Aubin-Lionsの補題 - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。今日はAubin-Lionsの補題をやります。なお、証明は「Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models」を参考にしています。まずは主張を確認しましょう。

(Aubin-Lionsの補題) $1 \le p,q \le \infty , \, 0 \lt T \lt \infty$ とする。また $Y_0$ をnorm空間および $X,Y_1$ をBanach空間とする。ここで $Y_0 \subset X \subset Y_1$ が成立し、埋め込み $Y_0 \subset X$ はcompactで、埋め込み $X \subset Y_1$ は連続と仮定する。このとき、次で定義される関数空間

\begin{equation}\begin{split} \mathcal{E}_{p,q} &=\mathcal{E}_{p,q}(0,T) \\ &=\left\{ f \in L^p((0,T):Y_0) \, | \, \partial_tf \in L^q((0,T):Y_1) \right\} \end{split}\end{equation}

に対して次が成立する。

(i) $1 \le p \lt \infty$ ならばcompactな埋め込み $\mathcal{E}_{p,q} \subset L^p((0,T):Y_1)$ が成立する。

(ii) $p=\infty$ かつ $1 \lt q \le \infty$ ならばcompactな埋め込み $\mathcal{E}_{\infty,q} \subset C([0,T]:Y_1)$ が成立する。

さて、いくつか補足をしておきましょう。まずcompactな埋め込みの定義を確認しておきます。埋め込み $Y_0 \subset X$ がcompactとは、まず連続な埋め込み

\begin{equation} \|x\|_X \le C\|x\|_{Y_0} \quad f \in Y_0 \end{equation}

が成立し、さらに任意の有界列 $\{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_0$ に対してある $x \in X$ に収束するような部分列が取れるということとします。また、関数空間 $\mathcal{E}_{p,q}$ は

\begin{equation} \|f\|_{\mathcal{E}_{p,q}}=\|f\|_{L^p((0,T):Y_0)}+\|\partial_tf\|_{L^q((0,T):Y_1)} \end{equation}

をnormに持ちます。ゆえに上での埋め込みはこの位相で考えているということです。また、 $0 \lt T \lt \infty$ よりHölderの不等式を用いると

\begin{equation}\begin{split} &\|f\|_{W^{1,1}((0,T):Y_1)} \\ &=\|f\|_{L^1((0,T):Y_1)}+\|\partial_tf\|_{L^1((0,T):Y_1)} \\ &=\int_0^T\|f(t)\|_{Y_1}dt+\int_0^T\|\partial_tf(t)\|_{Y_1}dt \\ &\le C\int_0^T\|f(t)\|_{Y_0}dt+\int_0^T\|\partial_tf(t)\|_{Y_1}dt \\ &\le C\left(\int_0^Tdt\right)^{1/p'}\left(\int_0^T\|f(t)\|_{Y_0}^pdt\right)^{1/p} \\ &+\left(\int_0^Tdt\right)^{1/q'}\left(\int_0^T\|\partial_tf(t)\|_{Y_1}^qdt\right)^{1/q} \\ &=CT^{1/p'}\|f\|_{L^p((0,T):Y_0)}+T^{1/q'}\|\partial_tf\|_{L^q((0,T):Y_1)} \\ &\le (CT^{1/p'}+T^{1/q'})\|f\|_{\mathcal{E}_{p,q}} \end{split}\end{equation}

なので、 $f \in \mathcal{E}_{p,q}$ に対しては微積分学の基本定理

\begin{equation} \tag{$*$} f(t_1)-f(t_2)=\int_{t_1}^{t_2}\partial_tf(s)ds \quad \text{in } Y_1 \quad 0 \le t_1,t_2 \le T \end{equation}

が成立し、したがって $f \in C([0,T]:Y_1)$ となることに注意します。

さて、では証明しましょう。証明に使うのはやはりAscoli-Arzelàの定理ですね。

(Ascoli-Arzelàの定理) $0 \lt T \lt \infty$ とし、 $Y_1$ をBanach空間とする。このときBanach空間 $C([0,T]:Y_1)$ の部分集合 $\mathcal{H} \subset C([0,T]:Y_1)$ は次を満たすとする。

(i) 各 $0 \le t \le T$ に対して集合 $\{f(t) \, | \, f \in \mathcal{H}\} \subset Y_1$ は $Y_1$ で相対compactである。

