Aubin-Lionsの補題

こんにちは。ひよこてんぷらです。今日はAubin-Lionsの補題をやります。なお、証明は「Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models」を参考にしています。まずは主張を確認しましょう。

 

(Aubin-Lionsの補題) 1 \le p,q \le \infty , \, 0 \lt T \lt \infty とする。 また Y_0 をnorm空間および X,Y_1 をBanach空間とする。ここで Y_0 \subset X \subset Y_1 が成立し、埋め込み Y_0 \subset X はcompactで、埋め込み X \subset Y_1 は連続と仮定する。このとき、次で定義される関数空間

\begin{equation}\begin{split} \mathcal{E}_{p,q} &=\mathcal{E}_{p,q}(0,T) \\ &=\left\{ f \in L^p((0,T):Y_0) \, | \, \partial_tf \in L^q((0,T):Y_1) \right\} \end{split}\end{equation}

に対して次が成立する。

(i) 1 \le p \lt \infty ならばcompactな埋め込み \mathcal{E}_{p,q} \subset L^p((0,T):Y_1) が成立する。

(ii) p=\infty かつ 1 \lt q \le \infty ならばcompactな埋め込み \mathcal{E}_{\infty,q} \subset C([0,T]:Y_1) が成立する。

 

さて、いくつか補足をしておきましょう。まずcompactな埋め込みの定義を確認しておきます。埋め込み Y_0 \subset X がcompactとは、まず連続な埋め込み

\begin{equation} \|x\|_X \le C\|x\|_{Y_0} \quad f \in Y_0 \end{equation}

が成立し、さらに任意の有界列 \{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_0 に対してある x \in X に収束するような部分列が取れるということとします。また、関数空間 \mathcal{E}_{p,q} は

\begin{equation} \|f\|_{\mathcal{E}_{p,q}}=\|f\|_{L^p((0,T):Y_0)}+\|\partial_tf\|_{L^q((0,T):Y_1)}  \end{equation}

をnormに持ちます。ゆえに上での埋め込みはこの位相で考えているということです。また、 0 \lt T \lt \infty よりHölderの不等式を用いると

\begin{equation}\begin{split} &\|f\|_{W^{1,1}((0,T):Y_1)} \\ &=\|f\|_{L^1((0,T):Y_1)}+\|\partial_tf\|_{L^1((0,T):Y_1)} \\ &=\int_0^T\|f(t)\|_{Y_1}dt+\int_0^T\|\partial_tf(t)\|_{Y_1}dt \\ &\le C\int_0^T\|f(t)\|_{Y_0}dt+\int_0^T\|\partial_tf(t)\|_{Y_1}dt \\ &\le C\left(\int_0^Tdt\right)^{1/p'}\left(\int_0^T\|f(t)\|_{Y_0}^pdt\right)^{1/p} \\ &+\left(\int_0^Tdt\right)^{1/q'}\left(\int_0^T\|\partial_tf(t)\|_{Y_1}^qdt\right)^{1/q} \\ &=CT^{1/p'}\|f\|_{L^p((0,T):Y_0)}+T^{1/q'}\|\partial_tf\|_{L^q((0,T):Y_1)} \\ &\le (CT^{1/p'}+T^{1/q'})\|f\|_{\mathcal{E}_{p,q}} \end{split}\end{equation}

なので、 f \in \mathcal{E}_{p,q} に対しては微積分学の基本定理

\begin{equation} \tag{$*$} f(t_1)-f(t_2)=\int_{t_1}^{t_2}\partial_tf(s)ds \quad \text{in } Y_1 \quad 0 \le t_1,t_2 \le T \end{equation}

が成立し、したがって f \in C([0,T]:Y_1) となることに注意します。

 

さて、では証明しましょう。証明に使うのはやはりAscoli-Arzelàの定理ですね。

 

(Ascoli-Arzelàの定理) 0 \lt T \lt \infty とし、 Y_1 をBanach空間とする。このときBanach空間 C([0,T]:Y_1) の部分集合 \mathcal{H} \subset C([0,T]:Y_1) は次を満たすとする。

(i) 各 0 \le t \le T に対して集合 \{f(t) \, | \, f \in \mathcal{H}\} \subset Y_1 は Y_1 で相対compactである。

(ii) \mathcal{H} は同程度連続である。すなわち、任意の 0 \le t \le T および \varepsilon \gt 0 に対して十分小さい \delta \gt 0 が存在して、任意の 0 \le s \le T および f \in \mathcal{H} に対して

\begin{equation} |t-s| \lt \delta \quad \Longrightarrow \quad \|f(t)-f(s)\|_{Y_1} \lt \varepsilon \end{equation}

が成立する。

このとき \mathcal{H} \subset C([0,T]:Y_1) は相対compactである。

 

さて、ここで \mathcal{H} \subset C([0,T]:Y_1) が相対compactとはつまり、 \mathcal{H} のどんな点列からも C([0,T]:Y_1) の元に収束するような部分列がとれるということですね。

 

そしてもう一つ基本的な不等式を示しておきます。先の Y_0 \subset X \subset Y_1 において、任意の \varepsilon \gt 0 に対してある定数 C_{\varepsilon} \gt 0 が存在して

\begin{equation} \tag{$**$} \|x\|_X \le \varepsilon \|x\|_{Y_0}+C_{\varepsilon}\|x\|_{Y_1} \quad x \in Y_0 \end{equation}

が成立します。これは背理法で示しましょう。すなわち、ある \varepsilon \gt 0 および \{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_0 に対して

\begin{equation} \|x_j\|_X \gt \varepsilon \|x_j\|_{Y_0}+j\|x_j\|_{Y_1} \end{equation}

が成立しているとしましょう。右辺は正なので常に \|x_j\|_X も正です。したがって両辺を割って

\begin{equation} 1=\|y_j\|_X \gt \varepsilon \|y_j\|_{Y_0}+j\|y_j\|_{Y_1} , \quad \text{where} \quad y_j=x_j/\|x_j\|_X \end{equation}

としましょう。この不等式から直ちに

\begin{equation} \|y_j\|_{Y_0} \lt \varepsilon^{-1} \quad \text{and} \quad \|y_j\|_{Y_1} \lt 1/j \end{equation}

が分かります。したがって \{y_j\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_0 は有界列ですね。さて、仮定から埋め込み Y_0 \subset X はcompactですから、部分列をとればこれはある y \in X に収束するはずです。常に \|y_j\|_X=1 ですからもちろん \|y\|_X=1 になるわけですが、一方で埋め込み X \subset Y_1 は連続ですから、部分列は y \in Y_1 にも収束します。しかし上の不等式から \|y\|_{Y_1}=0 すなわち y=0 のはずなので、これは矛盾ですね。ゆえに (**) が成立します。

 

では準備が整ったのでAubin-Lionsの補題を証明しましょう！！少し手順が多いですが、焦らず頑張りましょう。示すべきことを整理すると、compactな埋め込みを示したいわけですね。(i)の場合、 1 \le p \lt \infty のときは、もし点列 \{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{E}_{p,q} が有界ならば、すなわち2つの点列

\begin{equation} \{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^p((0,T):Y_0) , \quad \{\partial_tf_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^q((0,T):Y_1) \end{equation}

がそれぞれのnormで有界ならば、 \{f_j\}_{j=1}^{\infty} から L^p((0,T):X) のCauchy列となるような部分列を選べるということを言えばいいわけです。一方(ii)の場合、 p=\infty の場合はさらに 1 \lt q \le \infty を仮定すれば C([0,T]:X) のCauchy列となるような部分列を選べるわけですね。基本は(i)の場合を考えますが、(ii)もほとんど同様です。証明中に注意を述べながらやっていきます。

 

初めに、もし上の仮定で L^p((0,T):Y_1) のCauchy列が構成できればそれは L^p((0,T):X) のCauchy列にもなることを示しましょう。さて、部分列 \{f_{\varphi(j)}\}_{j=1}^{\infty} \subset L^p((0,T):Y_1) が L^p((0,T):Y_1) のCauchy列であるとしましょう。仮定からこれは L^p((0,T):Y_0) で有界であることに注意します。すなわち

\begin{equation} \sup_{j \in \mathbb{N}}\|f_{\varphi(j)}\|_{L^p((0,T):Y_0)} \le M \end{equation}

なる M \gt 0 がありますね。したがって (**) を用いれば任意の \varepsilon \gt 0 に対して

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{\varphi(j_1)}(t)-f_{\varphi(j_2)}(t)\|_X \\ &\le \frac{\varepsilon}{2M} \|f_{\varphi(j_1)}(t)-f_{\varphi(j_2)}(t)\|_{Y_0}+C_{\varepsilon,M}\|f_{\varphi(j_1)}(t)-f_{\varphi(j_2)}(t)\|_{Y_1} \end{split}\end{equation}

ですから、両辺の L^p normを取って

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):X)} \\ &\le \frac{\varepsilon}{2M} \|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):Y_0)}+C_{\varepsilon,M}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\le \varepsilon +C_{\varepsilon,M}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)}\end{split}\end{equation}

が得られます。さて、定数 C_{\varepsilon,M} \gt 0 は j_1,j_2 \in \mathbb{N} によらないので、部分列 \{f_{\varphi(j)}\}_{j=1}^{\infty} が L^p((0,T):Y_1) のCauchy列であることより

\begin{equation} \limsup_{j_1,j_2 \to \infty}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):X)} \le \varepsilon \end{equation}

とできます。 \varepsilon \gt 0 は任意ですから、これは

\begin{equation} \lim_{j_1,j_2 \to \infty}\|f_{\varphi(j_1)}-f_{\varphi(j_2)}\|_{L^p((0,T):X)} =0 \end{equation}

を意味しますね。ゆえにこれは L^p((0,T):X) のCauchy列であるということです。

 

そういうわけで、上の仮定のもとで L^p((0,T):Y_1) のCauchy列を構成できれば十分ですね。ではこれを示していきましょう。初めに、点列 \{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset \mathcal{E}_{p,q} に対して (*) より \{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset C([0,T]:Y_1) が従うことに注意しましょう。そこで、まずは次のcutoff関数

\begin{equation} \chi \in C^{\infty}([0,T]) , \quad \chi(t)=\left\{\begin{array}{cc} 1 & 0 \le t \le T/4 \\ 0 & (3T)/4 \le t \le T \end{array}\right. \end{equation}

を取ってきて、

\begin{equation} f_j=\chi f_j+(1-\chi)f_j \end{equation}

としましょう。さらに次のように関数を拡張しておきます。

\begin{equation}\begin{split} f_j^{(1)}(t)&=\left\{\begin{array}{cc} \chi (t)f_j(t) & 0 \le t \le T \\ 0 & T \lt t \lt \infty\end{array}\right. \\ f_j^{(2)}(t)&=\left\{\begin{array}{cc} (1-\chi (t) )f_j(t) & 0 \le t \le T \\ 0 & -\infty \lt t \le 0\end{array}\right. \end{split}\end{equation}

ここで \chi(T)=0 および \chi (0)=1 よりこれは連続拡張ですから、

\begin{equation} f_j^{(1)} \in C([0,\infty):Y_1) , \quad f_j^{(2)} \in C((-\infty,T]:Y_1) \end{equation}

が成立します。さて、このような拡張を行うことで、任意の h \gt 0 に対して次のような分割を考えられます。

\begin{equation}\begin{split} f_j^{(1)}(t) &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}f_j^{(1)}(s)ds+\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\{f_j^{(1)}(t)-f_j^{(1)}(s)\}ds \\ &=f_{j,h}^{(1,1)}(t)+f_{j,h}^{(1,2)}(t) \\ f_j^{(1)}(t) &=\frac{1}{h}\int_{t-h}^tf_j^{(1)}(s)ds+\frac{1}{h}\int_{t-h}^t\{f_j^{(1)}(t)-f_j^{(1)}(s)\}ds \\ &=f_{j,h}^{(2,1)}(t)+f_{j,h}^{(2,2)}(t) \end{split}\end{equation}

さて、そろそろ添え字が嫌な感じになってきましたね。拡張が正の方向および負の方向にそれぞれ行われているので、その方向に対して h \gt 0 だけ動かしても関数が定義され得るということです。ここでの h \gt 0 は後で動かしますが、今は適当に固定しておきましょう。

 

