BMOについて - SUSHITEMPLEのブログ

どうもこんにちは。ひよこてんぷらです。

今回はちょっと訳あって $BMO$ について簡単に勉強しました。その詳しいことについては今度話すことにして、今回は $BMO$ について簡単に勉強したことをまとめます。よろしくお願いします。

まず $BMO$ とはBounded Mean Oscillationの略で、日本語だと有界平均振動といいます。有界な関数 $L^{\infty}=L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ よりわずかに広い空間であり、時に $L^{\infty}$ の代替空間として登場します。

さて、まずは定義を述べましょう。まずは半径 $R \gt 0$ および中心 $x \in \mathbb{R}^n$ の開球を $B_R(x)$ と書きます。特に原点中心のときは $B_R=B_R(0)$ と書くことにしましょう。初めに局所可積分関数 $f \in L_{\mathrm{loc}}^1=L_{\mathrm{loc}}^1(\mathbb{R}^n)$ に対する積分平均 $\overline{f}_{B_R(x)}$ を

\begin{equation} \overline{f}_{B_R(x)}=\frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}f(y)dy \end{equation}

で定義します。名前の通り開球 $B_R(x)$ に対する $f$ の平均値を計算しています。そして $BMO$ は以下で定義されます。

\begin{equation} BM O =BM O(\mathbb{R}^n) =\left\{\left. f \in L_{\mathrm{loc}}^1 \, \right| \, \|f\|_{BM O}<\infty \right\} \end{equation}

ただし

\begin{equation} \|f\|_{BM O}=\sup_{R>0, \, x \in \mathbb{R}^n} \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \end{equation}

です。さて、この定義を見て何を思うでしょうか……正直初めに見たときはよく意味が分からないと思いましたが、なんだか見ているうちに確率統計における分散にそっくりだなぁと感じました。分散の定義は

\begin{equation} s^2=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (x_j-\overline{x})^2 \quad \text{where} \quad \overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nx_j \end{equation}

です。ちなみに $BMO$ のnormは次のnorm

\begin{equation} \|f\|_{{BM O}^2}=\sup_{R>0, \, x \in \mathbb{R}^n} \left( \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_R(x)}|^2dy \right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

と同値であり(より一般に $1 \lt p \lt \infty$ で考えても同値のようです)、標準偏差

\begin{equation} s=\left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (x_j-\overline{x})^2\right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

と比べるとやっぱりそっくりです。どういう経緯でこの空間が導入されたかは分かりませんが、似ています。

さて、では $BMO$ の性質を詳しく見ていきます。まずは基本的な不等式を考えましょう。積分平均について、

\begin{equation} |\overline{f}_{B_R(x)}|=\left|\frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}f(y)dy\right| \le \frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}|f(y)|dy=\overline{|f|}_{B_R(x)} \end{equation}

が成立します。また、

\begin{equation} \begin{split} &\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \\ &\le \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}\left(|f(y)|+|\overline{f}_{B_R(x)}|\right)dy \\ &\le \left( \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)|dy+\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)} \overline{|f|}_{B_R(x)} dy\right) \\ &= \left( \overline{|f|}_{B_R(x)}+\overline{|f|}_{B_R(x)}\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)} dy \right) \\ &=2\overline{|f|}_{B_R(x)} \end{split} \end{equation}

であり、したがって

\begin{equation} \|f\|_{BM O} \le 2\sup_{R>0, \, x \in \mathbb{R}^n} \overline{|f|}_{B_R(x)} \end{equation}

が成立します。 $BMO$ の定義における積分平均は、 $\sup$ に関しては動きますが積分変数 $y$ に関しては独立な定数扱いであることに注意します。そしてさらに、

\begin{equation} \overline{|f|}_{B_R(x)}=\frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}|f(y)|dy \le \sup_{y \in \mathbb{R}^n}|f(y)| \frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}dy=\|f\|_{L^{\infty}} \end{equation}