(ii) $\mathcal{H}$ は同程度連続である。すなわち、任意の $0 \le t \le T$ および $\varepsilon \gt 0$ に対して十分小さい $\delta \gt 0$ が存在して、任意の $0 \le s \le T$ および $f \in \mathcal{H}$ に対して

\begin{equation} |t-s| \lt \delta \quad \Longrightarrow \quad \|f(t)-f(s)\|_{Y_1} \lt \varepsilon \end{equation}

が成立する。

このとき $\mathcal{H} \subset C([0,T]:Y_1)$ は相対compactである。

さて、ここで $\mathcal{H} \subset C([0,T]:Y_1)$ が相対compactとはつまり、 $\mathcal{H}$ のどんな点列からも $C([0,T]:Y_1)$ の元に収束するような部分列がとれるということですね。

そしてもう一つ基本的な不等式を示しておきます。先の $Y_0 \subset X \subset Y_1$ において、任意の $\varepsilon \gt 0$ に対してある定数 $C_{\varepsilon} \gt 0$ が存在して

\begin{equation} \tag{$**$} \|x\|_X \le \varepsilon \|x\|_{Y_0}+C_{\varepsilon}\|x\|_{Y_1} \quad x \in Y_0 \end{equation}

が成立します。これは背理法で示しましょう。すなわち、ある $\varepsilon \gt 0$ および $\{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_0$ に対して

\begin{equation} \|x_j\|_X \gt \varepsilon \|x_j\|_{Y_0}+j\|x_j\|_{Y_1} \end{equation}

が成立しているとしましょう。右辺は正なので常に $\|x_j\|_X$ も正です。したがって両辺を割って

\begin{equation} 1=\|y_j\|_X \gt \varepsilon \|y_j\|_{Y_0}+j\|y_j\|_{Y_1} , \quad \text{where} \quad y_j=x_j/\|x_j\|_X \end{equation}

としましょう。この不等式から直ちに

\begin{equation} \|y_j\|_{Y_0} \lt \varepsilon^{-1} \quad \text{and} \quad \|y_j\|_{Y_1} \lt 1/j \end{equation}

が分かります。したがって $\{y_j\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_0$ は有界列ですね。さて、仮定から埋め込み $Y_0 \subset X$ はcompactですから、部分列をとればこれはある $y \in X$ に収束するはずです。常に $\|y_j\|_X=1$ ですからもちろん $\|y\|_X=1$ になるわけですが、一方で埋め込み $X \subset Y_1$ は連続ですから、部分列は $y \in Y_1$ にも収束します。しかし上の不等式から $\|y\|_{Y_1}=0$ すなわち $y=0$ のはずなので、これは矛盾ですね。ゆえに $(**)$ が成立します。

では準備が整ったのでAubin-Lionsの補題を証明しましょう！！少し手順が多いですが、焦らず頑張りましょう。示すべきことを整理すると、compactな埋め込みを示したいわけですね。(i)の場合、 $1 \le p \lt \infty$ のときは、もし点列 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{E}_{p,q}$ が有界ならば、すなわち2つの点列

\begin{equation} \{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^p((0,T):Y_0) , \quad \{\partial_tf_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^q((0,T):Y_1) \end{equation}

がそれぞれのnormで有界ならば、 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ から $L^p((0,T):X)$ のCauchy列となるような部分列を選べるということを言えばいいわけです。一方(ii)の場合、 $p=\infty$ の場合はさらに $1 \lt q \le \infty$ を仮定すれば $C([0,T]:X)$ のCauchy列となるような部分列を選べるわけですね。基本は(i)の場合を考えますが、(ii)もほとんど同様です。証明中に注意を述べながらやっていきます。

初めに、もし上の仮定で $L^p((0,T):Y_1)$ のCauchy列が構成できればそれは $L^p((0,T):X)$ のCauchy列にもなることを示しましょう。さて、部分列 $\{f_{\varphi(j)}\}_{j=1}^{\infty} \subset L^p((0,T):Y_1)$ が $L^p((0,T):Y_1)$ のCauchy列であるとしましょう。仮定からこれは $L^p((0,T):Y_0)$ で有界であることに注意します。すなわち

\begin{equation} \sup_{j \in \mathbb{N}}\|f_{\varphi(j)}\|_{L^p((0,T):Y_0)} \le M \end{equation}