これ以降の議論は f_j^{(1)}(t) でも f_j^{(2)}(t) でも同様ですから、  f_j^{(1)}(t) について考えます。ここで、もちろん各 f_{j,h}^{(1,1)} は C([0,T]:Y_1) に属します。Ascoli-Arzelàの定理を使いたいので、部分集合 \{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} \subset C([0,T]:Y_1) を考えます。これに対して各 0 \le t \le T における \{f_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty} \subset Y_1 の相対compact性、および \{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} の同程度連続性を見ましょう。

 

では計算を続けます。すぐ分かるように、Hölderの不等式から

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,1)}(t)\|_{Y_0} \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\|f_j^{(1)}(s)\|_{Y_0}ds \\ &\le \frac{1}{h}\left( \int_t^{t+h}ds \right)^{1/p'}\left(\int_t^{t+h}\|f_j^{(1)}(s)\|_{Y_0}^p ds\right)^{1/p} \\ &\le \frac{1}{h}h^{1/p'}\|f_j^{(1)}\|_{L^p((0,T):Y_0)} \\ &\le h^{-1/p}\|f_j\|_{L^p((0,T):Y_0)}\end{split}\end{equation}

となります。さて、仮定から \{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^p((0,T):Y_0) は有界列だったので、すなわち各 t に対して点列 \{f_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty} は j に関して Y_0 で有界です。さらに仮定から埋め込み Y_0 \subset X はcompactで埋め込み X \subset Y_1 は連続だったので、これよりcompactな埋め込み Y_0 \subset Y_1 が従います。したがって \{f_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty} から Y_1 で収束するような部分列がとれます。これは相対compact性を示していますね。

 

では同程度連続性はどうでしょうか。これは次の計算で示されます。まずは f_{j,h}^{(1,1)} の定義から

\begin{equation}\begin{split} \partial_tf_{j,h}^{(1,1)}(t) &=\frac{1}{h}\{f_j^{(1)}(t+h)-f_j^{(1)}(t)\} \\ &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\partial_tf_j^{(1)}(s)ds \end{split}\end{equation}

であり、再びHölderから

\begin{equation}\begin{split} &\|\partial_tf_{j,h}^{(1,1)}(t)\|_{Y_1} \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\|\partial_tf_j^{(1)}(s)\|_{Y_1}ds \\ &\le \frac{1}{h}\left(\int_t^{t+h}ds\right)^{1/q'}\left(\int_t^{t+h}\|\partial_tf_j^{(1)}(s)\|_{Y_1}^q ds\right)^{1/q} \\ &\le \frac{1}{h}h^{1/q'}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)} \\ &\le h^{-1/q}\|\partial_tf_j\|_{L^q((0,T):Y_1)} \end{split}\end{equation}

です。さてまた仮定から \{\partial_tf_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^q((0,T):Y_1) は有界列だったので、すなわちこれは点列 \{\partial_tf_{j,h}^{(1,1)}(t)\}_{j=1}^{\infty} が j に関して Y_1 で有界ということです。微分して有界なので、これは j によらない連続性を意味します。すなわち同程度連続性が示されました。これでようやくAscoli-Arzelàの定理が使えます！！つまり点列 \{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} の部分列を選ぶことで、 C([0,T]:Y_1) の元に収束するようにできるということです。そしてもちろんこれは極限関数が L^p((0,T):Y_1) に属することを意味しますね。ここまでは p=\infty でも同様の主張が言えますね。

 

さて、ではもう一方の点列 \{f_{j,h}^{(1,2)}\}_{j=1}^{\infty} を検討しましょう。 (*) より

\begin{equation}\begin{split} f_{j,h}^{(1,2)}(t) &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\{f_j^{(1)}(t)-f_j^{(1)}(s)\}ds \\ &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}\int_t^s\partial_tf_j^{(1)}(r)drds \end{split}\end{equation}

ですから、これのnormを計算していきましょう。Hölderを2回使っていきます。

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1}^p \\ &\le \left( \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\int_t^s\|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}drds \right)^p \\ &\le \frac{1}{h^p} \left( \int_t^{t+h}ds \right)^{p/p'}\left( \int_t^{t+h} \left| \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}dr \right|^p ds \right)^{p/p} \\ &\le \frac{1}{h^p} h^{p/p'} \int_t^{t+h}\left( \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^{1/p'}\|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^{1/p} dr \right)^p ds \\ &\le \frac{1}{h} \int_t^{t+h} \left(\int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \left(\int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p} ds \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds \end{split}\end{equation}

さてここでFubiniを使いましょう。これにより

\begin{equation}\begin{split} &\int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds \\ &=\int_t^{t+h} \int_r^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} ds dr \\ &= \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr \end{split}\end{equation}

となります。さて、この両辺を t で積分して再びFubiniを使います。ここでの変数変換は注意が必要です。というのも積分領域が平行四辺形であり、真面目に変換後の積分領域を考えるとめんどくさいので、ちょっと多めに見積もりましょう。

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^T\int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds dt \\ &= \int_0^T \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \\ &\le \int_0^T \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \\ &\le \int_h^T \int_{r-h}^r \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dt dr \\ &+\left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \end{split}\end{equation}

さて、最後の変形は第1項でFubiniを使っているわけですが、これでは積分領域全体の変換になっていないため、余った部分を補う形で第2項が表れています。図形を描いて考えると分かりやすいです。これで第1項は

\begin{equation}\begin{split} &\int_{r-h}^r (t+h-r)dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2+(h-r)t \right]_{r-h}^r \\ &= \frac{1}{2}r^2+(h-r)r-\frac{1}{2}(r-h)^2-(h-r)(r-h) \\ &=\frac{1}{2}r^2+rh-r^2+\frac{1}{2}(r-h)^2 \\ &=rh-\frac{1}{2}r^2+\frac{1}{2}(r^2-2rh+h^2) \\ &=\frac{1}{2}h^2 \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation}\begin{split} &\int_h^T \int_{r-h}^r \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dt dr \\ &\le \frac{1}{2}h^2 \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}dr \end{split}\end{equation}

であり、他方第2項は大雑把に評価して

\begin{equation}\begin{split} &\left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}(t+h-r) dr dt \\ &\le h \left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) \int_t^{t+h} \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr dt \\ &\le h \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \left(\int_0^h+\int_T^{T+h}\right) dt \\ &=2h^2\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \end{split}\end{equation}

となりますね。では初めのnorm評価に戻れば

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1}^p \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds \end{split}\end{equation}

だったので、両辺を t で積分して

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^T\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1}^p dt \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \int_0^T \int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr ds dt \\ &\le \frac{1}{h} \left(\int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^{p/p'} \left(\frac{1}{2}h^2+2h^2\right) \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \\ &\le \frac{5}{2}h \left( \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \right)^p\end{split}\end{equation}

が得られます。さて、もう一度Hölderを用いれば

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\le \left(\frac{5}{2}h\right)^{1/p} \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1} dr \\ &\le \left(\frac{5}{2}h\right)^{1/p} \left(\int_0^T dr\right)^{1/q'}\left( \int_0^T \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^q dr \right)^{1/q} \\ &\le \left(\frac{5}{2}h\right)^{1/p} T^{1/q'} \|\partial_tf_j\|_{L^q((0,T): Y_1)} \end{split}\end{equation}

となるわけです。さて、ここまでの計算が結構長い道のりでしたが、実際ただ L^q で抑えたいだけならもっと簡単に評価できます。しかしここでは h \to +0 で減衰することを言いたかったので少し計算が煩雑になっているわけです。実際、仮定から \{\partial_tf_j\}_{j=1}^{\infty} \subset L^q((0,T):Y_1) は有界ですから、上式は j によらず h \to +0 で 0 に収束することが言えるわけですね。

 

では p=\infty のときはというと、実はもっと簡単に計算できます。再び初めの評価に戻れば、

\begin{equation}\begin{split} &\|f_{j,h}^{(1,2)}(t)\|_{Y_1} \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h} \int_t^s \|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}drds \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h} \left(\int_t^s\|\partial_tf_j^{(1)}(r)\|_{Y_1}^q dr\right)^{1/q}\left(\int_t^s dr\right)^{1/q'}ds \\ &\le \frac{1}{h}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)}\int_t^{t+h}(s-t)^{1/q'}ds \\ &=\frac{1}{h}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)} \frac{1}{1+1/q'}h^{1+1/q'} \\ &=\frac{h^{1/q'}}{1+1/q'}\|\partial_tf_j^{(1)}\|_{L^q((0,T):Y_1)} \end{split}\end{equation}

となるわけです。さて(ii)の仮定は p=\infty および 1 \lt q \le \infty でした。ここで q \neq 1 が課されているのは上と同様に h \to +0 での収束性を担保したかったからですね。

 

さて、いままで長い長い議論を行ってきましたが、結局関数列 \{f_j\}_{j=1}^{\infty} を \{f_j^{(1)}\}_{j=1}^{\infty} と \{f_j^{(2)}\}_{j=1}^{\infty} とに分け、さらに \{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} と \{f_{j,h}^{(1,2)}\}_{j=1}^{\infty} を考えていたわけです。そして前者は収束部分列が取れ、後者は h\to +0 で 0 に収束することを示しました。初めに断ったように、 \{f_j^{(2)}\}_{j=1}^{\infty} に対しても同様の議論が適用できます。

 

では最後に収束列を構成しましょう！！先ほど示したことを振り返ると、Ascoli-Arzelàの定理から、点列 \{f_{j,h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} の適切な部分列を選べば C([0,T]:Y_1) の元に収束します。ここでの議論では h \gt 0 は固定していましたから、 h=1 として適用します。そして収束する部分列を \{f_{\varphi_1(j),1}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} と書きましょう。さて、この添え字だけ取ってきた部分列 \{f_{\varphi_1(j),h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} を再び考えれば、やはりAscoli-Arzelàの定理が使えます。これを h=1/2 で適用すれば、今度は部分列 \{f_{\varphi_1(j),1/2}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} に対する収束部分列 \{f_{\varphi_2(j),1/2}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} が取れます。

 

このような操作を各 h=1/k に対して行うことで、収束部分列 \{f_{\varphi_k(j),1/k}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} が順次構成されます。ここで注意すべきことは、このような方法で順次選んだ添え字に対する部分列 \{f_{\varphi_k(j),h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} はそれぞれ前の部分列からどんどん抜き取っているので、すべての 1 \le l \le k においても部分列 \{f_{\varphi_l(j),h}^{(1,1)}\}_{j=1}^{\infty} は同じ収束先を持つ収束列であるということです。

 

さて、こうして構成した部分列に対して、添え字の対角成分 \varphi_k(k) を考えます。そうすると、なんと \{f_{\varphi_k(k)}^{(1)}\}_{k=1}^{\infty} は L^p((0,T):Y_1) のCauchy列になっています！！では証明しましょう。

\begin{equation} f_{\varphi_k(k)}^{(1)}=f_{\varphi_k(k),h}^{(1,1)}+f_{\varphi_k(k),h}^{(1,2)} \end{equation}

において、とにかく第2項は \varphi_k(k) によらず h \to +0 で 0 に収束するため、任意の \varepsilon \gt 0 に対して十分大きな N \in \mathbb{N} を考えれば

\begin{equation} \|f_{j,1/N}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \lt \varepsilon /3 \quad \text{for all} \quad j \in \mathbb{N} \end{equation}

が成立します。そして対角成分から構成した部分列は上で注意したことからどの部分列も同じ収束先を持つ収束列であり、したがって十分大きな k_1,k_2 \ge N に対していつでも

\begin{equation} \|f_{\varphi_{j_1}(k_1),1/N}^{(1,1)}-f_{\varphi_{j_2}(k_2),1/N}^{(1,1)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \lt \varepsilon /3 \quad \text{for all} \quad j_1,j_2 \in \mathbb{N} \end{equation}

が成立します。これが j_1,j_2 \in \mathbb{N} によらないのは、そもそも j_1,j_2 \in \mathbb{N} が大きければ部分列がどんどん抜き取られて少なくなっていくので、より早く \varphi_{j_1}(k_1),\varphi_{j_2}(k_2) が大きくなるからですね。さて、これで

\begin{equation}\begin{split} &\| f_{\varphi_{k_1}(k_1)}^{(1)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2)}^{(1)} \|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ & = \| f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,1)}+f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,2)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,1)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,2)} \|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\le \| f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,1)}-f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,1)} \|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &+\|f_{\varphi_{k_1}(k_1),1/N}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)}+\|f_{\varphi_{k_2}(k_2),1/N}^{(1,2)}\|_{L^p((0,T):Y_1)} \\ &\lt \varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3 \\ &=\varepsilon\end{split}\end{equation}

すなわち部分列 \{f_{\varphi_k(k)}^{(1)}\}_{k=1}^{\infty} が L^p((0,T):Y_1) のCauchy列となることを示せました！！ \{f_j^{(2)}\}_{j=1}^{\infty} も同様に議論することで、証明完了です！！

 

なお、 p=\infty のときはAscoli-Arzelàの定理により構成した部分列は C([0,T]:Y_1) で収束していましたから、連続関数の一様収束性から(ii)もOKですね。

 

さて、長くなりましたが今日はここまでとします。見てくださってありがとうございます。

英語の勉強

ひよこてんぷらです。自分用の英語勉強ページです。「数学のための英語教本」に書かれていることのうち、自分が使えそうだと思ったことをコメントをつけながら載せておきます。

 

基礎的な知識

☆ Theorem 1.1, Chapter 1.2, equation (1.3)などは番号付きのときは冠詞theを付けないらしい。難しい……

☆ 定理や公式はtheをつける。一方でtheoryは無冠詞！！なんで！？(theoryはその一部もtheoryなので不可算らしい)

例1: the Schwartz inequality, the mean value theorem, the Bolzano-Wierstrass theorem

例2: Galois theory, probability theory

☆ 序数はtheらしい。最上級～estにはtheを付けるというのは高校で習った気がするけど、存在が分からない、あるいは存在しないときはaになるらしい。ムズ……

例1: The first and second derivatives of a function f

例2: (0,1) has neither a largest nor a smallest number.

