できます。次に、

において $\rho(\xi)=(i\xi)^{\alpha}$ とすると、こちらの微分は簡単に計算できて、

\begin{equation}\begin{split} \left|\partial_{\xi}^{\gamma}(\rho (2^j\xi))\right| &=\left|\partial_{\xi}^{\gamma}(i2^j\xi)^{\alpha}\right| \\ &=\left|(i2^j)^{|\alpha|}\partial_{\xi}^{\gamma}\xi^{\alpha}\right| \\ &\le 2^{|\alpha|j} |\alpha|^{|\gamma|} |\xi^{\alpha-\gamma}| \\ &\le 2^{|\alpha|j}|\alpha|^{|\gamma|}|\xi|^{|\alpha|-|\gamma|} \end{split}\end{equation}

となります。なお、 $\gamma \le \alpha$ に対しては微分することで

\begin{equation} \partial_{\xi}^{\gamma}\xi^{\alpha}=\binom{\alpha}{\gamma}\xi^{\alpha-\gamma} \end{equation}

という関係を得るため、二項係数の評価

\begin{equation} \binom{k}{l}=\prod_{j=1}^l \frac{k-j+1}{j} =\prod_{j=1}^l \frac{k}{j}\left(1-\frac{j}{k}+\frac{1}{k}\right) \le \prod_{j=1}^l \frac{k}{j} \le k^l \end{equation}

から

\begin{equation} \binom{\alpha}{\gamma} =\prod_{j=1}^n\binom{\alpha_j}{\gamma_j} \le \prod_{j=1}^n\alpha_j^{\gamma_j} \le \prod_{j=1}^n|\alpha|^{\gamma_j}=|\alpha|^{|\gamma|} \end{equation}

という評価を得ています。なお、 $\gamma \le \alpha$ でない場合は微分により $0$ になりますが、おおざっぱに全部 $|\alpha|^{|\gamma|}$ で評価しちゃいましょう。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} \left| \partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi(\xi)) \right| &\le \sum_{\gamma \le \beta} \binom{\beta}{\gamma}\left| \partial_{\xi}^{\gamma}(\rho (2^j\xi))\right| \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right| \\ &\le \sum_{\gamma \le \beta} \binom{\beta}{\gamma}2^{|\alpha|j}|\alpha|^{|\gamma|}|\xi|^{|\alpha|-|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right| \\ &\le 2^{|\alpha|j}|\alpha|^nC_n\sum_{\gamma \le \beta}|\xi|^{|\alpha|-|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right| \end{split}\end{equation}

を得ます。ここでもやはり $|\beta| = n$ に注意しましょう。さて、先ほどと同様の計算により

\begin{equation}\begin{split} &\|\partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi) \|_{L^2} \\ &=\left( \int_{\mathbb{R}^n} \left| \partial_{\xi}^{\beta}(\rho(2^j\xi)\varphi(\xi)) \right|^2 d\xi\right)^{\frac{1}{2}} \\ &\le 2^{|\alpha|j}|\alpha|^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} \left( \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2|\alpha|-2|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= 2^{|\alpha|j}|\alpha|^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} \left( \int_{1/2 \le |\xi| \le 2} |\xi|^{2|\alpha|-2|\gamma|} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &\le 2^{|\alpha|j}|\alpha|^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} 2^{|\alpha|+|\gamma|} \left( \int_{1/2 \le |\xi| \le 2} \left| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi(\xi) \right|^2 d\xi \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= 2^{|\alpha|j}2^{|\alpha|}|\alpha|^nC_n\sum_{\gamma \le \beta} \| \partial_{\xi}^{\beta-\gamma}\varphi \|_{L^2} \end{split}\end{equation}

となるので、

\begin{equation} \|\rho(2^j\xi)\varphi \|_{\dot{H}^n} \le 2^{|\alpha|j}2^{|\alpha|}|\alpha|^nC_n\|\varphi\|_{H^n} \end{equation}

を得ます。結局、

という感じになりました。大体同じように評価できるということですね。

さて、これで命題の証明はおしまいということで、そろそろBesovの評価をやりたいわけですが……もう少し準備が必要なので、今日はこの辺にしておきます。

なお、少し補足ですが、今回の命題Gの証明は従来のよりも評価が大変になっています。何が大変なのかというと、定数項が次元 $n$ にしかよらないという評価にしている点です。普通のBesovまわりでの不等式の証明では、微分階数 $s$ も定数に含めてしまうケースが多いですが、今回の僕の証明は定数のうち $s$ はどの程度の増大度を持っているのかを厳密に評価しているためめんどうな証明になっているということです。そしてなぜこんなことをしているかというと、解析性の証明に必要だからです。このあたりの話はおいおいするとして、次回はBesovの評価をがんばっていきましょう。