に注意すれば、上の関係から

\begin{equation} \|f\|_{BM O} \le 2\|f\|_{L^{\infty}} \end{equation}

を得ます。初めに $BMO$ は $L^{\infty}$ より広いといいましたが、それはこの不等式から従います。

さて、次にscale不変性を見ていきましょう。関数 $f$ に対して、その定数倍を

\begin{equation} f^a(x) =f(ax) \quad {}^{\forall}a \gt 0 \end{equation}

と書くことにします。積分平均について、変数変換 $y'=ay$ により

\begin{equation} \begin{split} \overline{f^a}_{B_R(x)} &=\frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}f(ay)dy \\ &=\frac{1}{|B_R|} \int_{B_{aR}(x)}f( y' )a^{-n}dy' \\ &=\frac{1}{|B_{aR}|} \int_{B_{aR}(x)}f( y' )dy' \\ &=\overline{f}_{B_{aR}(x)} \end{split} \end{equation}

が成立します。ゆえに、

\begin{equation} \begin{split} & \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(ay)-\overline{f^a}_{B_R(x)}|dy \\ &= \frac{1}{|B_R|}\int_{B_{aR}(x)}|f(y')-\overline{f}_{B_{aR}(x)}|a^{-n}dy' \\ &=\frac{1}{|B_{aR}|}\int_{B_{aR}(x)}|f(y')-\overline{f}_{B_{aR}(x)}|dy' \end{split} \end{equation}

が成立します。両辺の $\sup$ をとって $BMO$ のnormを得ますが、特に半径 $R \gt 0$ の $\sup$ をとるとき、それは $a$ 倍されてようが関係ないわけですから、

\begin{equation} \|f^a\|_{BM O}=\|f\|_{BM O} \end{equation}

が成立します。したがってscale不変性を持ちます。

また、定数の差に関しても不変です。これはすぐに分かります。実際、定数 $c \in \mathbb{R}$ に対して

\begin{equation} \begin{split} \overline{(f-c)}_{B_R(x)} &=\frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}\{f(y)-c\}dy \\ &=\frac{1}{|B_R|} \int_{B_R(x)}f( y)dy-c \\ &=\overline{f}_{B_R(x)}-c \end{split} \end{equation}

であるから、

\begin{equation} \begin{split} &\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-c-\overline{(f-c)}_{B_R(x)}|dy \\ &=\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-c-(\overline{f}_{B_R(x)}-c)|dy \\ &=\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \end{split} \end{equation}

より

\begin{equation} \|f-c\|_{BM O}=\|f\|_{BM O} \end{equation}

です。なお、定数の差に関して不変ということは、 $BMO$ は通常の局所可積分関数全体で考えるとnormの分離公理

\begin{equation} f=0 \quad \Longleftrightarrow \quad \|f\|_{BM O}=0 \end{equation}

を満たさないことが分かります。したがって、この点を解決するために $BMO$ では定数の差を無視します。すなわち、同値関係

\begin{equation} f \sim g \quad \Longleftrightarrow \quad f-g=\text{Const} \quad \text{a.e. in $\mathbb{R}^n$} \end{equation}

による商集合で考えることにします。

さて、ここらへんが $BMO$ の基本性質になります。ここで番号を付けてまとめておきます。

\begin{equation} \begin{aligned} (1.1) \quad & |\overline{f}_{B_R(x)}| \le \overline{|f|}_{B_R(x)} \\ (1.2) \quad & \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \le 2\overline{|f|}_{B_R(x)} \\ (1.3) \quad & \|f\|_{BM O} \le 2\sup_{R>0, \, x \in \mathbb{R}^n} \overline{|f|}_{B_R(x)} \\ (1.4) \quad &\overline{|f|}_{B_R(x)} \le \|f\|_{L^{\infty}} \\ (1.5) \quad &\|f\|_{BM O} \le 2\|f\|_{L^{\infty}} \\ (2.1) \quad & \overline{f^a}_{B_R(x)} =\overline{f}_{B_{aR}(x)} \\ (2.2) \quad & \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(ay)-\overline{f^a}_{B_R(x)}|dy \\ & = \frac{1}{|B_{aR}|}\int_{B_{aR}(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_{aR}(x)}|dy \\ (2.3) \quad & \|f^a\|_{BM O}=\|f\|_{BM O} \\ (3.1) \quad & \overline{(f-c)}_{B_R(x)}=\overline{f}_{B_R(x)}-c \\ (3.2) \quad & \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-c-\overline{(f-c)}_{B_R(x)}|dy \\ &=\frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \\ (3.3) \quad & \|f-c\|_{BM O}=\|f\|_{BM O} \end{aligned} \end{equation}

