斉次型作用素論の勉強 - SUSHITEMPLEのブログ

どうもこんにちは。ひよこてんぷらです。

今回は現在arXivにて公開されている次の論文「Free Boundary Problems via Da Prato-Grisvard Theory」(なんと70ページ！！)の2章を読んでいきたいと思います。内容としては、通常の作用素から斉次型空間に対応する斉次型作用素を定義し、いろいろな性質を見ていくというやつです。

初めに仮定を設定しておきます。

(仮定 2.1)

(i) $X$ をBanach空間とし、線形作用素

\begin{equation} A:D(A) \to X \end{equation}

を考える。 $-A$ は $X$ 上の有界解析 $C_0$ 半群 $\{e^{-tA}\}_{t \ge 0}$ の生成作用素とする。

(ii) $A$ は単射であるとする。すなわち任意の $x \in D(A)$ に対して、 $Ax=0$ ならば $x=0$ とする。

(iii) $D(A) \subset Y$ であって、 $\|A \cdot\|_X$ と $\|\cdot\|_Y$ が $D(A)$ 上同値となるようなnorm空間 $Y$ が存在する。すなわち任意の $x \in D(A)$ に対して

\begin{equation} C^{-1}\|Ax\|_X \le \|x\|_Y \le C\|Ax\|_X \end{equation}

とする。

例えばこの仮定を満たす例として、次のLaplacian

\begin{equation} -\Delta : H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \to L^p(\mathbb{R}^n) \end{equation}

に対して $Y=\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ が考えられます。これについては後で詳しく見るとして、大体のイメージはこのような斉次型空間に対応する理論の構築だと思ってください。

では斉次型作用素を定義しましょう。定義自体はそこまで難しくはないです。まず定義域を $D(\dot{A})=\overline{D(A)}^{\|\cdot\|_Y}$ とします。つまり $Y$ での閉包を取っているということですね。仮定(iii)の $D(A) \subset Y$ に注意すれば、この関係から

\begin{equation} D(A) \subset D(\dot{A}) \subset Y \end{equation}

が分かります。作用素の定義はいわゆる有界作用素の拡張と同じようにします。すなわち、定義域の定義から各 $y \in D(\dot{A})$ を点列 $\{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A)$ で $Y$ の位相で近似できるため、

\begin{equation} \dot{A}y=\lim_{j \to \infty}Ax_j \quad \text{in } X \end{equation}

として定義できます。さて、定義域の包含関係と $\dot{A}$ の定義のされ方から、 $A \subset \dot{A}$ が分かります。つまり、 $y \in D(A)$ に対しては点列で近似する必要はなく $\dot{A}y=Ay$ ということです。このことは後でよく使いますから注意しましょう。

(注意 2.3) このように定義した作用素 $\dot{A}$ はwell-definedです。つまり、近似列によらず極限が存在し、 $\dot{A}y \in X$ です。実際、仮定(iii)のnormの同値性から近似列 $\{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A)$ に対して

\begin{equation} \|Ax_j-Ax_k\|_X \le C\|x_j-x_k\|_Y \to 0 \quad (j,k \to \infty) \end{equation}

ですから $\{Ax_j\}_{j=1}^{\infty} \subset X$ はCauchy列であり、 $X$ の完備性から極限が存在します。では一意性に関しては、 $y$ に収束する2つの近似列

\begin{equation} \{x_j\}_{j=1}^{\infty} , \{x'_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A) \end{equation}

を取りましょう。いま示したことから極限は存在するので、

\begin{equation} \xi=\lim_{j \to \infty}Ax_j \quad \text{in } X , \quad \xi'=\lim_{j \to \infty}Ax'_j \quad \text{in } X \end{equation}

とします。すると再びnormの同値性から

\begin{equation}\begin{split} &\|\xi-\xi'\|_X \\ &\le \|\xi-Ax_j\|_X+\|Ax_j-Ax'_j\|_X+\|Ax'_j-\xi'\|_X \\ &\le \|\xi-Ax_j\|_X+C\|x_j-x'_j\|_Y+\|Ax'_j-\xi'\|_X \\ &\le \|\xi-Ax_j\|_X+C\|x_j-y\|_Y+C\|y-x'_j\|_Y+\|Ax'_j-\xi'\|_X \\ &\to 0 \quad (j \to \infty) \end{split}\end{equation}