なる $M \gt 0$ がありますね。したがって $(**)$ を用いれば任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{\varphi(j_1)}(t)-f_{\varphi(j_2)}(t)\|_X \\ &\le \frac{\varepsilon}{2M} \|f_{\varphi(j_1)}(t)-f_{\varphi(j_2)}(t)\|_{Y_0}+C_{\varepsilon,M}\|f_{\varphi(j_1)}(t)-f_{\varphi(j_2)}(t)\|_{Y_1} \end{split}\end{equation}

ですから、両辺の $L^p$ normを取って

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):X)} \\ &\le \frac{\varepsilon}{2M} \|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):Y_0)}+C_{\varepsilon,M}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\le \varepsilon +C_{\varepsilon,M}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)}\end{split}\end{equation}

が得られます。さて、定数 $C_{\varepsilon,M} \gt 0$ は $j_1,j_2 \in \mathbb{N}$ によらないので、部分列 $\{f_{\varphi(j)}\}_{j=1}^{\infty}$ が $L^p((0,T):Y_1)$ のCauchy列であることより

\begin{equation} \limsup_{j_1,j_2 \to \infty}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):X)} \le \varepsilon \end{equation}

とできます。 $\varepsilon \gt 0$ は任意ですから、これは

\begin{equation} \lim_{j_1,j_2 \to \infty}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):X)} =0 \end{equation}

を意味しますね。ゆえにこれは $L^p((0,T):X)$ のCauchy列であるということです。

そういうわけで、上の仮定のもとで $L^p((0,T):Y_1)$ のCauchy列を構成できれば十分ですね。ではこれを示していきましょう。初めに、点列 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{E}_{p,q}$ に対して $(*)$ より $\{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset C([0,T]:Y_1)$ が従うことに注意しましょう。そこで、まずは次のcutoff関数

\begin{equation} \chi \in C^{\infty}([0,T]) , \quad \chi(t)=\left\{\begin{array}{cc} 1 & 0 \le t \le T/4 \\ 0 & (3T)/4 \le t \le T \end{array}\right. \end{equation}

を取ってきて、

\begin{equation} f_j=\chi f_j+(1-\chi)f_j \end{equation}

としましょう。さらに次のように関数を拡張しておきます。

\begin{equation}\begin{split} f_j^{(1)}(t)&=\left\{\begin{array}{cc} \chi (t)f_j(t) & 0 \le t \le T \\ 0 & T \lt t \lt \infty\end{array}\right. \\ f_j^{(2)}(t)&=\left\{\begin{array}{cc} (1-\chi (t) )f_j(t) & 0 \le t \le T \\ 0 & -\infty \lt t \le 0\end{array}\right. \end{split}\end{equation}

ここで $\chi(T)=0$ および $\chi (0)=1$ よりこれは連続拡張ですから、

\begin{equation} f_j^{(1)} \in C([0,\infty):Y_1) , \quad f_j^{(2)} \in C((-\infty,T]:Y_1) \end{equation}

が成立します。さて、このような拡張を行うことで、任意の $h \gt 0$ に対して次のような分割を考えられます。

\begin{equation}\begin{split} f_j^{(1)}(t) &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}f_j^{(1)}(s)ds+\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\{f_j^{(1)}(t)-f_j^{(1)}(s)\}ds \\ &=f_{j,h}^{(1,1)}(t)+f_{j,h}^{(1,2)}(t) \\ f_j^{(1)}(t) &=\frac{1}{h}\int_{t-h}^tf_j^{(1)}(s)ds+\frac{1}{h}\int_{t-h}^t\{f_j^{(1)}(t)-f_j^{(1)}(s)\}ds \\ &=f_{j,h}^{(2,1)}(t)+f_{j,h}^{(2,2)}(t) \end{split}\end{equation}

さて、そろそろ添え字が嫌な感じになってきましたね。拡張が正の方向および負の方向にそれぞれ行われているので、その方向に対して $h \gt 0$ だけ動かしても関数が定義され得るということです。ここでの $h \gt 0$ は後で動かしますが、今は適当に固定しておきましょう。