では、具体例を見ていきます。先ほど $L^{\infty}$ より少し広いといったので、具体例で $L^{\infty} \subsetneq BMO$ を確認しましょう。参考書などでは、ここでよく $\log |x| \in BMO \setminus L^{\infty}$ を具体例としてあげています。が、あまりきちんとは計算されていないようなので、ここではっきりと計算してこれを示してみましょう。

まず初めに、次の積分を計算しておきましょう。

\begin{equation} \begin{split} I(R) &=\int_0^Rr^{n-1}\log r dr \\ &=\int_0^R \left(\frac{1}{n}r^n\right)' \log r dr \\ &=\left[ \frac{1}{n}r^n\log r \right]_0^R-\frac{1}{n}\int_0^Rr^n\frac{1}{r}dr \\ &=\frac{R^n}{n}\log R-\frac{1}{n}\left[ \frac{1}{n}r^n \right]_0^R \\ &=\frac{R^n}{n}\left( \log R-\frac{1}{n} \right) \end{split} \end{equation}

さて、では早速計算していきます。 $\log |x|$ は $BMO$ の定義において非常に強い威力を発揮します。 $f=\log |x|$ としましょう。さて、scale不変性を使います。 $(2.2)$ 式で $a=R^{-1}$ とおくと、

\begin{equation} \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(R^{-1}y)-\overline{f^{R^{-1}}}_{B_R(x)}|dy = \frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_1(x)}|dy \end{equation}

を得るわけですが、ここでいま $f=\log |x|$ ですから、

\begin{equation} f^{R^{-1}}(x)=f(R^{-1}x)=\log |R^{-1}x|=\log R^{-1}+\log |x|=\log |x|-\log R \end{equation}

となります。この積分平均は、 $(3.1)$ より

\begin{equation} \overline{f^{R^{-1}}}_{B_R(x)}=\overline{(f-\log R)}_{B_R(x)}=\overline{f}_{B_R(x)}-\log R \end{equation}

です。つまり、このとき現れる $\log R$ が互いに打ち消しあうことにより、上式の積分は

\begin{equation} \begin{split} &\frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|f(y)-\overline{f}_{B_1(x)}|dy \\ &= \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|f(R^{-1}y)-\overline{f^{R^{-1}}}_{B_R(x)}|dy \\ &= \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|\log |y|-\log R-(\overline{f}_{B_R(x)}-\log R)|dy \\ &= \frac{1}{|B_R|}\int_{B_R(x)}|\log |y|-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \end{split} \end{equation}

となります。さて、この式が意味していることは何か……

そう、半径 $R \gt 0$ はどうでもいいのです！！ここでは $BMO$ のscale不変性を用いて半径を $a=R^{-1}$ とおいたわけですが、通常は関数 $f$ が半径 $R \gt 0$ に依存してしまい、結局はnormも依存してしまいます。ところが $\log |x|$ は次の性質

\begin{equation} \log |Rx|=\log R+\log |x| \end{equation}

を持つため、積分平均の部分にも表れる $\log R$ と打ち消しあって、半径 $R \gt 0$ とは無関係になります。これが $\log |x|$ の $BMO$ の定義における強力なポイントです。さて、normの計算に戻りましょう。いま、

\begin{equation} \|f\|_{BM O} =\sup_{x \in \mathbb{R}^n} \frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log|y|-\overline{f}_{B_1(x)}|dy \end{equation}

というところまできました。あとは積分が中心 $x \in \mathbb{R}^n$ によらず一様に評価できることを言えばよいです。さて、ここでは2つの場合に分けて考えましょう。まずは $|x| \le 2$ のときを考えます。このときは、次のように計算しましょう。まず $(1.2)$ を用いることで、

\begin{equation} \frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log |y|-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \le 2\overline{|f|}_{B_1(x)}=\frac{2}{|B_1|} \int_{B_1(x)}|\log |y||dy \end{equation}