が成立します。ゆえに一意性も成立し、この極限を $\dot{A}y$ と書くと $\dot{A}y \in X$ です。

さて、この定義域 $D(\dot{A})$ の空間には斉次型のnorm $\|\cdot\|_{D(\dot{A})}=\|\dot{A} \cdot\|_X$ を導入することでnorm空間になります。normとなるためには $y \in D(\dot{A})$ に対して $\|y\|_{D(\dot{A})}=0$ ならば $y=0$ ということを示す必要がありますが、これは次の補題より従います。

(補題 2.4) $\dot{A}$ は単射である。すなわち $\dot{A}y=0$ ならば $y=0$ である。

実際、近似列 $\{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A)$ をとれば、normの同値性および連続性から

\begin{equation}\begin{split} 0 &=\|\dot{A}y\|_X=\left\| \lim_{j \to \infty}Ax_j \right\|_X =\lim_{j \to \infty}\|Ax_j\|_X \\ &\ge C\lim_{j \to \infty}\|x_j\|_Y=C\left\| \lim_{j \to \infty} x_j\right\|_Y=C\|y\|_Y \end{split}\end{equation}

となり、 $y=0$ が従いますね。

さて、もし $\|y\|_{D(\dot{A})}=0$ ならば $\|\dot{A} y\|_X=0$ であり、 $X$ は既にnormであることが分かっているので $\dot{A}y=0$ です。ゆえに $y=0$ となり $D(\dot{A})$ は $\|\cdot\|_{D(\dot{A})}$ をnormに持つということが分かりました。

さて、ここまでで基本的な定式化を行いましたが、 $\dot{A}$ が定義できたということで、さらに新たな仮定を課します。

(仮定 2.5)

(iv) $D(\dot{A}) \cap X=D(A)$ とする。

さて、これで準備は完了です。ここで先ほど考えていた具体例を検討しましょう。すなわち、Laplacian

\begin{equation} -\Delta : H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \to L^p(\mathbb{R}^n) \end{equation}

に対して $Y=\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ が具体例となっていることを確かめましょう。なお、 $1 \lt p \lt \infty$ とし、多項式の商空間上で考えているとします。まずこれが半群 $\{e^{t\Delta}\}_{t \ge 0}$ を生成するという話はよく知られているのでいいでしょう。normの同値性は明らかです。というのも斉次Sobolev空間 $\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ のnormは

\begin{equation} \|\cdot\|_{\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)}=\|(-\Delta) \cdot\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \end{equation}

で与えられるからです。また、 $H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \subset \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ なので、仮定(iii)も大丈夫ですね。これと $\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ が多項式の商空間上ではnorm空間となることから仮定(ii)の単射性も満たされます。すなわち $f \in H^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ が $-\Delta f=0$ を満たすならば $f=0$ です。そして仮定(iv)も

\begin{equation} D(-\dot{\Delta})=\overline{H^{2,p}(\mathbb{R}^n)}^{\|\cdot\|_{\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)}} \end{equation}

より $H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \subset D(-\dot{\Delta}) \subset \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)$ ですから、さらに $L^p(\mathbb{R}^n)$ との共通部分をとって

\begin{equation} H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n) \subset D(-\dot{\Delta}) \cap L^p(\mathbb{R}^n) \subset \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n) \end{equation}

を得ます。ここで

\begin{equation}\begin{split} H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n)&=H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \\ \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n) &= H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \end{split}\end{equation}

なので(下の等式は補間の関係より従います)

\begin{equation} D(-\dot{\Delta}) \cap L^p(\mathbb{R}^n)=H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \end{equation}

よりOKです。

というわけで、基本的にこの手の議論はこの具体例を強く意識した一般化となっていることに注意しましょう。ではこれらの仮定を認めたうえで、次の半群を定義しましょう。

$x \in X , \, y \in D(\dot{A}) , \, t \gt 0$ に対して次の拡張された半群

\begin{gather} e^{-tA}:X+D(\dot{A}) \to X+D(\dot{A}) \\ e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{gather}

を定義します。

さて、この定義では拡張された半群も同じ記号 $e^{-tA}$ で書いていますが、右辺の半群は通常の $X$ 上の半群です。なんでこんな定義なのか？ということですが、普通に半群として分配すれば $e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+e^{-tA}y$ なので、 $D(\dot{A})$ 上でどう定義するのが適切かという問題になります。ここで、 $x \in X$ に対しては

\begin{equation} \int_0^te^{-sA}xds \in D(A) \quad \text{and} \quad -A\int_0^te^{-sA}xds=e^{-tA}x-x \end{equation}

