Rademacher関数系とKhintchineの不等式

こんにちは。ひよこてんぷらです。今日はRademacher関数系の超基本的な性質を見たあと、Khintchineの不等式を証明したいと思います。

さて、まずはRademacher関数系を定義します。各 に対して関数

\begin{equation} r_j:[0,1] \to \{-1,1\} , \quad r_j(t)=\mathrm{sig n}\{\sin (2^j\pi t)\} \end{equation}

を定義し、この関数系 をRademacher関数系と呼びます。定義に現れる とは符号を対応させる関数です。すなわち中身である が正なら を返し、負なら を返します。もちろん が になることもありますが、高々有限個の点なので測度ゼロであり、これは測度論的に無視します。

さて、この関数系のイメージですが、例えば なら普通の であり、 周期分まで動きます。つまり符号だけみると では正で、 だと負です。 が増えれば関数がどんどんうねうねと波を打つわけですが、符号しかみないので、関数はどんどん と の破線のようになります。よろしいでしょうか。

さて、ではさっそく基本性質を見ていきます。次を示しましょう。

(i) 任意の に対して とし、また

\begin{equation} I_j(s_j)=\{t \in [0,1] \, | \, r_j(t)=s_j\} \end{equation}

とおくとき、

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=\prod_{j=1}^N \left| I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

が成立します。すなわちRademacher関数系 は独立です。

(ii) 任意の に対して、適当な実数値関数

\begin{equation} \varphi_j:\{-1,1\} \to \mathbb{R} \end{equation}

からなる関数列 を考えるとき、

\begin{equation} \prod_{j=1}^N\int_0^1\varphi_j( r_1(t) )dt=\int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt \end{equation}

が成立します。

(iii) 任意の に対して適当な整数列 をとるとき、

\begin{equation} \int_0^1\prod_{j=1}^N \{r_j(t)\}^{k_j}dt=\left\{\begin{array}{cc} 1 & k_1, \ldots , k_N : \text{even number} \\ 0 & \text{otherwise} \end{array}\right. \end{equation}

が成立します。特に

\begin{equation} \int_0^1r_j(t)r_k(t)dt=\left\{\begin{array}{cc} 1 & j=k \\ 0 & j \neq k \end{array}\right. \end{equation}

です。

さて、では(i)を示しましょう。各 は か のどちらかを取るということに注意しながら

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

を確認しましょう。これは から順番に考えていけば分かりやすいです。まず に対して となるような区間の長さを考えるわけですが、これは ですね。 はただの なので、初めに注意したように で正、 で負となるからです。

この の値を固定したうえで を考えます。例えば なら の区間上しか考えないわけです。そして のときは周期 なのでうねうねが増えて、符号は で正、 で負、また で正、 で負となるわけです。このうち半分は により考えないわけですから、 における符号を後から考えればこの区間の長さは のどちらでも となります。

そんなわけで、各 の値を考慮して共通部分の区間を考えるごとに長さは半分になっていくので、 回まで考えれば

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

が分かるわけです。そして今の考察からひとつの のみに関して考えれば、これはいつでも区間の長さは の値に関わらず ですから、これの積を考えて

\begin{equation}\prod_{j=1}^N \left| I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

を得ます。ゆえに(i)が示されました！！

では(ii)をみましょう。これは次のように計算しましょう。まずは は で正、 で負なので、

\begin{equation}\begin{split} &\prod_{j=1}^N\int_0^1\varphi_j( r_1(t) )dt \\ &=\prod_{j=1}^N\left\{\int_0^{1/2} \varphi_j( 1 )dt+\int_{1/2}^1\varphi_j( -1 )dt\right\} \\ &= \prod_{j=1}^N\left\{ \frac{1}{2}\varphi_j( 1 )+\frac{1}{2}\varphi_j( -1 ) \right\} \\ &=2^{-N}\left\{ \varphi_1( 1 )+\varphi_1( -1 ) \right\} \cdots \left\{ \varphi_N( 1 )+\varphi_N( -1 ) \right\} \end{split}\end{equation}

が分かります。さて、最後の式に対してすべての積を展開するわけですが、この展開において各関数 が から まですべて一回ずつかけられ、またその引数は もしくは のすべての通りを1つずつ網羅していきます。すなわち

\begin{equation}\begin{split} &\left\{ \varphi_1( 1 )+\varphi_1( -1 ) \right\} \cdots \left\{ \varphi_N( 1 )+\varphi_N( -1 ) \right\} \\ &=2^{-N}\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N } \varphi_1(s_1) \cdots \varphi_N(s_N) \end{split}\end{equation}

