Hardyの不等式

こんにちは。ひよこてんぷらです。今日はHardyの不等式をやりましょう。証明は変数変換で指数型にするのが主流だと思っていましたが、Wikipediaだともっとシンプルな変数変換だったのでそちらを参考にしました。ではやりましょう。

(Hardyの不等式) とする。このとき、norm空間 に値を取る関数 に対して

\begin{equation} \left\| t^{\beta -1}\int_0^t f(s)ds \right\|_{L^p((0,T):X)} \le \frac{1}{1-\beta-1/p}\|t^{\beta}f(t)\|_{L^p((0,T):X)} \end{equation}

が成立する。

さて、まずは変数変換 によって

\begin{equation} t^{\beta -1}\int_0^t f(s)ds=t^{\beta -1}\int_0^1 f(t \theta) td\theta=\int_0^1 t^{\beta}f(t \theta) d\theta \end{equation}

が得られますので、両辺の normを取れば

\begin{equation}\begin{split} \left\| t^{\beta -1}\int_0^t f(s)ds \right\|_{L^p((0,T):X)} &=\left\|\int_0^1 t^{\beta}f(t \theta) d\theta \right\|_{L^p((0,T):X)} \\ &\le \int_0^1\|t^{\beta}f(t \theta)\|_{L^p((0,T):X)}d\theta \end{split}\end{equation}

となります。ここで のときは再び変数変換 によって

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1\|t^{\beta}f(t \theta)\|_{L^p((0,T):X)}d\theta \\  &=\int_0^1 \left(\int_0^T \|t^{\beta}f(t \theta)\|_X^p dt\right)^{\frac{1}{p}} d\theta \\ &=\int_0^1 \left(\int_0^{\theta T} \|\theta^{-\beta} t'^{\beta}f(t')\|_X^p \theta^{-1} dt'\right)^{\frac{1}{p}} d\theta \\ &=\int_0^1 \theta^{-\beta-1/p} \left(\int_0^{\theta T} \| t^{\beta}f(t)\|_X^p dt\right)^{\frac{1}{p}} d\theta \\ &\le \int_0^1 \theta^{-\beta-1/p}d\theta \left(\int_0^T \| t^{\beta}f(t)\|_X^p dt\right)^{\frac{1}{p}} \\ &=\left[ \frac{\theta^{1-\beta-1/p}}{1-\beta-1/p} \right]_0^1\|t^{\beta}f(t)\|_{L^p((0,T):X)} \\ &=\frac{1}{1-\beta-1/p}\|t^{\beta}f(t)\|_{L^p((0,T):X)} \end{split}\end{equation}

が成立しますね。 の場合も同様にして

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1\|t^{\beta}f(t \theta)\|_{L^{\infty}((0,T):X)}d\theta \\ &=\int_0^1 \sup_{0 \le t \le T}\|t^{\beta}f(t \theta)\|_X d\theta \\ &=\int_0^1 \sup_{0 \le t' \le \theta T} \|\theta^{-\beta} t'^{\beta}f(t')\|_X d\theta \\ &=\int_0^1 \theta^{-\beta} \sup_{0 \le t \le \theta T} \| t^{\beta}f(t)\|_X d\theta \\ &\le \int_0^1 \theta^{-\beta}d\theta \sup_{0 \le t \le T} \| t^{\beta}f(t)\|_X \\ &=\left[ \frac{\theta^{1-\beta}}{1-\beta} \right]_0^1\|t^{\beta}f(t)\|_{L^{\infty}((0,T):X)} \\ &=\frac{1}{1-\beta}\|t^{\beta}f(t)\|_{L^{\infty}((0,T):X)} \end{split}\end{equation}

というわけで証明完了です！！おしまい！！