これ以降の議論は $f_j^{(1)}(t)$ でも $f_j^{(2)}(t)$ でも同様ですから、 $f_j^{(1)}(t)$ について考えます。ここで、もちろん各 $f_{j,h}^{(1,1)}$ は $C([0,T]:Y_1)$ に属します。Ascoli-Arzelàの定理を使いたいので、部分集合 $\{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} \subset C([0,T]:Y_1)$ を考えます。これに対して各 $0 \le t \le T$ における $\{f_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_1$ の相対compact性、および $\{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ の同程度連続性を見ましょう。

では計算を続けます。すぐ分かるように、Hölderの不等式から

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,1)}(t)\|_{Y_0} \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\|f_j^{(1)}(s)\|_{Y_0}ds \\ &\le \frac{1}{h}\left( \int_t^{t+h}ds \right)^{1/p'}\left(\int_t^{t+h}\|f_j^{(1)}(s)\|_{Y_0}^p ds\right)^{1/p} \\ &\le \frac{1}{h}h^{1/p'}\|f_j^{(1)}\|_{L^p((0,T):Y_0)} \\ &\le h^{-1/p}\|f_j\|_{L^p((0,T):Y_0)}\end{split}\end{equation}

となります。さて、仮定から $\{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^p((0,T):Y_0)$ は有界列だったので、すなわち各 $t$ に対して点列 $\{f_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty}$ は $j$ に関して $Y_0$ で有界です。さらに仮定から埋め込み $Y_0 \subset X$ はcompactで埋め込み $X \subset Y_1$ は連続だったので、これよりcompactな埋め込み $Y_0 \subset Y_1$ が従います。したがって $\{f_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty}$ から $Y_1$ で収束するような部分列がとれます。これは相対compact性を示していますね。

では同程度連続性はどうでしょうか。これは次の計算で示されます。まずは $f_{j,h}^{(1,1)}$ の定義から

\begin{equation}\begin{split} \partial_tf_{j,h}^{(1,1)}(t) &=\frac{1}{h}\{f_j^{(1)}(t+h)-f_j^{(1)}(t)\} \\ &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\partial_tf_j^{(1)}(s)ds \end{split}\end{equation}

であり、再びHölderから

\begin{equation}\begin{split} &\|\partial_tf_{j,h}^{(1,1)}(t)\|_{Y_1} \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\|\partial_tf_j^{(1)}(s)\|_{Y_1}ds \\ &\le \frac{1}{h}\left(\int_t^{t+h}ds\right)^{1/q'}\left(\int_t^{t+h}\|\partial_tf_j^{(1)}(s)\|_{Y_1}^q ds\right)^{1/q} \\ &\le \frac{1}{h}h^{1/q'}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)} \\ &\le h^{-1/q}\|\partial_tf_j\|_{L^q((0,T):Y_1)} \end{split}\end{equation}

です。さてまた仮定から $\{\partial_tf_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^q((0,T):Y_1)$ は有界列だったので、すなわちこれは点列 $\{\partial_tf_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty}$ が $j$ に関して $Y_1$ で有界ということです。微分して有界なので、これは $j$ によらない連続性を意味します。すなわち同程度連続性が示されました。これでようやくAscoli-Arzelàの定理が使えます！！つまり点列 $\{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ の部分列を選ぶことで、 $C([0,T]:Y_1)$ の元に収束するようにできるということです。そしてもちろんこれは極限関数が $L^p((0,T):Y_1)$ に属することを意味しますね。ここまでは $p=\infty$ でも同様の主張が言えますね。

さて、ではもう一方の点列 $\{f_{j,h}^{(1,2)}\}_{j=1}^{\infty}$ を検討しましょう。 $(*)$ より

\begin{equation}\begin{split} f_{j,h}^{(1,2)}(t) &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\{f_j^{(1)}(t)-f_j^{(1)}(s)\}ds \\ &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\int_t^s\partial_tf_j^{(1)}(r)drds \end{split}\end{equation}

ですから、これのnormを計算していきましょう。Hölderを2回使っていきます。

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1}^p \\ &\le \left( \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\int_t^s\|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}drds \right)^p \\ &\le \frac{1}{h^p} \left( \int_t^{t+h}ds \right)^{p/p'}\left( \int_t^{t+h} \left| \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}dr \right|^p ds \right)^{p/p} \\ &\le \frac{1}{h^p} h^{p/p'} \int_t^{t+h}\left( \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^{1/p'}\|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^{1/p} dr \right)^p ds \\ &\le \frac{1}{h} \int_t^{t+h} \left(\int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \left(\int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p} ds \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds \end{split}\end{equation}