となります。さて、一方で次の積分

\begin{equation} \int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt \end{equation}

に対してですが、(i)で示したことから

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

です。これの意味するところは、各 がそれぞれ決められた符号 になるような の区間の長さは ということです。上の積分をそれぞれの符号 が与えられる区間で分解してやりますと、これによって積分区間は直和分解できます。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} \int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt&=\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N }\int_{\bigcap_{j=1}^N I_j(s_j)} \prod_{j=1}^N \varphi_j ( s_j) dt \\ &=\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N }\varphi_1(s_1) \cdots \varphi_N(s_N) \int_{\bigcap_{j=1}^N I_j(s_j)}dt \\ &=2^{-N}\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N }\varphi_1(s_1) \cdots \varphi_N(s_N) \end{split}\end{equation}

となります。したがって両者は等しく

\begin{equation} \prod_{j=1}^N\int_0^1\varphi_j( r_1(t) )dt=\int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt \end{equation}

が示されました！！

では最後に(iii)をみましょう。これは(ii)における関数列 として を考えてやればOKです。そうすれば、

\begin{equation} \int_0^1 \prod_{j=1}^N \{r_j(t)\}^{k_j} dt=\prod_{j=1}^N\int_0^1\{r_1(t)\}^{k_j}dt  \end{equation}

を得るわけですが、 より が偶数ならこれらは消えます。しかし奇数の場合は が1つだけ残り、これは積分すると になってしまうので、他がどうであれ になります。ゆえにすべて偶数なら積分値は  で、他は です。ゆえに証明終了です！！

さて、ここまででRademacher関数系 の基本性質をみてきました。今回の記事の目的は、これらを使って次のKhintchineの不等式を示すことです！！Khintchineの不等式とは、次の不等式です。

任意の と複素数列 に対して、 にのみ依存する定数 が存在して次の不等式

\begin{equation} C_p^{-1}\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le \left\| \sum_{j=1}^Na_jr_j(\cdot) \right\|_{L^p(0,1)} \le C_p\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

が成立します。

以下、簡単のため

\begin{equation} A_N =\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \right)^{\frac{1}{2}} , \quad S_N(t)=\sum_{j=1}^N a_jr_j(t) \end{equation}

とおき、

\begin{equation} C_p^{-1}A_N \le \|S_N\|_{L^p(0,1)} \le C_p A_N \end{equation}

をみていきましょう。初めに和の展開を確認しておきます。まずは

\begin{equation}\begin{split} \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2&=\left(\sum_{j=1}^Na_jr_j(t)\right)\left(\sum_{j=1}^N\overline{a_j}r_j(t)\right) \\ &= \sum_{j,k=1}^N a_j\overline{a_k}r_j(t)r_k(t) \end{split}\end{equation}

となるわけですが、 のとき なので、これだけ特別扱いして

\begin{equation}\begin{split} \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2 &=\sum_{j=1}^N|a_j|^2+\sum_{j \neq k}^N a_j\overline{a_k}r_j(t)r_k(t) \\ &= \sum_{j=1}^N|a_j|^2+\sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \end{split}\end{equation}

としておきましょう。最後の等式は対称性です。 個の和のうち対角線部分を除いたので、残りを対称的にして加えています。こうすることで、右辺の和はすべて実数の和となっていることに注意しましょう。さて、この表示から  の場合は(iii)の直交性から

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^2(0,1)} &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2dt \right)^{\frac{1}{2}} \\ &=\left( \int_0^1\sum_{j=1}^N |a_j|^2 dt \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= A_N \end{split}\end{equation}

となり、一致することが分かります。

では右辺を証明していきましょう。まず とし、 と表される場合を考えます。このとき normの三角不等式から

\begin{equation}\begin{split} &\|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \\ &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{4m}dt \right)^{\frac{1}{2m}} \\ &= \left\{ \int_0^1 \left( \sum_{j=1}^N|a_j|^2+\sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t)\right)^{2m}dt \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &\le \left\{ \int_0^1\left(\sum_{j=1}^N|a_j|^2\right)^{2m}dt \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &+\left\{ \int_0^1 \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right)^{2m} \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &=A_N^2+\left\{ \int_0^1 \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right)^{2m} \right\}^{\frac{1}{2m}} \end{split}\end{equation}