☆ 誤解の恐れがないときは冠詞の省略が可能である。

例: the supremum and infimun

☆ regard, obtain, have, yieldなどは後ろにthatを付けられないらしい……マジか！！

例: By Lemma 1.1, we have x=1.

 

語彙

for that reason = for this reason = thus = as a result of this = in this way = consequently

☞ ゆえに

in other words = that is = i.e.

☞ すなわち

similarly = in a similar fashion = in a similar manner

☞ 同様にして

in fact = to be more precise

☞ 実際に

In consrast to ～

☞ ～と対照的に

Summarizing,

☞ 要するに

Technically,

☞ (証明などにおける)技術面では

Conversely,

☞ (必要十分での証明で、)逆に

ensure the existence of ～

☞ ～の存在を保証する

We begin with ～

☞ まず～から始める

unless explicitly stated otherwise

☞ 特に断らない限り

This completes the proof.

☞ 証明終わり

We have the desired result.

☞ 所望の結果を得る

 

～, so that … = ～, and therefore …

☞ すなわち…

so that = in order that = for the purpose of

☞ そのために

☆ 前にカンマがあるかないかで意味が異なってくる。ややこしいな……

 

もうちょっと具体的な語彙

by induction on n

☞  n に関する帰納法により

Using this result,

☞ この結果を用いれば

Letting \varepsilon \to +0 in (1.1),

☞ (1.1)で \varepsilon \to +0 とすれば

Reversing the roles of x and y,

☞  x と y を逆にして考えれば

Given \varepsilon \gt 0,

☞ \varepsilon \gt 0 が与えられたとき(慣用表現)

Theorem 1.1 shows that ～

☞ 定理1.1から～が分かる

Theorems 1.1 and 1.2 together show that ～

☞ 定理1.1と1.2から～が分かる

 

continuous on [a,b]

☞ [a,b] 上で連続

consinuous at x=a

☞ x=a で連続

there is some x in [a,b]

☞ [a,b] 内にある点 x が存在して

every point of [a,b]

☞ [a,b] のどの点も

☆ 前置詞on, at, in, ofの使い分け。よくわからない……とりあえずカタチで覚えてしまえ。

 

～, which is a contradiction.

☞ ～は矛盾である

This contradicts ～

☞ これは～と矛盾する

This is a contradiction.

☞ これは矛盾である

☆ 背理法で使えそうな表現たち。

 

the circle of radius 1 centered at the origin

☞ 半径 1 の原点を中心とする円

a polynomial in \lambda of degree n

☞ \lambda の n 次多項式

The matrix has rank 2.

☞ その行列は階数 2 である

The circle has diameter R. = The diameter of the circle is R.

☞ その円の直径は R である

☆ of+名詞+値やhave+名詞+値という公式だ。

 

balls of radii at most \delta with centers in A

☞ 半径が \delta 以下で A 内に中心を持つような球

☆ radiusの複数形がradii！？そんなの知らんよ！！って思ったけど確かrhombusの複数形はrhombiだしまあそうか……

 

x is any number with 0 \le x \le 1

x is any number satisfying 0 \le x \le 1

x is any number that satisfies 0 \le x \le 1

☆ どれも同じ表現。最後のは関係代名詞だが、anyがあるとwhichじゃなくてthatらしい。よくわからない……

 

例文など

The difficulty will be overcome by using the following notions.

☞ 次の概念を使えばこの問題は解決できる

This is basically what Theorem 1.1 says.

☞ これが本来定理1.1が述べていることである

The same reasoning as in Theorem 1.1 leads to Theorem 1.2.

☞ 定理1.1と同様の手法で定理1.2を得る

Lemma 1.1, which we proved in this section, is crucial for the proof of Theorem 2.1 in the next section.

☞ この章で補題1.1を証明したが、これは次の章の定理2.1の証明において重要である

Let N be an integer greater than 1.

☞ N を 1 より大きい整数とする

Let S denote the set of all even numbers.

☞ S を偶数全体の集合とする

The integers are denoted by \mathbb{Z}.

☞ 整数全体の集合は \mathbb{Z} で表される

Let \mathrm{Res}(f,a) denote the residue of the function f(z) at a.

☞ 関数 f(z) の a における留数を \mathrm{Res}(f,a) と表す

Taking the infimum over j \ge 1 in (1.1) yields (1.2).

☞ (1.1)で j \ge 1 の下限をとり、(1.2)を得る

Squaring a positive number less than 1 yields a smaller number.

☞ 1 より小さい数を二乗すればさらに小さくなる

Taking the n th derivative in both sides yields ～.

☞ 両辺の n 階微分を考えれば、～を得る

In what follows, v will be an eigenvector of A corresponding to \lambda.

☞ これ以降、 v は行列 A の固有値 \lambda に対応する固有vectorとする

This function f does satisfy the conclusion of Theorem 1.1, even though f is not continuous on [0,1].

☞ この関数 f は [0,1] 上連続でないにもかかわらず、定理1.1の結論が成り立つ

 

The solution of equation (1.1) is given by x=1.

☞ 方程式(1.1)の解は x=1 である

a solution of equation (1.1)

☞ 方程式(1.1)の解

☆ 下の場合は解は1つとは限らない。さらに、初めて言及された場合である。

 

The equation f(x)=0 has a solution which is positive.

☞ 方程式 f(x)=0 は正の解を持つ

The equation  f(x)=0 has a unique solution, which is positive.

☞ 方程式 f(x)=0 はただ一つの解を持ち、その解は正である

☆ 上は正でない解も持つかもしれない。コンマがあるのとないので用法が異なる。確かに高校でやったような気がするな……

 

\mathbb{R} is the set of real numbers.

A is a set of real numbers.

☆ 上は実数全体の集合 \mathbb{R} に対し、下は実数の集合だが全体とは限らない。したがって冠詞はaとしている。

 

We devide the sum into two parts: \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^Na_n+\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n.

☆ devide ～ into …で～を…に分ける。

 

The approximation \sqrt{1+x} \approx 1+x/2 is valid for |x| sufficiently small.

☆ for ～は～に対してという感じ。仮定のニュアンスにもなる。

 

The conclusion fails to hold.

☞ 結論は成り立たない

The conclusion may fail to hold.

☞ 結論は必ずしも成り立たない

If continuity fails to hold at a single point, then the conclusions may fail.

☞ 1点でも不連続点があれば、結論は成り立つとは限らない

☆ fail to holdで成り立たないを意味するらしい。

 

Let A be a 2 by 2 matrix.

Let A be the 2 \times 2 matrix

\begin{equation} A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right). \end{equation}

☆ どちらも 2 \times 2 行列の導入だが、上は具体的な形が与えられていないので冠詞aを付け、下はtheである。上の場合も一度導入した以降同じ行列 A を取り扱う場合はtheをつける。難しい……

 

A C^1 function is a differenciable function whose derivative is continuous.

A C^1 function is a differenciable function the derivative of which is continuous.

☆ 同じ意味らしい。よくわからない。

 

Let f be a continuous function defined on (0,\infty).

☞ f を (0,\infty) 上で定義された関数とする

The \delta-neighbourhood of a set A is defined to be the set of points within distance \delta of A.

☞ 集合 A の \delta 近傍は、 A からの距離が \delta 以内であるような点の集合として定義される

We define the diameter |A| of a non-empty subset A of \mathbb{R}^n as the greatest distance between any pair of points in A.

☞  \mathbb{R}^n の空でない部分集合 A の直径 |A| を、 A に属する2点の最大の距離と定義する

Define the function f by setting f(x)=x^2+1.

☆ be defined to be ～ や We define ～ as …, Define ～ by setting …などで定義ができる。名詞の後のdefinedは過去分詞の形容詞的用法……という言葉を覚えても仕方ないので例文を覚えよう。

 

A series \sum a_n is said to be absolutely convergent if \sum |a_n| converges.

☆be said to be ～ if …で用語の定義ができるらしい！！

 

The empty set is written as \varnothing.

☞ 空集合は \varnothing と書かれる

The set A^c is termed the complement of A.

☞ 集合 A^c は A の補集合と呼ばれる

☆ be written asやbe termedで書かれる、呼ばれるなど。

 

The integers are denoted by \mathbb{Z} and the rational numbers by \mathbb{Q}.

☆ 後ろのare denotedは省略されている。こういうのもアリなのか……

 

A function f:X \to Y is called an injection if f(x) \neq f(y) whenever x \neq y.

☞ 関数 f:X \to Y が単射であるとは、 x \neq y ならば f(x) \neq f(y) となることである

☆ 定義の場合の冠詞はaらしい。whenever(いつでも)という表現は使ってこなかったので覚えておこう……

 

an arbitrary collection of sets \{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}

☞ 任意の集合族 \{A_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}

an open set contained in A = an open set that is contained in A 

☞ A に含まれる開集合

any collection of open sets which covers A (i.e. with union containing A)

☞ A を覆う(すなわち和集合が A を含む)開集合の任意の族

☆ with union containing A = whose union contains A らしい。むず……

 

In this case, A equals the interior of U, and therefore A is open.

☞ この場合は A は U の内部であり、したがって開集合である

Absolute convergence is therefore a stronger property than ordinary convergence.

☞ ゆえに、絶対収束は普通の収束より強い性質である

☆ Thereforeって文頭にしか使ってこなかったけど、and thereforeやbe thereforeという使い方もあるのか……

 

If e and e' were two identities

☞ もし e と e' が2つの単位元だとすると

☆ 仮定法のwere。そういえば高校でやった気がするな……

 

We cannnot choose x=1, nor can we choose 0 \le x \lt 1.

☞ x=1 とできないし、 0 \le x \lt 1 ともできない。

☆ norの後はwe canじゃなくてcan weらしい。難しい……

 

Without n independent eigenvectors = If A does not have n independent eigenvectors

☞ もし(行列 A に対して) n 個の線形独立な固有vectorがなければ

☆ withoutで仮定を表すこともある。なるほど……

 

Addition and scalar multiplication are defined in the usual manner, so that x+y=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n) and \lambda x =(\lambda x_1,\ldots , \lambda x_n), where \lambda is a real scalar.

☆ in the usual mannerは通常と同じように、so thatはつまり、whereはここでを意味する感じらしい。なお、in the usual mannerにおいて、ここでの「普通」は当たり前なことなので既知として冠詞はtheになる。難しいな……

 

Taking the limit as n \to \infty and using (1.1) gives the desired result.