を得ます。いま $|x| \le 2$ としているので、積分変数 $y$ は $y \in B_1(x) \subset B_3$ を動くとできます。実際

\begin{equation} |y| \le |y-x|+|x| \lt 1+2=3\end{equation}

ですね。したがってこのときは、 $n$ 次元極座標変換によって

\begin{equation} \begin{split} & \frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log |y|-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \\ &\le \frac{2}{|B_1|} \int_{B_1(x)}|\log |y||dy \\ &\le \frac{2}{|B_1|} \int_{B_3}|\log |y||dy \\ &=\frac{2}{|B_1|} \int_0^3|\log r| r^{n-1}dr \times n|B_1| \\ &=2n \left( -\int_0^1r^{n-1} \log r dr +\int_1^3r^{n-1} \log r dr\right) \\ &=2n \left( \int_0^3r^{n-1} \log r dr-2\int_0^1r^{n-1} \log r dr\right) \end{split} \end{equation}

となります。そういえばさっき

\begin{equation} I(R) =\frac{R^n}{n}\left( \log R-\frac{1}{n} \right) \end{equation}

を計算していたので、上式は有界であり、また $x \in \mathbb{R}^n$ によらないので、

\begin{equation} \sup_{|x| \le 2} \frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log |y|-\overline{f}_{B_R(x)}|dy \lt \infty \end{equation}

が分かります。さて、では $|x| \gt 2$ のときはどうでしょうか。このときは少し手を加えます。どうするかというと、 $(3.2)$ で $c=\log |x|$ とし、 $(1.2)$ を用います。このとき

\begin{equation} \begin{split} &\frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log |y|-\overline{f}_{B_1(x)}|dy \\ &= \frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log |y|-\log |x|-\overline{(f-\log |x|)}_{B_1(x)}|dy \\ &\le 2\overline{|f-\log |x||}_{B_1(x)} \\ &=\frac{2}{|B_1|} \int_{B_1(x)}|\log |y|-\log |x||dy \end{split} \end{equation}

となります。さっきの場合と違い、遠方での増加を食い止めるために中心 $x \in \mathbb{R}^n$ に対して $\log |x|$ を差し引いておきます。そしてこの被積分関数の振る舞いをチェックしましょう。仮定の $|x| \gt 2$ と $y \in B_1(x)$ という条件を合わせて評価します。まず $|y|$ は

\begin{equation} \left| |y|-|x| \right| \le |y-x| \lt 1 \end{equation}

より

\begin{equation} |x|-1 \lt |y| \lt |x|+1 \end{equation}

という条件を満たします。したがって

\begin{equation} \log (|x|-1) \lt \log |y| \lt \log (|x|+1) \end{equation}

であり、

\begin{equation} \log (|x|-1)-\log|x| \lt \log |y|-\log|x| \lt \log (|x|+1)-\log|x|\end{equation}

すなわち

\begin{equation} \log \left( 1-\frac{1}{|x|} \right)\lt \log |y|-\log|x| \lt \log \left( 1+\frac{1}{|x|} \right) \end{equation}

を得ます。仮定 $|x| \gt 2$ から

\begin{equation} \log \left( 1-\frac{1}{|x|} \right) \gt \log \frac{1}{2}=-\log 2 , \quad \log \left( 1+\frac{1}{|x|} \right) \lt \log \frac{3}{2} \lt \log 2 \end{equation}

なので、

\begin{equation} |\log |y|-\log |x|| \lt \log 2 \end{equation}

となります。ゆえに

\begin{equation} \begin{split} &\frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log |y|-\overline{f}_{B_1(x)}|dy \\ &=\frac{2}{|B_1|} \int_{B_1(x)}|\log |y|-\log |x||dy \\ &\le \frac{2}{|B_1|} \log 2 \int_{B_1(x)}dy \\ &=2\log 2 \end{split} \end{equation}

となります。したがって、 $|x| \gt 2$ のときも $x\in \mathbb{R}^n$ によらず一様に有界です。ゆえに

\begin{equation} \|f\|_{BM O} =\sup_{x \in \mathbb{R}^n} \frac{1}{|B_1|}\int_{B_1(x)}|\log|y|-\overline{f}_{B_1(x)}|dy \lt \infty \end{equation}

となり、 $\log |x| \in BMO \setminus L^{\infty}$ が示されました！！

いやはやよく具体例として載っているわりには計算が面倒だったのでなかなか時間がかかってしまいましたね……かなり字数も増えてきてしまったので、今回はこのあたりとします。次回は $BMO$ についてもう少し掘り下げた話を、今回 $BMO$ を勉強するに至った動機とともにご紹介したいと思います。よろしくお願いします。