さてここでFubiniを使いましょう。これにより

\begin{equation}\begin{split} &\int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds \\ &=\int_t^{t+h} \int_r^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} ds dr \\ &= \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr \end{split}\end{equation}

となります。さて、この両辺を $t$ で積分して再びFubiniを使います。ここでの変数変換は注意が必要です。というのも積分領域が平行四辺形であり、真面目に変換後の積分領域を考えるとめんどくさいので、ちょっと多めに見積もりましょう。

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^T\int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds dt \\ &= \int_0^T \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \\ &\le \int_0^T \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \\ &\le \int_h^T \int_{r-h}^r \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dt dr \\ &+\left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \end{split}\end{equation}

さて、最後の変形は第1項でFubiniを使っているわけですが、これでは積分領域全体の変換になっていないため、余った部分を補う形で第2項が表れています。図形を描いて考えると分かりやすいです。これで第1項は

\begin{equation}\begin{split} &\int_{r-h}^r (t+h-r)dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2+(h-r)t \right]_{r-h}^r \\ &= \frac{1}{2}r^2+(h-r)r-\frac{1}{2}(r-h)^2-(h-r)(r-h) \\ &=\frac{1}{2}r^2+rh-r^2+\frac{1}{2}(r-h)^2 \\ &=rh-\frac{1}{2}r^2+\frac{1}{2}(r^2-2rh+h^2) \\ &=\frac{1}{2}h^2 \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation}\begin{split} &\int_h^T \int_{r-h}^r \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dt dr \\ &\le \frac{1}{2}h^2 \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}dr \end{split}\end{equation}

であり、他方第2項は大雑把に評価して

\begin{equation}\begin{split} &\left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \\ &\le h \left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr dt \\ &\le h \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) dt \\ &=2h^2\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \end{split}\end{equation}

となりますね。では初めのnorm評価に戻れば

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1}^p \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds \end{split}\end{equation}

だったので、両辺を $t$ で積分して

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^T\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1}^p dt \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \int_0^T \int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds dt \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \left(\frac{1}{2}h^2+2h^2\right) \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \\ &\le \frac{5}{2}h \left( \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^p\end{split}\end{equation}

が得られます。さて、もう一度Hölderを用いれば

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\le \left(\frac{5}{2}h\right)^{1/p} \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \\ &\le \left(\frac{5}{2}h\right)^{1/p} \left(\int_0^T dr\right)^{1/q'}\left( \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^q dr \right)^{1/q} \\ &\le \left(\frac{5}{2}h\right)^{1/p} T^{1/q'} \|\partial_tf_j\|_{L^q((0,T): Y_1)} \end{split}\end{equation}

となるわけです。さて、ここまでの計算が結構長い道のりでしたが、実際ただ $L^q$ で抑えたいだけならもっと簡単に評価できます。しかしここでは $h \to +0$ で減衰することを言いたかったので少し計算が煩雑になっているわけです。実際、仮定から $\{\partial_tf_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^q((0,T):Y_1)$ は有界ですから、上式は $j$ によらず $h \to +0$ で $0$ に収束することが言えるわけですね。

では $p=\infty$ のときはというと、実はもっと簡単に計算できます。再び初めの評価に戻れば、

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1} \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}drds \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h} \left(\int_t^s\|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^q dr\right)^{1/q}\left(\int_t^s dr\right)^{1/q'}ds \\ &\le \frac{1}{h}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)}\int_t^{t+h}(s-t)^{1/q'}ds \\ &=\frac{1}{h}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)} \frac{1}{1+1/q'}h^{1+1/q'} \\ &=\frac{h^{1/q'}}{1+1/q'}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)} \end{split}\end{equation}

となるわけです。さて(ii)の仮定は $p=\infty$ および $1 \lt q \le \infty$ でした。ここで $q \neq 1$ が課されているのは上と同様に $h \to +0$ での収束性を担保したかったからですね。