となります。さて、第2項がかなりややこしいですが、これは多項展開を用いて

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1 \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right)^{2m}dt \\ &=\int_0^1\sum_{|\alpha|=2m} \frac{(2m)!}{\alpha !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right\}^{\alpha_{jk}}dt \end{split}\end{equation}

と表せます。この多重指数 は に対して なる成分をもつ 個の非負整数の組です。めんどいですね。さて、ここで に注意すれば、(iii)より右辺は多重指数が全て偶数でないと積分が消えてしまいます。したがって多重指数は の形のものだけを考えましょう。このとき

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1\sum_{|\alpha|=2m} \frac{(2m)!}{\alpha !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right\}^{\alpha_{jk}}dt \\ &=\int_0^1\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right\}^{2\beta_{jk}}dt \\&=\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}}\int_0^1\{r_j(t)r_k(t)\}^{2\beta_{jk}}dt \right\} \\ &=\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}} \end{split}\end{equation}

が分かります。最後の積分は となることを用いています。すなわち

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \le A_N^2+\left\{ \sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}} \right\}^{\frac{1}{2m}} \end{split}\end{equation}

となりますね。さて、ここで および多項展開より

\begin{equation} \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} 4|a_j|^2|a_k|^2 \right)^m=\sum_{|\beta|=m}\frac{m!}{\beta !} \prod_{1 \le k \lt j \le N} ( 2|a_j||a_k| )^{2\beta_{jk}} \end{equation}

であることを用いて整理しましょう。係数に関しては、 より

\begin{equation}\begin{split} 2^m\beta ! &=\prod_{1 \le k \lt j \le N} 2^{\beta_{jk}}\beta_{jk}! \\ &=\prod_{1 \le k \lt j \le N} 2\beta_{jk} \times 2(\beta_{jk}-1) \times 2(\beta_{jk}-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 \\ &\le \prod_{1 \le k \lt j \le N} 2\beta_{jk} \times (2\beta_{jk}-1) \times (2\beta_{jk}-2) \times \cdots \times 4 \times 3 \times 2 \\ &=\prod_{1 \le k \lt j \le N}(2\beta_{jk})! \\ &=(2\beta)!\end{split}\end{equation}

とできます。したがって

\begin{equation}\begin{split} &\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}} \\ &\le \sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{2^m \beta !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (2|a_j||a_k|)^{2\beta_{jk}} \\ &\le \frac{(2m)!}{2^mm!}\sum_{|\beta|=m} \frac{m!}{\beta !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (2|a_j||a_k|)^{2\beta_{jk}} \\ &\le \frac{(2m)!}{2^mm!}\left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} 4|a_j|^2|a_k|^2 \right)^m \end{split}\end{equation}

ですが、

\begin{equation}\begin{split} \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} 4|a_j|^2|a_k|^2 \right)^m &=4^m\left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} |a_j|^2|a_k|^2 \right)^m \\ &\le 4^m\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \sum_{k=1}^N |a_k|^2 \right)^m \\ &=4^mA_N^{4m} \end{split}\end{equation}

と評価できるため、結局

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 &\le A_N^2+\left\{ \frac{(2m)!}{2^mm!} \times 4^mA_N^{4m} \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &=\left\{ 1+\left(\frac{2^m(2m)!}{m!}\right)^{\frac{1}{2m}} \right\}A_N^2 \end{split}\end{equation}

が分かります。なお、

\begin{equation}\begin{split} (2m)!&=2m(2m-1) \cdots (m+1) \times m!\\ &\le (2m) \cdots (2m) \times m! \\ &=(2m)^mm! \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \le (1+2m^{\frac{1}{2}})A_N^2 \end{equation}

となることに注意しておきます。

さて、次に一般の の場合を考えましょう。このときは適当な を用いて とできることに注意しましょう。このとき なので、 とすればこのHölder共役 と合わせてHölderの不等式が使えます。すなわち

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^p(0,1)} &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^pdt \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\le \left\{ \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{pq}dt \right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_0^1dt\right)^{\frac{1}{q'}} \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{pq}dt \right)^{\frac{1}{pq}} \\ &=\left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{4m}dt \right)^{\frac{1}{4m}} \\ &=\|S_N\|_{L^{4m}(0,1)} \\ &\le (1+2m^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}A_N \\ &\le \left\{1+2\left( \frac{1}{4}p+1 \right)^{\frac{1}{2}}\right\}^{\frac{1}{2}}A_N \end{split}\end{equation}

