英語の勉強 - SUSHITEMPLEのブログ

ひよこてんぷらです。自分用の英語勉強ページです。「数学のための英語教本」に書かれていることのうち、自分が使えそうだと思ったことをコメントをつけながら載せておきます。

基礎的な知識

☆ Theorem 1.1, Chapter 1.2, equation (1.3)などは番号付きのときは冠詞theを付けないらしい。難しい……

☆ 定理や公式はtheをつける。一方でtheoryは無冠詞！！なんで！？(theoryはその一部もtheoryなので不可算らしい)

例1: the Schwartz inequality, the mean value theorem, the Bolzano-Wierstrass theorem

例2: Galois theory, probability theory

☆ 序数はtheらしい。最上級～estにはtheを付けるというのは高校で習った気がするけど、存在が分からない、あるいは存在しないときはaになるらしい。ムズ……

例1: The first and second derivatives of a function $f$

例2: $(0,1)$ has neither a largest nor a smallest number.

☆ 誤解の恐れがないときは冠詞の省略が可能である。

例: the supremum and infimun

☆ regard, obtain, have, yieldなどは後ろにthatを付けられないらしい……マジか！！

例: By Lemma 1.1, we have $x=1$ .

語彙

for that reason = for this reason = thus = as a result of this = in this way = consequently

☞ ゆえに

in other words = that is = i.e.

☞ すなわち

similarly = in a similar fashion = in a similar manner

☞ 同様にして

in fact = to be more precise

☞ 実際に

In consrast to ～

☞ ～と対照的に

Summarizing,

☞ 要するに

Technically,

☞ (証明などにおける)技術面では

Conversely,

☞ (必要十分での証明で、)逆に

ensure the existence of ～

☞ ～の存在を保証する

We begin with ～

☞ まず～から始める

unless explicitly stated otherwise

☞ 特に断らない限り

This completes the proof.

☞ 証明終わり

We have the desired result.

☞ 所望の結果を得る

～, so that … = ～, and therefore …

☞ すなわち…

so that = in order that = for the purpose of

☞ そのために

☆ 前にカンマがあるかないかで意味が異なってくる。ややこしいな……

もうちょっと具体的な語彙

by induction on $n$

☞ $n$ に関する帰納法により

Using this result,

☞ この結果を用いれば

Letting $\varepsilon \to +0$ in (1.1),

☞ (1.1)で $\varepsilon \to +0$ とすれば

Reversing the roles of $x$ and $y$ ,

☞ $x$ と $y$ を逆にして考えれば

Given $\varepsilon \gt 0$ ,

☞ $\varepsilon \gt 0$ が与えられたとき(慣用表現)

Theorem 1.1 shows that ～

☞ 定理1.1から～が分かる

Theorems 1.1 and 1.2 together show that ～

☞ 定理1.1と1.2から～が分かる

continuous on $[a,b]$

☞ $[a,b]$ 上で連続

consinuous at $x=a$

☞ $x=a$ で連続

there is some $x$ in $[a,b]$

☞ $[a,b]$ 内にある点 $x$ が存在して

every point of $[a,b]$

☞ $[a,b]$ のどの点も

☆ 前置詞on, at, in, ofの使い分け。よくわからない……とりあえずカタチで覚えてしまえ。

～, which is a contradiction.

☞ ～は矛盾である

This contradicts ～

☞ これは～と矛盾する

This is a contradiction.

☞ これは矛盾である

☆ 背理法で使えそうな表現たち。

the circle of radius $1$ centered at the origin

☞ 半径 $1$ の原点を中心とする円

a polynomial in $\lambda$ of degree $n$

☞ $\lambda$ の $n$ 次多項式

The matrix has rank $2$ .

☞ その行列は階数 $2$ である

The circle has diameter $R$ . = The diameter of the circle is $R$ .

☞ その円の直径は $R$ である

☆ of+名詞+値やhave+名詞+値という公式だ。

balls of radii at most $\delta$ with centers in $A$

☞ 半径が $\delta$ 以下で $A$ 内に中心を持つような球

☆ radiusの複数形がradii！？そんなの知らんよ！！って思ったけど確かrhombusの複数形はrhombiだしまあそうか……

$x$ is any number with $0 \le x \le 1$

$x$ is any number satisfying $0 \le x \le 1$

$x$ is any number that satisfies $0 \le x \le 1$

☆ どれも同じ表現。最後のは関係代名詞だが、anyがあるとwhichじゃなくてthatらしい。よくわからない……

例文など

The difficulty will be overcome by using the following notions.