が成立することに注意しましょう。実際、 $x \in D(A)$ に対しては

\begin{equation} -Ax=\lim_{h \to +0}\frac{1}{h}( e^{-hA}x-x) \quad \text{in } X \end{equation}

と定義されているので、

\begin{equation}\begin{split} & e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( e^{-hA}\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &= e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( \int_0^te^{-(s+h)A}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &= e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( \int_h^{t+h}e^{-s'A}xds'-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &= e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( \int_t^{t+h}e^{-sA}xds-\int_0^he^{-sA}xds \right) \\ &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}(e^{-tA}x-e^{-sA}x)ds+\frac{1}{h}\int_0^h(e^{-sA}x-x)ds \end{split}\end{equation}

が成立します。あとは $\{e^{-tA}\}_{t \ge 0}$ が $C_0$ 半群であることに注意して

\begin{equation}\begin{split} & \left\|e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( e^{-hA}\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right)\right\|_X \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\|e^{-tA}x-e^{-sA}x\|_Xds+\frac{1}{h}\int_0^h\|e^{-sA}x-x\|_Xds \\ &\le \sup_{t \le s \le t+h}\|e^{-tA}x-e^{-sA}x\|_X+\sup_{0 \le s \le h}\|e^{-sA}x-x\|_X \\ &\to 0 \quad (h \to +0) \end{split}\end{equation}

すなわち

\begin{equation}\begin{split} &-A\int_0^te^{-sA}xds \\ &=\lim_{h \to +0}\frac{1}{h}\left( e^{-hA}\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &=e^{-tA}x-x \end{split}\end{equation}

ですね。さらに $x \in D(A)$ なら

\begin{equation} \int_0^t \|Ae^{-sA}x\|_X ds =\int_0^t \|e^{-sA}Ax\|_X ds \le C\int_0^t\|Ax\|_X \lt \infty \end{equation}

より

\begin{equation} e^{-tA}x-x =-\int_0^te^{-sA}Axds \end{equation}

なわけですので、 $y \in D(\dot{A})$ に対して

\begin{equation} e^{-tA}y =y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{equation}

と定義すればしっくりきますね。そういうわけで上の定義となっています。

(命題 2.6) 上で定義した拡張された半群はwell-definedである。また、 $e^{-tA}(x+y) \in D(\dot{A})$ であり

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

が成立する。

さて、well-definedとは何を示せばいいかというと、 $x+y$ の表示の仕方によらないということですね。すなわち $x_1+y_1=x_2+y_2$ なら $e^{-tA}(x_1+y_1)=e^{-tA}(x_2+y_2)$ を示しましょう。ここで仮定(iv)が効いてきます。実際、

\begin{equation} x_1-x_2=-y_1+y_2 \in X \cap D(\dot{A})=D(A) \end{equation}

が成立します。左辺が $X$ 右辺が $D(\dot{A})$ に属していることがそれぞれ言えるため、仮定(iv)より $D(A)$ に属していることが言えます。したがって

\begin{equation} \dot{A}(y_1-y_2)=A(y_1-y_2) \end{equation}

としてよいですね。さらに先に確認した関係から

\begin{equation} e^{-tA}(y_1-y_2)-(y_1-y_2) =-\int_0^te^{-sA}A(y_1-y_2)ds \end{equation}

なので、これも使います。さらに $x_1-x_2=-y_1+y_2$ にも注意して、

\begin{equation}\begin{split} &e^{-tA}(x_1+y_1) \\ &=e^{-tA}x_1+y_1-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_1 ds \\ &=e^{-tA}x_1+y_1-\int_0^te^{-sA}A(y_1-y_2)ds-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}x_1+y_1 +e^{-tA}(y_1-y_2)-(y_1-y_2)-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}x_1-e^{-tA}(x_1-x_2)+y_2-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}x_2+y_2-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}(x_2+y_2)\end{split}\end{equation}

が示されました！！なかなか式変形がややこしいので慎重に計算していきましょう。これでwell-definedなのはいいですね。次に $e^{-tA}(x+y) \in D(\dot{A})$ かつ

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

を見ましょう。まずは定義

\begin{equation} e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{equation}

をじっくり眺めます。解析半群の性質から $x \in X$ に対して $e^{-tA}x \in D(A) \subset D(\dot{A})$ なのはいいでしょう。また $\dot{A}$ の定義から $y \in D(\dot{A})$ に対して $\dot{A}y \in X$ なので、 $e^{-tA}\dot{A}y \in D(A)$ および

\begin{equation} \int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \in D(A) \subset D(\dot{A}) \end{equation}