☞ n \to \infty の極限を取り(1.1)を用いれば、所望の結果を得る

☆ andがあるが、結果を得るにはどちらの操作も必要なので単数扱い、すなわちgiveではなくgivesらしい。難しすぎでしょ……

 

とりあえずまずはこれくらいを理解しよう……

 

斉次型作用素論の勉強Part2

こんにちは。ひよこてんぷらです。前回に引き続き斉次型作用素論の勉強をしていきましょう。

 

sushitemple.hatenablog.jp

 

さて、今回は補間論との関係を見ていきます。まずは一般的な補間論の話をしていきましょう。

 

X,Y をnorm空間とします。さらに、 X,Y が共通のHausdorff位相線形空間を部分空間に持つとき、 X,Y をcompatibleであるといいます。この仮定のもとでは次の2つの空間 X \cap Y , \, X+Y はそれぞれ適当なnormによりnorm空間となります。

 

さて、次の実数値関数を定義します。

\begin{gather} K:[0,\infty) \times (X+Y) \to \mathbb{R} \\ K(t,z)=\inf_{z=x+y , \, (x,y) \in X\times Y} \left\{ \|x\|_X+t\|y\|_Y \right\} \end{gather}

このとき、 0 \lt \theta \lt 1 , \, 1 \le q \le \infty に対して

\begin{gather} (X,Y)_{\theta,q}=\left\{ z \in X+Y \, \left| \, \|z\|_{(X,Y)_{\theta,q}} \lt \infty \right.\right\} \\ \|z\|_{(X,Y)_{\theta,q}} =\|t^{-\theta}K(t,z)\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \end{gather}

と定義します。ここで、normの L^q((0,\infty),dt/t) は測度としてHaar測度 dt/t が入っているということです。つまり積分において dt の代わりに dt/t を考えるということですね。

 

この定義だけではなんだかよく分かりませんが、実はこれによって補間空間が定義されています。特に、

\begin{equation} X \cap Y \subset (X,Y)_{\theta,q} \subset X+Y \end{equation}

が成立することに注意しましょう。また、 1 \le q \lt \infty という条件下では、

\begin{equation} \overline{X \cap Y}^{\|\cdot\|_{(X,Y)_{\theta,q}}}=(X,Y)_{\theta,q} \end{equation}

が成立しています。

 

他方、Banach空間 X 上の線形作用素 A:D(A) \to X において、 -A が有界解析 C_0 半群 \{e^{-tA}\}_{t \ge 0} を生成するとき、 0 \lt \theta \lt 1 , \, 1 \le q \le \infty に対して次のtrace空間 D_A(\theta,q) というものが定義されることが知られています。

\begin{gather} D_A(\theta,q)=\left\{ x \in X \, \left| \, \|x\|_{D_A(\theta,q)} \lt \infty \right.\right\} \\ \|x\|_{D_A(\theta,q)}=\|x\|_X+\|t^{1-\theta}Ae^{-tA}x\|_{L^q((0,\infty),dt/t:X)} \end{gather}

そして、実はなんと (X,D(A) )_{\theta,q}=D_A(\theta,q) が成立することが知られています。一見すると全然違う定義ですが、実は位相同型なのです。また、 D(A) \subset X なので

\begin{equation}D(A) \subset (X,D(A) )_{\theta,q} \subset X\end{equation}

が成立します。先ほどの稠密性の議論から 1 \le q \lt \infty に対して

\begin{equation} \overline{D(A)}^{\|\cdot\|_{(X,D(A) )_{\theta,q}}}=(X,D(A) )_{\theta,q} \end{equation}

ですね。

 

さて、では補間論はこのくらいにして、前回の斉次型作用素論の続きをやっていきましょう。前回の内容をまとめておきましょう。

 

(仮定 2.1, 仮定 2.5)

(i) X をBanach空間とし、線形作用素

\begin{equation} A:D(A) \to X \end{equation}

を考える。 -A は X 上の有界解析 C_0 半群 \{e^{-tA}\}_{t \ge 0} の生成作用素とする。

(ii) A は単射であるとする。すなわち任意の x \in D(A) に対して、 Ax=0 ならば x=0 とする。

(iii) D(A) \subset Y であって、 \|A \cdot\|_X と \|\cdot\|_Y が D(A) 上同値となるようなnorm空間 Y が存在する。すなわち任意の x \in D(A) に対して

\begin{equation} C^{-1}\|Ax\|_X \le \|x\|_Y \le C\|Ax\|_X \end{equation}

とする。

(iv) D(\dot{A}) \cap X=D(A) とする。

 

(命題 2.6) x \in X , \, y \in D(\dot{A}) , \, t \gt 0 に対して次の拡張された半群

\begin{gather} e^{-tA}:X+D(\dot{A}) \to X+D(\dot{A}) \\ e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{gather}

を定義すると、これはwell-definedである。また、 e^{-tA}(x+y) \in D(\dot{A}) であり

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

が成立する。

 

さて、今回は斉次型作用素 \dot{A} に対するtrace空間を定義し、補間空間との位相同型性をみていきましょう。trace空間 \dot{D}_A(\theta,q) は次で定義します。

\begin{gather} \dot{D}_A(\theta,q)=\left\{ z \in X+D(\dot{A}) \, \left| \, \|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)} \lt \infty \right.\right\} \\ \|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)}=\|t^{1-\theta}\dot{A}e^{-tA}z\|_{L^q((0,\infty),dt/t:X)} \end{gather}

さて、では補題をみましょう。

 

(補題 2.9) 0 \lt \theta \lt 1 , \, 1 \le q \lt \infty とする。このとき

\begin{equation} \overline{D(A)}^{\|\cdot\|_{D_A(\theta,q)}}=D_A(\theta,q) , \quad \overline{D(A)}^{\|\cdot\|_{(X,D(\dot{A}) )_{\theta,q}}}=(X,D(\dot{A}) )_{\theta,q} \end{equation}

が成立する。

 

これは簡単です。先に見たように 1 \le q \lt \infty に対して

\begin{equation} \overline{D(A)}^{\|\cdot\|_{(X,D(A) )_{\theta,q}}}=(X,D(A) )_{\theta,q} \end{equation}

であり、位相同型の意味で (X,D(A) )_{\theta,q}=D_A(\theta,q) なので、前者は従います。では後者はというと、これは仮定(iv)より

\begin{equation} D(A)=D(\dot{A})\cap X \subset (X,D(\dot{A}) )_{\theta,q} \end{equation}

なので、先の稠密性より従います。

 

(補題 2.10) 0 \lt \theta \lt 1 , \, 1 \le q \le \infty とする。 z \in \dot{D}_A(\theta,q) に対して

\begin{equation}\begin{split} &\left\| t^{-\theta}\int_0^t\|\dot{A}e^{-sA}z\|_Xds+t^{1-\theta}\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &\le \left(1+\frac{1}{\theta}\right)\|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)} \end{split}\end{equation}

が成立する。

 

これは \dot{D}_A(\theta,q) の定義から

\begin{equation}\left\| t^{1-\theta}\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} =\|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)} \end{equation}

なので、積分の項をなんとかすればいいです。これはHardyの不等式を使います。

 

(Hardyの不等式) 1 \le q \le \infty , \, \beta \lt 1-1/q とする。このとき、実数値関数 f:(0,\infty) \to \mathbb{R} に対して

\begin{equation} \left\| t^{\beta -1}\int_0^t f(s)ds \right\|_{L^q(0,\infty)} \le \frac{1}{1-\beta-1/q}\|t^{\beta}f(t)\|_{L^q(0,\infty)} \end{equation}

が成立する。

 

証明は前の記事でやりました。

 

sushitemple.hatenablog.jp

 

さてここでは

\begin{equation} \beta =1-\theta-1/q , \quad f(s)=\|\dot{A}e^{-sA}z\|_X \end{equation}

とすれば条件を満たすので、計算しましょう。

\begin{equation} \left\| t^{-\theta-1/q}\int_0^t \|\dot{A}e^{-sA}z\|_Xds \right\|_{L^q(0,\infty)} \le \frac{1}{\theta}\left\| t^{1-\theta-1/q} \|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q(0,\infty)} \end{equation}

ここで左辺と右辺はそれぞれ

\begin{equation}\begin{split} \left\| t^{-\theta-1/q}\int_0^t \|\dot{A}e^{-sA}z\|_Xds \right\|_{L^q(0,\infty)}&=\left\| t^{-\theta}\int_0^t \|\dot{A}e^{-sA}z\|_Xds \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ \frac{1}{\theta}\left\| t^{1-\theta-1/q} \|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q(0,\infty)}&=\frac{1}{\theta}\left\| t^{1-\theta} \|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &=\frac{1}{\theta} \|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)}\end{split}\end{equation}

なので、結局

\begin{equation}\begin{split} &\left\| t^{-\theta}\int_0^t\|\dot{A}e^{-sA}z\|_Xds+t^{1-\theta}\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &\le \left\| t^{-\theta}\int_0^t\|\dot{A}e^{-sA}z\|_Xds \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} +\left\|t^{1-\theta}\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &\le \left(1+\frac{1}{\theta}\right)\|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)} \end{split}\end{equation}

が示されましたね。

 

さて、ではいよいよ位相同型性を示しましょう！！

 

(命題 2.11) 0 \lt \theta \lt 1 , \, 1 \le q \le \infty とする。このとき

\begin{equation} (X,D(\dot{A}) )_{\theta,q}=\dot{D}_A(\theta,q) \end{equation}

が位相同型の意味で成立する。

 

さて、まずは z \in (X,D(\dot{A}) )_{\theta,q} \subset X+D(\dot{A}) としましょう。このとき x \in X, \, y \in D(\dot{A}) を用いて z=x+y と表しておきましょう。すると命題 2.6より

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}z=\dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

が成立し、また仮定(i)より \{e^{-tA}\}_{t \ge 0} は有界解析 C_0 半群なので、 \dot{A}y \in X にも注意すれば

\begin{equation} \|Ae^{-tA}x\|_X \le \frac{C}{t}\|x\|_X , \quad \|e^{-tA}\dot{A}y\|_X \le C\|\dot{A}y\|_X \end{equation}

が成立します。したがって

\begin{equation}\begin{split} t\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X &\le t\|Ae^{-tA}x\|_X+t\|e^{-tA}\dot{A}y\|_X \\ &\le C\left( \|x\|_X+t\|\dot{A}y\|_X \right) \\ &= C\left( \|x\|_X+t\|y\|_{D(\dot{A})} \right) \end{split}\end{equation}

が成立するわけですが、 x \in X, \, y \in D(\dot{A}) は z=x+y を満たせばなんでもよいので、この下限を考えれば

\begin{equation} t\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \le CK(t,z) \end{equation}

が得られます。これより

\begin{equation}\begin{split} \|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)}&=\|t^{1-\theta}\dot{A}e^{-tA}z\|_{L^q((0,\infty),dt/t:X)} \\ &=\left\|t^{1-\theta}\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X\right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &\le C\|t^{-\theta}K(t,z)\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &=C\|z\|_{(X,D(\dot{A}) )_{\theta,q}} \end{split}\end{equation}

が得られるので、 (X,D(\dot{A}) )_{\theta,q} \subset \dot{D}_A(\theta,q) ですね。逆はどうでしょうか。 z \in \dot{D}_A(\theta,q) としましょう。やはりこのときもある x \in X, \, y \in D(\dot{A}) でもって z=x+y と表せます。さて、拡張された半群の定義から

\begin{equation} e^{-tA}z=e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{equation}

が成立するわけですが、 x \in X に対しては、前回やったように通常の半群の性質から

\begin{equation} e^{-tA}x-x=-A\int_0^te^{-sA}xds \end{equation}

が成立するので、これを代入して

\begin{equation}\begin{split} e^{-tA}z&=x-A\int_0^te^{-sA}xds+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \\ &=z-A\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{split}\end{equation}

が得られます。命題 2.6から

\begin{equation} \dot{A}e^{-sA}z=\dot{A}e^{-sA}(x+y)=Ae^{-sA}x+e^{-sA}\dot{A}y \end{equation}

が成立していることに注意しましょう。補題 2.10によれば

\begin{equation} \int_0^t\|\dot{A}e^{-sA}z\|_Xds \lt \infty \end{equation}

であり、また \dot{A}y \in X より

\begin{equation} \int_0^t\|e^{-sA}\dot{A}y\|_Xds \le C\int_0^t\|\dot{A}y\|_Xds \lt \infty \end{equation}

なので、自動的に

\begin{equation} \int_0^t\|Ae^{-sA}x\|_Xds \lt \infty \end{equation}

が従います。これより

\begin{equation} A\int_0^te^{-sA}xds=\int_0^tAe^{-sA}xds \end{equation}

が成立するので、

\begin{equation}\begin{split} e^{-tA}z &=z-A\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \\ &=z-\int_0^tAe^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \\ &=z-\int_0^t(Ae^{-sA}x+e^{-sA}\dot{A}y)ds \\ &=z-\int_0^t \dot{A}e^{-sA}z ds \end{split}\end{equation}