☞ 次の概念を使えばこの問題は解決できる

This is basically what Theorem 1.1 says.

☞ これが本来定理1.1が述べていることである

The same reasoning as in Theorem 1.1 leads to Theorem 1.2.

☞ 定理1.1と同様の手法で定理1.2を得る

Lemma 1.1, which we proved in this section, is crucial for the proof of Theorem 2.1 in the next section.

☞ この章で補題1.1を証明したが、これは次の章の定理2.1の証明において重要である

Let $N$ be an integer greater than $1$ .

☞ $N$ を $1$ より大きい整数とする

Let $S$ denote the set of all even numbers.

☞ $S$ を偶数全体の集合とする

The integers are denoted by $\mathbb{Z}$ .

☞ 整数全体の集合は $\mathbb{Z}$ で表される

Let $\mathrm{Res}(f,a)$ denote the residue of the function $f(z)$ at $a$ .

☞ 関数 $f(z)$ の $a$ における留数を $\mathrm{Res}(f,a)$ と表す

Taking the infimum over $j \ge 1$ in (1.1) yields (1.2).

☞ (1.1)で $j \ge 1$ の下限をとり、(1.2)を得る

Squaring a positive number less than $1$ yields a smaller number.

☞ $1$ より小さい数を二乗すればさらに小さくなる

Taking the $n$ th derivative in both sides yields ～.

☞ 両辺の $n$ 階微分を考えれば、～を得る

In what follows, $v$ will be an eigenvector of $A$ corresponding to $\lambda$ .

☞ これ以降、 $v$ は行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に対応する固有vectorとする

This function $f$ does satisfy the conclusion of Theorem 1.1, even though $f$ is not continuous on $[0,1]$ .

☞ この関数 $f$ は $[0,1]$ 上連続でないにもかかわらず、定理1.1の結論が成り立つ

The solution of equation (1.1) is given by $x=1$ .

☞ 方程式(1.1)の解は $x=1$ である

a solution of equation (1.1)

☞ 方程式(1.1)の解

☆ 下の場合は解は1つとは限らない。さらに、初めて言及された場合である。

The equation $f(x)=0$ has a solution which is positive.

☞ 方程式 $f(x)=0$ は正の解を持つ

The equation $f(x)=0$ has a unique solution, which is positive.

☞ 方程式 $f(x)=0$ はただ一つの解を持ち、その解は正である

☆ 上は正でない解も持つかもしれない。コンマがあるのとないので用法が異なる。確かに高校でやったような気がするな……

$\mathbb{R}$ is the set of real numbers.

$A$ is a set of real numbers.

☆ 上は実数全体の集合 $\mathbb{R}$ に対し、下は実数の集合だが全体とは限らない。したがって冠詞はaとしている。

We devide the sum into two parts: $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n$ .

☆ devide ～ into …で～を…に分ける。

The approximation $\sqrt{1+x} \approx 1+x/2$ is valid for $|x|$ sufficiently small.

☆ for ～は～に対してという感じ。仮定のニュアンスにもなる。

The conclusion fails to hold.

☞ 結論は成り立たない

The conclusion may fail to hold.

☞ 結論は必ずしも成り立たない

If continuity fails to hold at a single point, then the conclusions may fail.

☞ 1点でも不連続点があれば、結論は成り立つとは限らない

☆ fail to holdで成り立たないを意味するらしい。

Let $A$ be a $2$ by $2$ matrix.

Let $A$ be the $2 \times 2$ matrix

\begin{equation} A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right). \end{equation}

☆ どちらも $2 \times 2$ 行列の導入だが、上は具体的な形が与えられていないので冠詞aを付け、下はtheである。上の場合も一度導入した以降同じ行列 $A$ を取り扱う場合はtheをつける。難しい……

A $C^1$ function is a differenciable function whose derivative is continuous.

A $C^1$ function is a differenciable function the derivative of which is continuous.

☆ 同じ意味らしい。よくわからない。

Let $f$ be a continuous function defined on $(0,\infty)$ .

