Lorentz版Hölderの不等式

こんにちは、ひよこてんぷらです。さて、今日はLorentz版Hölderの不等式をやります。これは修論中に必要になった不等式ということで、証明します。

まずLorentz空間についてざっくり。詳細はまあ他で調べてください。とりあえず定義は適当なBanach空間 と領域 を用意し、 上の 値可測関数 に対して

\begin{align} \mu_f(\lambda) = \mu(\{t \in \Omega \ | \ \|f(t)\|_X>\lambda\}) , \ \ \ f^*(t) = \inf \{\lambda>0 \ | \ \mu_f(\lambda) \le t\} \end{align}

としましょう。この を分布関数、 は再配列関数と言ったりします。そんでもって正の と に対してLorentz空間 を

\begin{align} L^{p,q}(\Omega:X) = \{f \in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega:X) \ | \ \|f\|_{L^{p,q}(\Omega:X)}<\infty\} \end{align}

で定義します。ここで

\begin{align} \|f\|_{L^{p,q}(\Omega:X)} = \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \left\{ \int_0^{\infty} (t^{\frac{1}{p}}f^*(t))^q \frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} & 1 \le q<\infty \\ \displaystyle \sup_{t>0}\{t^{\frac{1}{p}}f^*(t)\} & q=\infty \end{array}\right. \end{align}

です。普通 値の関数に対する定義は絶対値の代わりにnormを normにするわけですが、Lorentz空間では分布関数がいろいろなあれこれを受け持つので、領域とかBanach空間値とかはすべて分布関数の定義に行き、結局再配列は単なる非負値関数になります。そういうわけで一見するとLorentz空間の定義は領域だかBanach空間だかは関係ないように見えます。

んで、今回示したいのはLorentz空間に対するHölderの不等式です。結果としてはたぶんこれが成立します。

\begin{align} 1=\frac{1}{\theta_0}+\frac{1}{\theta_1} , \ \ \ 0<\theta_0,\theta_1<1 \end{align}

に対して

\begin{align} \|fg\|_{L^{p,q}(\Omega:X)} \le 2^{\frac{1}{p}}\|f\|_{L^{\theta_0p,\theta_0q}(\Omega:X)}\|g\|_{L^{\theta_1p,\theta_1q}(\Omega:X)} \end{align}

が成立します。こいつは でも成立します。

んでこれには次の補題を使います。

\begin{align} (fg)^*(t) \le f^*(t/2)g^*(t/2) \end{align}

が成立するというやつです。これはまあ定義通りにやればいけるはずなのでここでは認めましょう。

さて、 であれば、

\begin{eqnarray*} \|fg\|_{L^{p,q}(\Omega:X)} &=& \left\{ \int_0^{\infty} (t^{\frac{1}{p}}(fg)^*(t))^q\frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le& \left\{ \int_0^{\infty} (t^{\frac{1}{p}}f^*(t/2)g^*(t/2))^q\frac{dt}{t} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=& \left\{ \int_0^{\infty} ( (2s)^{\frac{1}{p}}f^*(s)g^*(s))^q\frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=& 2^{\frac{1}{p}}\left\{ \int_0^{\infty} \left(s^{\frac{1}{p}\left( \frac{1}{\theta_0}+\frac{1}{\theta_1} \right)}f^*(s)g^*(s) \right)^q \frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &=& 2^{\frac{1}{p}}\left\{ \int_0^{\infty} (s^{\frac{1}{\theta_0p}}f^*(s))^q(s^{\frac{1}{\theta_1p}}g^*(s))^q \frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{q}} \\ &\le& 2^{\frac{1}{p}}\left[ \left\{ \int_0^{\infty} (s^{\frac{1}{\theta_0p}}f^*(s))^{\theta_0q}\frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{\theta_0}}\left\{ \int_0^{\infty} (s^{\frac{1}{\theta_1p}}g^*(s))^{\theta_1q} \frac{ds}{s} \right\}^{\frac{1}{\theta_1}} \right]^{\frac{1}{q}} \\ &=& 2^{\frac{1}{p}}\|f\|_{L^{\theta_0p,\theta_0q}(\Omega:X)}\|g\|_{L^{\theta_1p,\theta_1q}(\Omega:X)} \end{eqnarray*}

となります。ここで変数変換 と通常のHölderの不等式を使いました。んで の場合は

\begin{eqnarray*} \|fg\|_{L^{p,\infty}(\Omega:X)} &=& \sup_{t>0}\{t^{\frac{1}{p}}(fg)^*(t)\} \\ &\le& \sup_{t>0}\{t^{\frac{1}{p}}f^*(t/2)g^*(t/2)\} \\ &=& \sup_{s>0}\{(2s)^{\frac{1}{p}}f^*(s)g^*(s)\} \\ &=& 2^{\frac{1}{p}}\sup_{s>0}\left\{s^{\frac{1}{p}\left( \frac{1}{\theta_0}+\frac{1}{\theta_1} \right)}f^*(s)g^*(s)\right\} \\ &\le& 2^{\frac{1}{p}}\sup_{s>0}\{s^{\frac{1}{\theta_0p}}f^*(s)\}\sup_{s>0}\{s^{\frac{1}{\theta_1p}}g^*(s)\} \\ &=& 2^{\frac{1}{p}}\|f\|_{L^{\theta_0p,\infty}(\Omega:X)}\|g\|_{L^{\theta_1p,\infty}(\Omega:X)} \end{eqnarray*}

となります。これで証明完了……のはず？？