と変形できます。したがって

\begin{equation}z=e^{-tA}z+\int_0^t \dot{A}e^{-sA}z ds \end{equation}

ですね。さて、ここで命題 2.6から e^{-tA}z \in D(\dot{A}) であり、また \dot{A}e^{-sA}z \in X なので、

\begin{equation}\begin{split} K(t,z) &\le \left\| \int_0^t \dot{A}e^{-sA}z ds \right\|_X+t\|e^{-tA}z\|_{D(\dot{A})} \\ &\le \int_0^t \| \dot{A}e^{-sA}z \|_Xds+t\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \end{split}\end{equation}

が得られます。したがって命題 2.10より

\begin{equation}\begin{split} &\|z\|_{(X,D(\dot{A}) )_{\theta,q}} \\ &=\|t^{-\theta}K(t,z)\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &\le \left\| t^{-\theta}\int_0^t \| \dot{A}e^{-sA}z \|_Xds+t^{1-\theta}\|\dot{A}e^{-tA}z\|_X \right\|_{L^q((0,\infty),dt/t)} \\ &\le \left(1+\frac{1}{\theta}\right)\|z\|_{\dot{D}_A(\theta,q)} \end{split}\end{equation}

となり (X,D(\dot{A}) )_{\theta,q}=\dot{D}_A(\theta,q) が示されました！！

 

さて、今回はこのくらいにしておきましょう。次回はさらに発展的な内容を扱っていきます。最終的には最大正則性評価を目指します！！がんばりましょう！！

Hardyの不等式

こんにちは。ひよこてんぷらです。今日はHardyの不等式をやりましょう。証明は変数変換で指数型にするのが主流だと思っていましたが、Wikipediaだともっとシンプルな変数変換だったのでそちらを参考にしました。ではやりましょう。

 

(Hardyの不等式) 1 \le p \le \infty , \, \beta \lt 1-1/p , \, 0 \lt T \le \infty とする。このとき、norm空間 X に値を取る関数 f:(0,\infty) \to X に対して

\begin{equation} \left\| t^{\beta -1}\int_0^t f(s)ds \right\|_{L^p((0,T):X)} \le \frac{1}{1-\beta-1/p}\|t^{\beta}f(t)\|_{L^p((0,T):X)} \end{equation}

が成立する。

 

さて、まずは変数変換 s=t\theta によって

\begin{equation} t^{\beta -1}\int_0^t f(s)ds=t^{\beta -1}\int_0^1 f(t \theta) td\theta=\int_0^1 t^{\beta}f(t \theta) d\theta \end{equation}

が得られますので、両辺の L^p normを取れば

\begin{equation}\begin{split} \left\| t^{\beta -1}\int_0^t f(s)ds \right\|_{L^p((0,T):X)} &=\left\|\int_0^1 t^{\beta}f(t \theta) d\theta \right\|_{L^p((0,T):X)} \\ &\le \int_0^1\|t^{\beta}f(t \theta)\|_{L^p((0,T):X)}d\theta \end{split}\end{equation}

となります。ここで 1 \le p \lt \infty のときは再び変数変換 \theta t=t' によって

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1\|t^{\beta}f(t \theta)\|_{L^p((0,T):X)}d\theta \\  &=\int_0^1 \left(\int_0^T \|t^{\beta}f(t \theta)\|_X^p dt\right)^{\frac{1}{p}} d\theta \\ &=\int_0^1 \left(\int_0^{\theta T} \|\theta^{-\beta} t'^{\beta}f(t')\|_X^p \theta^{-1} dt'\right)^{\frac{1}{p}} d\theta \\ &=\int_0^1 \theta^{-\beta-1/p} \left(\int_0^{\theta T} \| t^{\beta}f(t)\|_X^p dt\right)^{\frac{1}{p}} d\theta \\ &\le \int_0^1 \theta^{-\beta-1/p}d\theta \left(\int_0^T \| t^{\beta}f(t)\|_X^p dt\right)^{\frac{1}{p}} \\ &=\left[ \frac{\theta^{1-\beta-1/p}}{1-\beta-1/p} \right]_0^1\|t^{\beta}f(t)\|_{L^p((0,T):X)} \\ &=\frac{1}{1-\beta-1/p}\|t^{\beta}f(t)\|_{L^p((0,T):X)} \end{split}\end{equation}

が成立しますね。 p=\infty の場合も同様にして

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1\|t^{\beta}f(t \theta)\|_{L^{\infty}((0,T):X)}d\theta \\ &=\int_0^1 \sup_{0 \le t \le T}\|t^{\beta}f(t \theta)\|_X d\theta \\ &=\int_0^1 \sup_{0 \le t' \le \theta T} \|\theta^{-\beta} t'^{\beta}f(t')\|_X d\theta \\ &=\int_0^1 \theta^{-\beta} \sup_{0 \le t \le \theta T} \| t^{\beta}f(t)\|_X d\theta \\ &\le \int_0^1 \theta^{-\beta}d\theta \sup_{0 \le t \le T} \| t^{\beta}f(t)\|_X \\ &=\left[ \frac{\theta^{1-\beta}}{1-\beta} \right]_0^1\|t^{\beta}f(t)\|_{L^{\infty}((0,T):X)} \\ &=\frac{1}{1-\beta}\|t^{\beta}f(t)\|_{L^{\infty}((0,T):X)} \end{split}\end{equation}

というわけで証明完了です！！おしまい！！

斉次型作用素論の勉強

どうもこんにちは。ひよこてんぷらです。

 

今回は現在arXivにて公開されている次の論文「Free Boundary Problems via Da Prato-Grisvard Theory」(なんと70ページ！！)の2章を読んでいきたいと思います。内容としては、通常の作用素から斉次型空間に対応する斉次型作用素を定義し、いろいろな性質を見ていくというやつです。

 

初めに仮定を設定しておきます。

 

(仮定 2.1)

(i) X をBanach空間とし、線形作用素

\begin{equation} A:D(A) \to X \end{equation}

を考える。 -A は X 上の有界解析 C_0 半群 \{e^{-tA}\}_{t \ge 0} の生成作用素とする。

(ii) A は単射であるとする。すなわち任意の x \in D(A) に対して、 Ax=0 ならば x=0 とする。

(iii) D(A) \subset Y であって、 \|A \cdot\|_X と \|\cdot\|_Y が D(A) 上同値となるようなnorm空間 Y が存在する。すなわち任意の x \in D(A) に対して

\begin{equation} C^{-1}\|Ax\|_X \le \|x\|_Y \le C\|Ax\|_X \end{equation}

とする。

 

例えばこの仮定を満たす例として、次のLaplacian

\begin{equation} -\Delta : H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \to L^p(\mathbb{R}^n) \end{equation}

に対して Y=\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) が考えられます。これについては後で詳しく見るとして、大体のイメージはこのような斉次型空間に対応する理論の構築だと思ってください。

 

では斉次型作用素を定義しましょう。定義自体はそこまで難しくはないです。まず定義域を D(\dot{A})=\overline{D(A)}^{\|\cdot\|_Y} とします。つまり Y での閉包を取っているということですね。仮定(iii)の D(A) \subset Y に注意すれば、この関係から

\begin{equation} D(A) \subset D(\dot{A}) \subset Y \end{equation}

が分かります。作用素の定義はいわゆる有界作用素の拡張と同じようにします。すなわち、定義域の定義から各 y \in D(\dot{A}) を点列 \{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A) で Y の位相で近似できるため、

\begin{equation} \dot{A}y=\lim_{j \to \infty}Ax_j \quad \text{in } X \end{equation}

として定義できます。さて、定義域の包含関係と \dot{A} の定義のされ方から、 A \subset \dot{A} が分かります。つまり、 y \in D(A) に対しては点列で近似する必要はなく \dot{A}y=Ay ということです。このことは後でよく使いますから注意しましょう。

 

(注意 2.3) このように定義した作用素 \dot{A} はwell-definedです。つまり、近似列によらず極限が存在し、 \dot{A}y \in X です。実際、仮定(iii)のnormの同値性から近似列 \{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A) に対して

\begin{equation} \|Ax_j-Ax_k\|_X \le C\|x_j-x_k\|_Y \to 0 \quad (j,k \to \infty) \end{equation}

ですから \{Ax_j\}_{j=1}^{\infty} \subset X はCauchy列であり、 X の完備性から極限が存在します。では一意性に関しては、y に収束する2つの近似列

\begin{equation} \{x_j\}_{j=1}^{\infty} , \{x'_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A) \end{equation}

を取りましょう。いま示したことから極限は存在するので、

\begin{equation} \xi=\lim_{j \to \infty}Ax_j \quad \text{in } X , \quad \xi'=\lim_{j \to \infty}Ax'_j \quad \text{in } X \end{equation}

とします。すると再びnormの同値性から

\begin{equation}\begin{split} &\|\xi-\xi'\|_X \\ &\le \|\xi-Ax_j\|_X+\|Ax_j-Ax'_j\|_X+\|Ax'_j-\xi'\|_X \\ &\le \|\xi-Ax_j\|_X+C\|x_j-x'_j\|_Y+\|Ax'_j-\xi'\|_X \\ &\le \|\xi-Ax_j\|_X+C\|x_j-y\|_Y+C\|y-x'_j\|_Y+\|Ax'_j-\xi'\|_X \\ &\to 0 \quad (j \to \infty) \end{split}\end{equation}

が成立します。ゆえに一意性も成立し、この極限を \dot{A}y と書くと \dot{A}y \in X です。

 

さて、この定義域 D(\dot{A}) の空間には斉次型のnorm \|\cdot\|_{D(\dot{A})}=\|\dot{A} \cdot\|_X を導入することでnorm空間になります。normとなるためには y \in D(\dot{A}) に対して \|y\|_{D(\dot{A})}=0 ならば y=0 ということを示す必要がありますが、これは次の補題より従います。

 

(補題 2.4) \dot{A} は単射である。すなわち \dot{A}y=0 ならば y=0 である。

 

実際、近似列 \{x_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A) をとれば、normの同値性および連続性から

\begin{equation}\begin{split} 0 &=\|\dot{A}y\|_X=\left\| \lim_{j \to \infty}Ax_j \right\|_X =\lim_{j \to \infty}\|Ax_j\|_X \\ &\ge C\lim_{j \to \infty}\|x_j\|_Y=C\left\| \lim_{j \to \infty} x_j\right\|_Y=C\|y\|_Y \end{split}\end{equation}

となり、 y=0 が従いますね。

 

さて、もし \|y\|_{D(\dot{A})}=0 ならば \|\dot{A} y\|_X=0 であり、 X は既にnormであることが分かっているので \dot{A}y=0 です。ゆえに y=0 となり D(\dot{A}) は \|\cdot\|_{D(\dot{A})} をnormに持つということが分かりました。

 

さて、ここまでで基本的な定式化を行いましたが、 \dot{A} が定義できたということで、さらに新たな仮定を課します。

 

(仮定 2.5)

(iv) D(\dot{A}) \cap X=D(A) とする。

 

さて、これで準備は完了です。ここで先ほど考えていた具体例を検討しましょう。すなわち、Laplacian

\begin{equation} -\Delta : H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \to L^p(\mathbb{R}^n) \end{equation}

に対して Y=\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) が具体例となっていることを確かめましょう。なお、 1 \lt p \lt \infty とし、多項式の商空間上で考えているとします。まずこれが半群 \{e^{t\Delta}\}_{t \ge 0} を生成するという話はよく知られているのでいいでしょう。normの同値性は明らかです。というのも斉次Sobolev空間 \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) のnormは

\begin{equation} \|\cdot\|_{\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)}=\|(-\Delta) \cdot\|_{L^p(\mathbb{R}^n)} \end{equation}

で与えられるからです。また、 H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \subset \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) なので、仮定(iii)も大丈夫ですね。これと \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) が多項式の商空間上ではnorm空間となることから仮定(ii)の単射性も満たされます。すなわち f \in H^{2,p}(\mathbb{R}^n) が -\Delta f=0 を満たすならば f=0 です。そして仮定(iv)も

\begin{equation} D(-\dot{\Delta})=\overline{H^{2,p}(\mathbb{R}^n)}^{\|\cdot\|_{\dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n)}} \end{equation}

より H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \subset D(-\dot{\Delta}) \subset \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) ですから、さらに L^p(\mathbb{R}^n) との共通部分をとって

\begin{equation} H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n) \subset D(-\dot{\Delta}) \cap L^p(\mathbb{R}^n) \subset \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n) \end{equation}