さて、いままで長い長い議論を行ってきましたが、結局関数列 $\{f_j\}_{j=1}^{\infty}$ を $\{f_j^{(1)}\}_{j=1}^{\infty}$ と $\{f_j^{(2)}\}_{j=1}^{\infty}$ とに分け、さらに $\{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ と $\{f_{j,h}^{(1,2)}\}_{j=1}^{\infty}$ を考えていたわけです。そして前者は収束部分列が取れ、後者は $h\to +0$ で $0$ に収束することを示しました。初めに断ったように、 $\{f_j^{(2)}\}_{j=1}^{\infty}$ に対しても同様の議論が適用できます。

では最後に収束列を構成しましょう！！先ほど示したことを振り返ると、Ascoli-Arzelàの定理から、点列 $\{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ の適切な部分列を選べば $C([0,T]:Y_1)$ の元に収束します。ここでの議論では $h \gt 0$ は固定していましたから、 $h=1$ として適用します。そして収束する部分列を $\{f_{\varphi_1(j),1}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ と書きましょう。さて、この添え字だけ取ってきた部分列 $\{f_{\varphi_1(j),h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ を再び考えれば、やはりAscoli-Arzelàの定理が使えます。これを $h=1/2$ で適用すれば、今度は部分列 $\{f_{\varphi_1(j),1/2}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ に対する収束部分列 $\{f_{\varphi_2(j),1/2}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ が取れます。

このような操作を各 $h=1/k$ に対して行うことで、収束部分列 $\{f_{\varphi_k(j),1/k}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ が順次構成されます。ここで注意すべきことは、このような方法で順次選んだ添え字に対する部分列 $\{f_{\varphi_k(j),h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ はそれぞれ前の部分列からどんどん抜き取っているので、すべての $1 \le l \le k$ においても部分列 $\{f_{\varphi_l(j),h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty}$ は同じ収束先を持つ収束列であるということです。

さて、こうして構成した部分列に対して、添え字の対角成分 $\varphi_k(k)$ を考えます。そうすると、なんと $\{f_{\varphi_k(k)}^{(1)}\}_{k=1}^{\infty}$ は $L^p((0,T):Y_1)$ のCauchy列になっています！！では証明しましょう。

\begin{equation} f_{\varphi_k(k)}^{(1)}=f_{\varphi_k(k),h}^{(1,1)}+f_{\varphi_k(k),h}^{(1,2)} \end{equation}

において、とにかく第2項は $\varphi_k(k)$ によらず $h \to +0$ で $0$ に収束するため、任意の $\varepsilon \gt 0$ に対して十分大きな $N \in \mathbb{N}$ を考えれば

\begin{equation} \|f_{j,1/N}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \lt \varepsilon /3 \quad \text{for all} \quad j \in \mathbb{N} \end{equation}

が成立します。そして対角成分から構成した部分列は上で注意したことからどの部分列も同じ収束先を持つ収束列であり、したがって十分大きな $k_1,k_2 \ge N$ に対していつでも

\begin{equation} \|f_{\varphi_{j_1}(k_1),1/N}^{(1,1)}-f_{\varphi_{j_2}(k_2),1/N}^{(1,1)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \lt \varepsilon /3 \quad \text{for all} \quad j_1,j_2 \in \mathbb{N} \end{equation}

が成立します。これが $j_1,j_2 \in \mathbb{N}$ によらないのは、そもそも $j_1,j_2 \in \mathbb{N}$ が大きければ部分列がどんどん抜き取られて少なくなっていくので、より早く $\varphi_{j_1}(k_1),\varphi_{j_2}(k_2)$ が大きくなるからですね。さて、これで

\begin{equation}\begin{split} &\| f_{\varphi_{k_1}(k_1)}^{(1)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2)}^{(1)} \|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ & = \| f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,1)}+f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,2)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,1)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,2)} \|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\le \| f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,1)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,1)} \|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &+\|f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)}+\|f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\lt \varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3 \\ &=\varepsilon\end{split}\end{equation}

すなわち部分列 $\{f_{\varphi_k(k)}^{(1)}\}_{k=1}^{\infty}$ が $L^p((0,T):Y_1)$ のCauchy列となることを示せました！！ $\{f_j^{(2)}\}_{j=1}^{\infty}$ も同様に議論することで、証明完了です！！

なお、 $p=\infty$ のときはAscoli-Arzelàの定理により構成した部分列は $C([0,T]:Y_1)$ で収束していましたから、連続関数の一様収束性から(ii)もOKですね。

さて、長くなりましたが今日はここまでとします。見てくださってありがとうございます。