が分かります。したがって $e^{-tA}(x+y) \in D(\dot{A})$ ですね。そしてこれに $\dot{A}$ を作用させると

\begin{equation}\begin{split} \dot{A}e^{-tA}(x+y) &=Ae^{-tA}x+\dot{A}y-A\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{split}\end{equation}

ですが、 $\dot{A}y \in X$ なので先に見たように普通の半群として

\begin{equation} e^{-tA}\dot{A}y-\dot{A}y =-A\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{equation}

が成立します。したがって

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

が成立します。

(注意 2.7) このように拡張した半群 $\{e^{-tA}\}_{t \ge 0}$ もまた、半群としての性質を満たします。すなわち、任意の $x \in X , \, y \in D(\dot{A}) , \, s,t \gt 0$ に対して

\begin{equation} e^{-(s+t)A}(x+y)=e^{-sA}e^{-tA}(x+y) \end{equation}

が成立します。さて、まず任意の $z \in D(\dot{A})$ に対して $e^{-sA}\dot{A}z=\dot{A}e^{-sA}z$ であることを確認しましょう。しかしこれはすぐに分かり、実際 $\dot{A}z \in X$ より普通の半群として

\begin{equation} e^{-sA}\dot{A}z-\dot{A}z =-A\int_0^te^{-s'A}\dot{A}zds' \end{equation}

なので、拡張された半群の定義から

\begin{equation}\begin{split} e^{-sA}\dot{A}z &=\dot{A}z-A\int_0^te^{-s'A}\dot{A}zds' \\ &=\dot{A}\left( z-\int_0^te^{-s'A}\dot{A}zds' \right) \\ &=\dot{A}e^{-sA}z \end{split}\end{equation}

となり従います。さて、後は命題 2.6を使えばOKです。実際、

\begin{equation}\begin{split} \dot{A}e^{-(s+t)A}(x+y) &=Ae^{-(s+t)A}x+e^{-(s+t)A}\dot{A}y \\ &=Ae^{-sA}e^{-tA}x+e^{-sA}e^{-tA}\dot{A}y \\ &=e^{-sA}(Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}) \\ &=e^{-sA}\dot{A}e^{-tA}(x+y) \end{split}\end{equation}

が成立しますね。途中で使っている半群の性質は普通の半群としての性質であることに注意しましょう。さてここで初めに示した性質から

\begin{equation} e^{-sA}\dot{A}e^{-tA}(x+y)=\dot{A}e^{-sA}e^{-tA}(x+y) \end{equation}

なので、これを代入すると

\begin{equation}\dot{A}\left(e^{-(s+t)A}(x+y)-e^{-sA}e^{-tA}(x+y) \right)=0 \end{equation}

となります。補題 2.4より $\dot{A}$ は単射なので、これより

\begin{equation}e^{-(s+t)A}(x+y)-e^{-sA}e^{-tA}(x+y) =0 \end{equation}

が従い、証明できました！！

(補題 2.8) $z \in X+D(\dot{A})$ が任意の $t \gt 0$ に対して $\dot{A}e^{-tA}z=0$ を満たすならば $z=0$ である。

さて、 $x \in X , \, y \in D(\dot{A})$ を用いて $z=x+y$ と表示しておきましょう。このとき $x=-y$ を示せばいいですね。まず補題 2.4より $\dot{A}$ は単射なので $\dot{A}e^{-tA}(x+y)=0$ より直ちに $e^{-tA}(x+y)=0$ が従います。そして半群の定義から

\begin{equation} e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds=0 \end{equation}

ですが、これより

\begin{equation} y=-e^{-tA}x+\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \in D(A) \end{equation}

が分かります。右辺が $D(A)$ に属するから $y \in D(A)$ が従うということですね。つまりこれは $y \in D(A)$ に対しても普通の半群としての性質が使えるということで、

\begin{equation} \int_0^te^{-sA}\dot{A}yds=\int_0^te^{-sA}Ayds=e^{-tA}y-y \end{equation}

とできるわけです。これを上に代入して

\begin{equation} y=-e^{-tA}x+e^{-tA}y-y \end{equation}

が得られますが、仮定(i)から $\{e^{-tA}\}_{t \ge 0}$ は $C_0$ 半群なので $t \to +0$ とすれば $y=-x$ が得られます。ゆえに証明終了です！！

さて、ここまでで斉次型作用素 $\dot{A}$ の基本的な性質を見てきました。次回は補間理論なども駆使しながら、より詳細な解析を行っていきたいと思います。よろしくお願いします。