を得ます。ここで

\begin{equation}\begin{split} H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n)&=H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \\ \dot{H}^{2,p}(\mathbb{R}^n) \cap L^p(\mathbb{R}^n) &= H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \end{split}\end{equation}

なので(下の等式は補間の関係より従います)

\begin{equation} D(-\dot{\Delta}) \cap L^p(\mathbb{R}^n)=H^{2,p}(\mathbb{R}^n) \end{equation}

よりOKです。

 

というわけで、基本的にこの手の議論はこの具体例を強く意識した一般化となっていることに注意しましょう。ではこれらの仮定を認めたうえで、次の半群を定義しましょう。

 

x \in X , \, y \in D(\dot{A}) , \, t \gt 0 に対して次の拡張された半群

\begin{gather} e^{-tA}:X+D(\dot{A}) \to X+D(\dot{A}) \\ e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{gather}

を定義します。

 

さて、この定義では拡張された半群も同じ記号 e^{-tA} で書いていますが、右辺の半群は通常の X 上の半群です。なんでこんな定義なのか？ということですが、普通に半群として分配すれば e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+e^{-tA}y なので、 D(\dot{A}) 上でどう定義するのが適切かという問題になります。ここで、 x \in X に対しては

\begin{equation} \int_0^te^{-sA}xds \in D(A) \quad \text{and} \quad -A\int_0^te^{-sA}xds=e^{-tA}x-x \end{equation}

が成立することに注意しましょう。実際、 x \in D(A) に対しては

\begin{equation} -Ax=\lim_{h \to +0}\frac{1}{h}( e^{-hA}x-x) \quad \text{in } X \end{equation}

と定義されているので、

\begin{equation}\begin{split} & e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( e^{-hA}\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &= e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( \int_0^te^{-(s+h)A}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &= e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( \int_h^{t+h}e^{-s'A}xds'-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &= e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( \int_t^{t+h}e^{-sA}xds-\int_0^he^{-sA}xds \right) \\ &=\frac{1}{h}\int_t^{t+h}(e^{-tA}x-e^{-sA}x)ds+\frac{1}{h}\int_0^h(e^{-sA}x-x)ds \end{split}\end{equation}

が成立します。あとは \{e^{-tA}\}_{t \ge 0} が C_0 半群であることに注意して

\begin{equation}\begin{split} & \left\|e^{-tA}x-x-\frac{1}{h}\left( e^{-hA}\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right)\right\|_X \\ &\le \frac{1}{h}\int_t^{t+h}\|e^{-tA}x-e^{-sA}x\|_Xds+\frac{1}{h}\int_0^h\|e^{-sA}x-x\|_Xds \\ &\le \sup_{t \le s \le t+h}\|e^{-tA}x-e^{-sA}x\|_X+\sup_{0 \le s \le h}\|e^{-sA}x-x\|_X \\ &\to 0 \quad (h \to +0) \end{split}\end{equation}

すなわち

\begin{equation}\begin{split} &-A\int_0^te^{-sA}xds \\ &=\lim_{h \to +0}\frac{1}{h}\left( e^{-hA}\int_0^te^{-sA}xds-\int_0^te^{-sA}xds \right) \\ &=e^{-tA}x-x \end{split}\end{equation}

ですね。さらに x \in D(A) なら

\begin{equation} \int_0^t \|Ae^{-sA}x\|_X ds =\int_0^t \|e^{-sA}Ax\|_X ds \le C\int_0^t\|Ax\|_X \lt \infty \end{equation}

より

\begin{equation} e^{-tA}x-x =-\int_0^te^{-sA}Axds \end{equation}

なわけですので、 y \in D(\dot{A}) に対して

\begin{equation} e^{-tA}y =y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{equation}

と定義すればしっくりきますね。そういうわけで上の定義となっています。

 

(命題 2.6) 上で定義した拡張された半群はwell-definedである。また、 e^{-tA}(x+y) \in D(\dot{A}) であり

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

が成立する。

 

さて、well-definedとは何を示せばいいかというと、 x+y の表示の仕方によらないということですね。すなわち x_1+y_1=x_2+y_2 なら e^{-tA}(x_1+y_1)=e^{-tA}(x_2+y_2) を示しましょう。ここで仮定(iv)が効いてきます。実際、

\begin{equation} x_1-x_2=-y_1+y_2 \in X \cap D(\dot{A})=D(A) \end{equation}

が成立します。左辺が X 右辺が D(\dot{A}) に属していることがそれぞれ言えるため、仮定(iv)より D(A) に属していることが言えます。したがって

\begin{equation} \dot{A}(y_1-y_2)=A(y_1-y_2) \end{equation}

としてよいですね。さらに先に確認した関係から

\begin{equation} e^{-tA}(y_1-y_2)-(y_1-y_2) =-\int_0^te^{-sA}A(y_1-y_2)ds \end{equation}

なので、これも使います。さらに x_1-x_2=-y_1+y_2 にも注意して、

\begin{equation}\begin{split} &e^{-tA}(x_1+y_1) \\ &=e^{-tA}x_1+y_1-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_1 ds \\ &=e^{-tA}x_1+y_1-\int_0^te^{-sA}A(y_1-y_2)ds-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}x_1+y_1 +e^{-tA}(y_1-y_2)-(y_1-y_2)-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}x_1-e^{-tA}(x_1-x_2)+y_2-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}x_2+y_2-\int_0^te^{-sA}\dot{A}y_2 ds \\ &=e^{-tA}(x_2+y_2)\end{split}\end{equation}

が示されました！！なかなか式変形がややこしいので慎重に計算していきましょう。これでwell-definedなのはいいですね。次に e^{-tA}(x+y) \in D(\dot{A}) かつ

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

を見ましょう。まずは定義

\begin{equation} e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{equation}

をじっくり眺めます。解析半群の性質から x \in X に対して e^{-tA}x \in D(A) \subset D(\dot{A}) なのはいいでしょう。また \dot{A} の定義から y \in D(\dot{A}) に対して \dot{A}y \in X なので、 e^{-tA}\dot{A}y \in D(A) および

\begin{equation} \int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \in D(A) \subset D(\dot{A}) \end{equation}

が分かります。したがって e^{-tA}(x+y) \in D(\dot{A}) ですね。そしてこれに \dot{A} を作用させると

\begin{equation}\begin{split} \dot{A}e^{-tA}(x+y) &=Ae^{-tA}x+\dot{A}y-A\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{split}\end{equation}

ですが、 \dot{A}y \in X なので先に見たように普通の半群として

\begin{equation} e^{-tA}\dot{A}y-\dot{A}y =-A\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \end{equation}

が成立します。したがって

\begin{equation} \dot{A}e^{-tA}(x+y)=Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}y \end{equation}

が成立します。

 

(注意 2.7) このように拡張した半群 \{e^{-tA}\}_{t \ge 0} もまた、半群としての性質を満たします。すなわち、任意の x \in X , \, y \in D(\dot{A}) , \, s,t \gt 0 に対して

\begin{equation} e^{-(s+t)A}(x+y)=e^{-sA}e^{-tA}(x+y) \end{equation}

が成立します。さて、まず任意の z \in D(\dot{A}) に対して e^{-sA}\dot{A}z=\dot{A}e^{-sA}z であることを確認しましょう。しかしこれはすぐに分かり、実際 \dot{A}z \in X より普通の半群として

\begin{equation} e^{-sA}\dot{A}z-\dot{A}z =-A\int_0^te^{-s'A}\dot{A}zds' \end{equation}

なので、拡張された半群の定義から

\begin{equation}\begin{split} e^{-sA}\dot{A}z &=\dot{A}z-A\int_0^te^{-s'A}\dot{A}zds' \\ &=\dot{A}\left( z-\int_0^te^{-s'A}\dot{A}zds' \right) \\ &=\dot{A}e^{-sA}z \end{split}\end{equation}

となり従います。さて、後は命題 2.6を使えばOKです。実際、

\begin{equation}\begin{split} \dot{A}e^{-(s+t)A}(x+y) &=Ae^{-(s+t)A}x+e^{-(s+t)A}\dot{A}y \\ &=Ae^{-sA}e^{-tA}x+e^{-sA}e^{-tA}\dot{A}y \\ &=e^{-sA}(Ae^{-tA}x+e^{-tA}\dot{A}) \\ &=e^{-sA}\dot{A}e^{-tA}(x+y) \end{split}\end{equation}

が成立しますね。途中で使っている半群の性質は普通の半群としての性質であることに注意しましょう。さてここで初めに示した性質から

\begin{equation} e^{-sA}\dot{A}e^{-tA}(x+y)=\dot{A}e^{-sA}e^{-tA}(x+y) \end{equation}

なので、これを代入すると

\begin{equation}\dot{A}\left(e^{-(s+t)A}(x+y)-e^{-sA}e^{-tA}(x+y) \right)=0 \end{equation}

となります。補題 2.4より \dot{A} は単射なので、これより

\begin{equation}e^{-(s+t)A}(x+y)-e^{-sA}e^{-tA}(x+y) =0 \end{equation}

が従い、証明できました！！

 

(補題 2.8) z \in X+D(\dot{A}) が任意の t \gt 0 に対して \dot{A}e^{-tA}z=0 を満たすならば z=0 である。

 

さて、 x \in X , \, y \in D(\dot{A}) を用いて z=x+y と表示しておきましょう。このとき x=-y を示せばいいですね。まず補題 2.4より \dot{A} は単射なので \dot{A}e^{-tA}(x+y)=0 より直ちに e^{-tA}(x+y)=0 が従います。そして半群の定義から

\begin{equation} e^{-tA}(x+y)=e^{-tA}x+y-\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds=0 \end{equation}

ですが、これより

\begin{equation} y=-e^{-tA}x+\int_0^te^{-sA}\dot{A}yds \in D(A) \end{equation}

が分かります。右辺が D(A) に属するから y \in D(A) が従うということですね。つまりこれは y \in D(A) に対しても普通の半群としての性質が使えるということで、

\begin{equation} \int_0^te^{-sA}\dot{A}yds=\int_0^te^{-sA}Ayds=e^{-tA}y-y \end{equation}

とできるわけです。これを上に代入して

\begin{equation} y=-e^{-tA}x+e^{-tA}y-y \end{equation}

が得られますが、仮定(i)から \{e^{-tA}\}_{t \ge 0} は C_0 半群なので t \to +0 とすれば y=-x が得られます。ゆえに証明終了です！！

 

さて、ここまでで斉次型作用素 \dot{A} の基本的な性質を見てきました。次回は補間理論なども駆使しながら、より詳細な解析を行っていきたいと思います。よろしくお願いします。

Besov空間B_{∞,∞}^0について

こんにちは。ひよこてんぷらです。今回はBesov空間 B_{\infty,\infty}^0 の性質を見ていきたいと思います。

 

まず初めに一般のBesov空間の定義を確認しておきます。僕がいままで研究で扱ってきたのは斉次型の空間 \dot{B}_{p,q}^s なので、非斉次型の空間 B_{p,q}^s とは定義が少し違います。まずは

\begin{gather} \varphi \in C_0^{\infty} \quad \text{with} \quad \text{supp } \varphi \subset \left\{ \xi \in \mathbb{R}^n \, | \, 1/2 \le |\xi| \le 2 \right\} \\ \text{and} \quad \sum_{j=-\infty}^{\infty} \varphi (2^{-j}\xi)=1 \quad {}^{\forall} \xi \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \end{gather}

なるような関数 \varphi を取ってきます。そして \{\varphi_j\}=\{\mathcal{F}^{-1} [\varphi (2^{-j}\xi) ]\} と定義します。ここまでは斉次型と同じです。ここで次の関数

\begin{equation} 1-\sum_{j=1}^{\infty} \varphi (2^{-j}\xi) \end{equation}

を考えます。これは \xi \neq 0 においては  \sum_{j=-\infty}^0 \varphi (2^{-j}\xi) に等しいので、 \varphi のsupportに注意しながら考えるとこの関数のsupportは 0 \le |\xi| \le 2 に含まれることが分かります。これを踏まえて関数 \psi を \psi =\mathcal{F}^{-1}[ 1-\sum_{j=1}^{\infty} \varphi (2^{-j}\xi) ] と定義しましょう。

 