☞ $f$ を $(0,\infty)$ 上で定義された関数とする

The $\delta$ -neighbourhood of a set $A$ is defined to be the set of points within distance $\delta$ of $A$ .

☞ 集合 $A$ の $\delta$ 近傍は、 $A$ からの距離が $\delta$ 以内であるような点の集合として定義される

We define the diameter $|A|$ of a non-empty subset $A$ of $\mathbb{R}^n$ as the greatest distance between any pair of points in $A$ .

☞ $\mathbb{R}^n$ の空でない部分集合 $A$ の直径 $|A|$ を、 $A$ に属する2点の最大の距離と定義する

Define the function $f$ by setting $f(x)=x^2+1$ .

☆ be defined to be ～や We define ～ as …, Define ～ by setting …などで定義ができる。名詞の後のdefinedは過去分詞の形容詞的用法……という言葉を覚えても仕方ないので例文を覚えよう。

A series $\sum a_n$ is said to be absolutely convergent if $\sum |a_n|$ converges.

☆be said to be ～ if …で用語の定義ができるらしい！！

The empty set is written as $\varnothing$ .

☞ 空集合は $\varnothing$ と書かれる

The set $A^c$ is termed the complement of $A$ .

☞ 集合 $A^c$ は $A$ の補集合と呼ばれる

☆ be written asやbe termedで書かれる、呼ばれるなど。

The integers are denoted by $\mathbb{Z}$ and the rational numbers by $\mathbb{Q}$ .

☆ 後ろのare denotedは省略されている。こういうのもアリなのか……

A function $f:X \to Y$ is called an injection if $f(x) \neq f(y)$ whenever $x \neq y$ .

☞ 関数 $f:X \to Y$ が単射であるとは、 $x \neq y$ ならば $f(x) \neq f(y)$ となることである

☆ 定義の場合の冠詞はaらしい。whenever(いつでも)という表現は使ってこなかったので覚えておこう……

an arbitrary collection of sets $\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$

☞ 任意の集合族 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$

an open set contained in $A$ = an open set that is contained in $A$

☞ $A$ に含まれる開集合

any collection of open sets which covers $A$ (i.e. with union containing $A$ )

☞ $A$ を覆う(すなわち和集合が $A$ を含む)開集合の任意の族

☆ with union containing $A$ = whose union contains $A$ らしい。むず……

In this case, $A$ equals the interior of $U$ , and therefore $A$ is open.

☞ この場合は $A$ は $U$ の内部であり、したがって開集合である

Absolute convergence is therefore a stronger property than ordinary convergence.

☞ ゆえに、絶対収束は普通の収束より強い性質である

☆ Thereforeって文頭にしか使ってこなかったけど、and thereforeやbe thereforeという使い方もあるのか……

If $e$ and $e'$ were two identities

☞ もし $e$ と $e'$ が2つの単位元だとすると

☆ 仮定法のwere。そういえば高校でやった気がするな……

We cannnot choose $x=1$ , nor can we choose $0 \le x \lt 1$ .

☞ $x=1$ とできないし、 $0 \le x \lt 1$ ともできない。

☆ norの後はwe canじゃなくてcan weらしい。難しい……

Without $n$ independent eigenvectors = If $A$ does not have $n$ independent eigenvectors

☞ もし(行列 $A$ に対して) $n$ 個の線形独立な固有vectorがなければ

☆ withoutで仮定を表すこともある。なるほど……

Addition and scalar multiplication are defined in the usual manner, so that $x+y=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)$ and $\lambda x =(\lambda x_1,\ldots , \lambda x_n)$ , where $\lambda$ is a real scalar.

☆ in the usual mannerは通常と同じように、so thatはつまり、whereはここでを意味する感じらしい。なお、in the usual mannerにおいて、ここでの「普通」は当たり前なことなので既知として冠詞はtheになる。難しいな……

Taking the limit as $n \to \infty$ and using (1.1) gives the desired result.

☞ $n \to \infty$ の極限を取り(1.1)を用いれば、所望の結果を得る

☆ andがあるが、結果を得るにはどちらの操作も必要なので単数扱い、すなわちgiveではなくgivesらしい。難しすぎでしょ……

とりあえずまずはこれくらいを理解しよう……