となり、右辺は完全に証明されました！！

さて、では左辺も確認していきましょう。まずは のときを考えましょう。 での関係を初めにみていましたから、このときは より再び でHölderです。すなわち

\begin{equation}\begin{split} A_N &=\|S_N\|_{L^2(0,1)} \\ &=\left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2dt \right)^{\frac{1}{2}} \\ &\le \left\{ \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{2q}dt \right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_0^1dt\right)^{\frac{1}{q'}} \right\}^{\frac{1}{2}} \\ &=\left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{2q}dt \right)^{\frac{1}{2q}} \\ &=\|S_N\|_{L^p(0,1)} \end{split}\end{equation}

でOKです。では最後に のときを示しましょう。これはちょっと面白いです。Hölder指数は

\begin{equation} q=\frac{1}{2}(4-p) , \quad q'=\frac{4-p}{2-p} \end{equation}

とします。これらは確かに かつ を満たしますね。さて、このとき

\begin{equation}\begin{split} A_N^2 &=\|S_N\|_{L^2(0,1)}^2 \\ &= \int_0^1|S_N(t)|^2dt \\ &=\int_0^1|S_N(t)|^{\frac{2p}{4-p}}|S_N(t)|^{\frac{4(2-p)}{4-p}}dt \\ &\le \left( \int_0^1 |S_N(t)|^{\frac{2p}{4-p}q}dt \right)^{\frac{1}{q}}\left( \int_0^1 |S_N(t)|^{\frac{4(2-p)}{4-p}q'}dt \right)^{\frac{1}{q'}} \\ &= \left( \int_0^1 |S_N(t)|^pdt \right)^{\frac{2}{4-p}}\left( \int_0^1 |S_N(t)|^4dt \right)^{\frac{2-p}{4-p}} \end{split}\end{equation}

となるわけですが、先ほどの証明で任意の に対して

\begin{equation} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \le (1+2m^{\frac{1}{2}})A_N^2 \end{equation}

だったので、 とすれば

\begin{equation} \left( \int_0^1 |S_N(t)|^4dt \right)^{\frac{2-p}{4-p}} =\|S_N\|_{L^4(0,1)}^{\frac{4(2-p)}{4-p}} \le 3^{\frac{2(2-p)}{4-p}}A_N^{\frac{4(2-p)}{4-p}} \end{equation}

が分かります。したがって

\begin{equation} A_N^2 \le \left( \int_0^1 |S_N(t)|^pdt \right)^{\frac{2}{4-p}} \times  3^{\frac{2(2-p)}{4-p}}A_N^{\frac{4(2-p)}{4-p}} \end{equation}

ですが、これを整理すると

\begin{equation} 2-\frac{4(2-p)}{4-p}=\frac{2p}{4-p} \end{equation}

より

\begin{equation} A_N^{\frac{2p}{4-p}} \le 3^{\frac{2(2-p)}{4-p}}\left( \int_0^1 |S_N(t)|^pdt \right)^{\frac{2}{4-p}} \end{equation}

すなわち

\begin{equation} A_N \le 3^{\frac{2-p}{p}}\|S_N\|_{L^p(0,1)} \end{equation}

が得られます。これで証明完了です！！なお、証明は「The Rademacher System in Function Spaces」を参考にしました。ここでは実数列に関する証明だったので、少し手を加えて複素数列に関しての証明にしました。

さて、今回示したKhintchineの不等式

\begin{equation} C_p^{-1}\left( \sum_{j=1}^N a_j^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le \left\| \sum_{j=1}^N a_jr_j(\cdot) \right\|_{L^p(0,1)} \le C_p\left( \sum_{j=1}^N a_j^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

ですが、これはけっこう定義がR boundednessに似ていますね。R boundednessは最大正則性の理論に出てくる極めて重要な(でも意味不明な)概念です。R boundednessは作用素の族に対してRademacher関数系を用いて定義される有界性ですが、非常に複雑な関係です。Hilbert空間ならば一様有界性と同値ですが、一般には非常に示すのが難しいです。

とはいえ、今回は最大正則性との関連を見出すために扱ったわけではなく、少し実解析的な主張の証明に使いたかったので準備した次第です。次回はこの不等式を用いて少し面白いことを示そうと思います。それではまたよろしくお願いします。