ここでBesov空間 B_{p,q}^s=B_{p,q}^s(\mathbb{R}^n) を次のnorm

\begin{equation} \|f\|_{B_{p,q}^s} = \left\{\begin{aligned} & \|\psi*f\|_{L^p}+\left\{\sum_{j=1}^{\infty} \left(2^{sj}\|\varphi_j*f\|_{L^p}\right)^q \right\}^{\frac{1}{q}} & 1 \le q \lt \infty \\ &\|\psi*f\|_{L^p}+\sup_{j \in \mathbb{N}} \left\{ 2^{sj}\|\varphi_j*f\|_{L^p} \right\} & q=\infty , \end{aligned}\right. \end{equation}

が有限となるような超関数と定義します。斉次型の空間に比べて定義がやや複雑になりましたが、実際は非斉次型のほうが何かと計算時の都合はよいです。

 

さて、今回は特に B_{\infty,\infty}^0 を調べたいので、その際のnormは

\begin{equation} \|f\|_{B_{\infty,\infty}^0} = \|\psi*f\|_{L^{\infty}}+\sup_{j \in \mathbb{N}} \|\varphi_j*f\|_{L^{\infty}} \end{equation}

で与えられます。だいぶすっきりしましたね。

 

では本題に移りましょう。Besov空間は、現在では超関数を扱えるような空間として偏微分方程式論においてたびたび登場する関数空間です。ここでBesov空間 B_{p,q}^s の持つ指数 p,s はそれぞれ可積分指数、微分階数に相当するものです。 s はすべての実数に対して定義されるわけですので、負の場合も考えられます。一般に微分階数が負の場合は非常に正則性が悪い空間ということで、普通の関数として扱えないような超関数が含まれることが想定されます。他方、 s が正の場合は普通の関数としてみることができます。なぜならば、補間理論により次の関係

\begin{equation} B_{p,1}^s \subset H^{s,p} \subset B_{p,\infty}^s \end{equation}

が成立するからです。 H^{s,p} はSobolev空間(Bessel potential空間)です。微分階数 s が正ならこれは普通の L^p より狭い空間ですから、 H^{s,p} に属していればもう普通の関数です。しかしこの関係からは B_{p,\infty}^s に属する場合は H^{s,p} より広い空間であるということしか分かりませんが、実は指数 q は非常に弱い指数であり、実際微分階数を少し下げればどうにでもできます。すなわち

\begin{equation}  B_{p,\infty}^s \subset B_{p,1}^{s-\delta} \end{equation}

ということです。ですから微分階数 s が正なら例えば微分階数を s/2 とでもすれば q の値は 1 にできるため、先の議論に帰着されます。僕はこれを s が整数部分なら q は小数部分であるという風に解釈しました。つまり整数部分の大小関係が絶対であり、整数部分が同じなら小数部分が大小関係を決める、ということです。なお、この議論は斉次型空間 \dot{B}_{p,q}^s では使えないことに注意しましょう！！ここらへんの理解度が浅かったころは、変な誤解を繰り返していました……

 

さて、では s=0 の場合はどうか？これは非常に怪しいラインです。先の補間理論から

\begin{equation} B_{p,1}^0 \subset L^p \subset B_{p,\infty}^0 \end{equation}

が分かりますから、特に q=\infty の場合はどうなるのかということが気になったわけです。この場合は L^p より広いということしか分からず、もしかしたら超関数かもしれないし、そうでないかもしれない……

 

ということで今回は p=\infty としたBesov空間 B_{\infty,\infty}^0 は局所可積分関数 L_{\mathrm{loc}}^1 に含まれないということを証明しましょう。 L_{\mathrm{loc}}^1 は通常、超関数を考えるうえでもっとも基本的となる関数空間であり、いわゆる「普通の関数」の代表格として扱われています。Besov空間の定義における超関数はいわゆる緩増加超関数 \mathscr{S}^* であり、Fourier変換などを扱ううえで基本的な超関数ですが、 L_{\mathrm{loc}}^1 はさらに広い超関数 \mathscr{D}^* においても双対関係

\begin{equation} \left< f,g \right>=\int_{\mathbb{R}^n}f(x)g(x)dx \quad \text{for all } g \in C_0^{\infty} \end{equation}

によって同一視が可能です。

 

しかし今回証明しようとしていることは、そんな非常に広い関数空間 L_{\mathrm{loc}}^1 をもってしてもBesov空間 B_{\infty,\infty}^0 はカバーしきれない、ということです。では証明してみましょう。証明は先輩が教えてくれました。ありがとうございます。ちなみに宮地「ユークリッド空間上のフーリエ解析I(朝倉書店)」が参考となっています。

 

ここで前回の記事を紹介しておきます。

sushitemple.hatenablog.jp

ここでは、Rademacher関数系 \{r_k(t)\}_{k \in \mathbb{N}} を導入すると、任意の 1 \le p \lt \infty , \, N \in \mathbb{N} と複素数列 \{a_k\}_{k=1}^N \subset \mathbb{C} に対して次のKhintchineの不等式

\begin{equation} C_p^{-1}\left( \sum_{k=1}^Na_k^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le \left\| \sum_{k=1}^N a_k r_k(\cdot) \right\|_{L^p(0,1)} \le C_p\left( \sum_{k=1}^Na_k^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

が成立することを証明しています。なんと、今回はこれを使って証明します！！

 

さて、ではいきましょう。背理法を使います。すなわち、任意の f \in B_{\infty,\infty}^0 に対して f \in L_{\mathrm{loc}}^1 であったと仮定しましょう。局所可積分なわけですから、任意のcompact集合 K \subset \mathbb{R}^n に対して f \in L^1(K) としてよいです。もとの関数は \mathbb{R}^n 上で定義されていますが、定義域も K に制限してしまいましょう。この K は以下固定します。そこで次の埋め込み作用素

\begin{equation} E_K:B_{\infty,\infty}^0 \to L^1(K) , \quad E_Kf=f \end{equation}

を定義します。これはなんてことない、仮定の埋め込みから得られる、位相だけを変える作用素です。これが閉作用素であることを見ましょう。そうであれば、 E_K の定義域 B_{\infty,\infty}^0 はBanach空間ですから、閉graph定理よりこれは有界作用素であることが示されます。さて、では閉作用素であることを示すために、関数列 \{f_j\}_{j=1}^{\infty} \subset B_{\infty,\infty}^0 に対してある f \in B_{\infty,\infty}^0 および f^* \in L^1(K) が存在して

\begin{equation} \lim_{j \to \infty}\|f_j-f\|_{B_{\infty,\infty}^0}=0 , \quad \lim_{j \to \infty}\|E_Kf_j-f^*\|_{L^1(K)}=0 \end{equation}

であったとしましょう。 f_j は f に B_{\infty,\infty}^0 の位相で収束しているわけですが、当然超関数 \mathscr{S}^* の位相でも収束しています。さらに仮定から B_{\infty,\infty}^0 \subset L_{\mathrm{loc}}^1 であるわけですから、 f_j,f \in L^1(K) としてよいです。したがって積分が定義できて、任意の g \in C_0^{\infty}(K) に対して

\begin{equation}\begin{split} &\int_K\{f(x)-f^*(x)\}g(x)dx \\ &=\int_K\{f(x)-f_j(x)\}g(x)dx+\int_K\{f_j(x)-f^*(x)\}g(x)dx \end{split}\end{equation}

となります。第1項は双対関係と \mathscr{S}^* での収束から

\begin{equation} \left|\int_K\{f(x)-f_j(x)\}g(x)dx\right| =\left| \left< f-f_j,g \right> \right| \to 0 \quad (j \to \infty) \end{equation}

第2項は E_Kf_j=f_j およびHölderの不等式から

\begin{equation} \left|\int_K\{f_j(x)-f^*(x)\}g(x)dx\right| \le \|E_Kf_j-f^*\|_{L^1(K)}\|g\|_{L^{\infty}(K)} \to 0 \quad (j \to \infty) \end{equation}

結局

\begin{equation} \int_K\{f(x)-f^*(x)\}g(x)dx=0 \end{equation}

が任意の g \in C_0^{\infty}(K) に対して成立するので、変分法の基本補題から K 上 f^*=f です。したがって f^*=E_Kf であり、閉作用素であることが示されました！！さて、ゆえに閉graph定理から E_K は有界作用素であり、したがって

\begin{equation} \|E_Kf\|_{L^1(K)} \le C_K\|f\|_{B_{\infty,\infty}^0} \end{equation}

すなわち

\begin{equation} \int_K|f(x)|dx \le C_K\|f\|_{B_{\infty,\infty}^0} \end{equation}

が成立します。

 

では次のステップに移りましょう。関数 \chi \in \mathscr{S} で

\begin{equation} \text{supp } \chi \subset \{\xi \in \mathbb{R}^n \, | \, 0 \lt |\xi| \le 1/2\}\end{equation}

を満たすようなものをとり、

\begin{equation} f_t^N(x) = \mathcal{F}^{-1}\left[ \sum_{k=1}^N r_k(t)\chi (\xi-2^ke_1) \right](x) \end{equation}

と定義します。さて、ここで 0 \le t \le 1 , \, N \in \mathbb{N} は任意であり、 \{r_k(t)\}_{k \in \mathbb{N}} はRademacher関数系です。また、 e_1=(1,0,\ldots , 0) とします。要するに \chi は原点付近でしか値を持たない関数で、 k が増えるたびに x_1 方向にsupportがどんどん遠ざかっていくということです。さて、これの B_{\infty,\infty}^0 におけるnormをみてみましょう。

\begin{equation}\begin{split} \|\varphi_j*f_t^N\|_{L^{\infty}}&=  \|(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}\varphi_j)*(\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f_t^N)\|_{L^{\infty}} \\ &= \|\mathcal{F}^{-1}[\varphi(2^{-j}\xi) \mathcal{F}f_t^N]\|_{L^{\infty}} \\ &\le \|\varphi(2^{-j}\xi) \mathcal{F}f_t^N\|_{L^1} \\ &= \left\|\varphi(2^{-j}\xi) \sum_{k=1}^N r_k(t)\chi (\xi-2^ke_1) \right\|_{L^1} \\ &\le \sum_{k=1}^{\infty} \|\varphi(2^{-j}\xi)\chi (\xi-2^ke_1)\|_{L^1} \end{split}\end{equation}

最後の積分の値を検討しましょう。supportの関係から、積分の値はほとんど消えます。実際、 \varphi の定義から \varphi(2^{-j}\xi) のsupportは

\begin{equation} 2^{j-1} \le |\xi| \le 2^{j+1} \end{equation}

であり、 \chi の定義から \chi(\xi-2^ke_1) のsupportは

\begin{equation} |\xi-2^ke_1| \le 1/2 \end{equation}

となります。三角不等式から

\begin{equation} \left| |\xi|-2^k \right| \le 1/2 \end{equation}

すなわち

\begin{equation} 2^k- 1/2 \le |\xi| \le 2^k+1/2 \end{equation}

を得るので、少なくともこの2つのsupportが共通部分を持たないと値を持ちません。したがって

\begin{equation} 2^k+1/2 \lt 2^{j-1} , \quad 2^{j+1} \lt 2^k -1/2 \end{equation}

を満たすような場合、すなわち |j-k| \ge 2 の場合は値を持たないことになります。というわけで、 j \ge 2 に対してHölderの不等式から

\begin{equation}\begin{split} \|\varphi_j*f_t^N\|_{L^{\infty}} &\le \sum_{k=1}^{\infty} \|\varphi(2^{-j}\xi)\chi (\xi-2^ke_1)\|_{L^1} \\ &= \sum_{k=j-1}^{j+1} \|\varphi(2^{-j}\xi)\chi (\xi-2^ke_1)\|_{L^1} \\ &\le \|\varphi\|_{L^{\infty}}\sum_{k=j-1}^{j+1}\|\chi (\xi-2^ke_1)\|_{L^1} \\ &\le 3\|\varphi\|_{L^{\infty}}\|\chi\|_{L^1}\end{split}\end{equation}

となります。 L^{\infty} のscale不変性と積分の平行移動不変性に注意しましょう。ゆえにこれは j にも t にも N にもよらない一様な定数です。他方 B_{\infty,\infty}^0 におけるもう一方の評価

\begin{equation} \|\psi*f_t^N\|_{L^{\infty}} \end{equation}

も同じようにできます。こちらも \mathcal{F}\psi のsupportが 0 \le |\xi| \le 2 に含まれることから十分大きな k に対しては値を持たず、やはり t にも N にもよらない一様な定数になります。というわけで f_t^N \in B_{\infty,\infty}^0 かつ \|f_t^N\|_{B_{\infty,\infty}^0} \le M としてよいでしょう。したがって、初めに示した不等式から

\begin{equation} \int_K|f_t^N(x)|dx \le C_K\|f_t^N\|_{B_{\infty,\infty}^0} \le MC_K \end{equation}

が得られます。

 

さて、再び f_t^N の定義に立ち戻れば、

\begin{equation}\begin{split} f_t^N(x) &= \mathcal{F}^{-1}\left[ \sum_{k=1}^N r_k(t)\chi (\xi-2^ke_1) \right](x) \\ &= \sum_{k=1}^N r_k(t)\mathcal{F}^{-1}[\chi (\xi-2^ke_1) ](x) \\ &= \sum_{k=1}^N r_k(t)e^{2^ki x_1}\mathcal{F}^{-1}[\chi](x) \end{split}\end{equation}

が成立するわけですが、ここで各 x \in K に対する複素数列 \{e^{2^kix_1}\mathcal{F}^{-1} [\chi ](x)\}_{k=1}^N \subset \mathbb{C} に対してKhintchineの不等式を用いれば、

\begin{equation} \left( \sum_{k=1}^N|e^{2^k ix_1}\mathcal{F}^{-1}[\chi](x)|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le C\left\| \sum_{k=1}^Nr_k(\cdot) e^{2^k ix_1}\mathcal{F}^{-1}[\chi](x) \right\|_{L^1(0,1)} \end{equation}

が得られます。左辺はすぐ分かるように N^{1/2}|\mathcal{F}^{-1}[\chi] (x)| ですね。右辺は

\begin{equation}\begin{split} C\left\| \sum_{k=1}^Nr_k(\cdot) e^{2^k ix_1}\mathcal{F}^{-1}[\chi](x) \right\|_{L^1(0,1)}&=C\int_0^1 \left| \sum_{k=1}^Nr_k(t)e^{2^k ix_1}\mathcal{F}^{-1}[\chi](x) \right| dt \\ &= C\int_0^1|f_t^N(x)|dt \end{split}\end{equation}

となります。したがって

\begin{equation} N^{1/2}|\mathcal{F}^{-1}[\chi](x)| \le C\int_0^1|f_t^N(x)|dt \end{equation}

ですから、あとは両辺を x で積分すれば、左辺は N^{1/2}\|\mathcal{F}^{-1}\chi\|_{L^1(K)} で、右辺は先ほどの不等式から

\begin{equation}\begin{split} \int_K\int_0^1|f_t^N(x)|dtdx&=\int_0^1\int_K|f_t^N(x)|dxdt \\ &\le \int_0^1 MC_K dt \\ &=MC_K \end{split}\end{equation}

というわけで

\begin{equation} N^{1/2}\|\mathcal{F}^{-1}\chi\|_{L^1(K)} \le MC_K \end{equation}

が得られました。さて、右辺の定数は N によらないので、 N をどんどん大きくとれば矛盾します。ゆえにBesov空間 B_{\infty,\infty}^0 は局所可積分関数 L_{\mathrm{loc}}^1 に含まれないことが証明されました！！

 

非常に恒等テクニックを使っているため難しいですが、前にも述べたように確率変数列を用いた証明が完全に実解析の分野で扱われるとちょっと面白いですよね。ということで今回はここまでにしましょう。見てくださってありがとうございます。

Rademacher関数系とKhintchineの不等式

こんにちは。ひよこてんぷらです。今日はRademacher関数系の超基本的な性質を見たあと、Khintchineの不等式を証明したいと思います。

 

さて、まずはRademacher関数系を定義します。各 j \in \mathbb{N} に対して関数

\begin{equation} r_j:[0,1] \to \{-1,1\} , \quad r_j(t)=\mathrm{sig n}\{\sin (2^j\pi t)\} \end{equation}

を定義し、この関数系 \{r_j(t)\}_{j \in \mathbb{N}} をRademacher関数系と呼びます。定義に現れる \mathrm{sig n} とは符号を対応させる関数です。すなわち中身である \sin (2^j\pi t) が正なら 1 を返し、負なら -1 を返します。もちろん \sin (2^j\pi t) が 0 になることもありますが、高々有限個の点なので測度ゼロであり、これは測度論的に無視します。

 

さて、この関数系のイメージですが、例えば j=1 なら普通の \sin であり、 2\pi 周期分まで動きます。つまり符号だけみると 0 \lt t \lt 1/2 では正で、 1/2 \lt t \lt 1 だと負です。 j が増えれば関数がどんどんうねうねと波を打つわけですが、符号しかみないので、関数はどんどん 1 と -1 の破線のようになります。よろしいでしょうか。

 

さて、ではさっそく基本性質を見ていきます。次を示しましょう。

(i) 任意の N \in \mathbb{N} に対して \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N とし、また

\begin{equation} I_j(s_j)=\{t \in [0,1] \, | \, r_j(t)=s_j\} \end{equation}

とおくとき、

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=\prod_{j=1}^N \left| I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

が成立します。すなわちRademacher関数系 \{r_j(t)\}_{j \in \mathbb{N}} は独立です。

 

(ii) 任意の N \in \mathbb{N} に対して、適当な実数値関数

\begin{equation} \varphi_j:\{-1,1\} \to \mathbb{R} \end{equation}

からなる関数列 \{\varphi_j\}_{j=1}^N を考えるとき、

\begin{equation} \prod_{j=1}^N\int_0^1\varphi_j( r_1(t) )dt=\int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt \end{equation}

が成立します。

 

(iii) 任意の N \in \mathbb{N} に対して適当な整数列 \{k_j\}_{j=1}^N \subset \mathbb{Z} をとるとき、

\begin{equation} \int_0^1\prod_{j=1}^N \{r_j(t)\}^{k_j}dt=\left\{\begin{array}{cc} 1 & k_1, \ldots , k_N : \text{even number} \\ 0 & \text{otherwise} \end{array}\right. \end{equation}

が成立します。特に

\begin{equation} \int_0^1r_j(t)r_k(t)dt=\left\{\begin{array}{cc} 1 & j=k \\ 0 & j \neq k \end{array}\right. \end{equation}

です。

 

さて、では(i)を示しましょう。各 s_j は -1 か 1 のどちらかを取るということに注意しながら

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

を確認しましょう。これは j=1 から順番に考えていけば分かりやすいです。まず j=1 に対して s_1=1 \text{ or } -1 となるような区間の長さを考えるわけですが、これは 2^{-1} ですね。 j=1 はただの \sin なので、初めに注意したように 0 \lt t \lt 1/2 で正、 1/2 \lt t \lt 1 で負となるからです。

 

この s_1 の値を固定したうえで j=2 を考えます。例えば s_1=1 なら 0 \lt t \lt 1/2 の区間上しか考えないわけです。そして j=2 のときは周期 4\pi なのでうねうねが増えて、符号は 0 \lt t \lt 1/4 で正、 1/4 \lt t \lt 1/2 で負、また 1/2 \lt t \lt 3/4 で正、 3/4 \lt t \lt 1 で負となるわけです。このうち半分は s_1 により考えないわけですから、 s_2 における符号を後から考えればこの区間の長さは s_2=1 \text{ or } -1 のどちらでも 2^{-2} となります。

 

そんなわけで、各 s_j の値を考慮して共通部分の区間を考えるごとに長さは半分になっていくので、 N 回まで考えれば

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

が分かるわけです。そして今の考察からひとつの s_j のみに関して考えれば、これはいつでも区間の長さは s_j の値に関わらず 2^{-1} ですから、これの積を考えて

\begin{equation}\prod_{j=1}^N \left| I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

を得ます。ゆえに(i)が示されました！！

 

では(ii)をみましょう。これは次のように計算しましょう。まずは r_1(t) は 0 \lt t \lt 1/2 で正、 1/2 \lt t \lt 1 で負なので、

\begin{equation}\begin{split} &\prod_{j=1}^N\int_0^1\varphi_j( r_1(t) )dt \\ &=\prod_{j=1}^N\left\{\int_0^{1/2} \varphi_j( 1 )dt+\int_{1/2}^1\varphi_j( -1 )dt\right\} \\ &= \prod_{j=1}^N\left\{ \frac{1}{2}\varphi_j( 1 )+\frac{1}{2}\varphi_j( -1 ) \right\} \\ &=2^{-N}\left\{ \varphi_1( 1 )+\varphi_1( -1 ) \right\} \cdots \left\{ \varphi_N( 1 )+\varphi_N( -1 ) \right\} \end{split}\end{equation}

が分かります。さて、最後の式に対してすべての積を展開するわけですが、この展開において各関数 \varphi_j が j=1 から N まですべて一回ずつかけられ、またその引数は 1 もしくは -1 のすべての通りを1つずつ網羅していきます。すなわち

\begin{equation}\begin{split} &\left\{ \varphi_1( 1 )+\varphi_1( -1 ) \right\} \cdots \left\{ \varphi_N( 1 )+\varphi_N( -1 ) \right\} \\ &=2^{-N}\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N } \varphi_1(s_1) \cdots \varphi_N(s_N) \end{split}\end{equation}

となります。さて、一方で次の積分

\begin{equation} \int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt \end{equation}

に対してですが、(i)で示したことから

\begin{equation} \left| \bigcap_{j=1}^N I_j(s_j) \right|=2^{-N} \end{equation}

です。これの意味するところは、各 r_j(t) がそれぞれ決められた符号 s_j になるような t の区間の長さは 2^{-N} ということです。上の積分をそれぞれの符号 s_j が与えられる区間で分解してやりますと、これによって積分区間は直和分解できます。ゆえに

\begin{equation}\begin{split} \int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt&=\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N }\int_{\bigcap_{j=1}^N I_j(s_j)} \prod_{j=1}^N \varphi_j ( s_j) dt \\ &=\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N }\varphi_1(s_1) \cdots \varphi_N(s_N) \int_{\bigcap_{j=1}^N I_j(s_j)}dt \\ &=2^{-N}\sum_{ \{s_j\}_{j=1}^N \in \{-1,1\}^N }\varphi_1(s_1) \cdots \varphi_N(s_N) \end{split}\end{equation}

となります。したがって両者は等しく

\begin{equation} \prod_{j=1}^N\int_0^1\varphi_j( r_1(t) )dt=\int_0^1 \prod_{j=1}^N \varphi_j ( r_j(t) ) dt \end{equation}

が示されました！！

 

では最後に(iii)をみましょう。これは(ii)における関数列 \{\varphi_{k_j}\}_{j=1}^N として \varphi_{k_j}(\rho)=\rho^{k_j} を考えてやればOKです。そうすれば、

\begin{equation} \int_0^1 \prod_{j=1}^N \{r_j(t)\}^{k_j} dt=\prod_{j=1}^N\int_0^1\{r_1(t)\}^{k_j}dt  \end{equation}

を得るわけですが、 \{r_1(t)\}^2=1 より k_j が偶数ならこれらは消えます。しかし奇数の場合は r_1(t) が1つだけ残り、これは積分すると 0 になってしまうので、他がどうであれ 0 になります。ゆえにすべて偶数なら積分値は 1 で、他は 0 です。ゆえに証明終了です！！

 

さて、ここまででRademacher関数系 \{r_j(t)\}_{j \in \mathbb{N}} の基本性質をみてきました。今回の記事の目的は、これらを使って次のKhintchineの不等式を示すことです！！Khintchineの不等式とは、次の不等式です。

 

任意の 1 \le p \lt \infty , \, N \in \mathbb{N} と複素数列 \{a_j\}_{j=1}^N \subset \mathbb{C} に対して、 p にのみ依存する定数 C_p \gt 0 が存在して次の不等式

\begin{equation} C_p^{-1}\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le \left\| \sum_{j=1}^Na_jr_j(\cdot) \right\|_{L^p(0,1)} \le C_p\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

が成立します。

 

以下、簡単のため

\begin{equation} A_N =\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \right)^{\frac{1}{2}} , \quad S_N(t)=\sum_{j=1}^N a_jr_j(t) \end{equation}

とおき、

\begin{equation} C_p^{-1}A_N \le \|S_N\|_{L^p(0,1)} \le C_p A_N \end{equation}

をみていきましょう。初めに和の展開を確認しておきます。まずは

\begin{equation}\begin{split} \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2&=\left(\sum_{j=1}^Na_jr_j(t)\right)\left(\sum_{j=1}^N\overline{a_j}r_j(t)\right) \\ &= \sum_{j,k=1}^N a_j\overline{a_k}r_j(t)r_k(t) \end{split}\end{equation}

となるわけですが、 k=j のとき \{r_j(t)\}^2=1 なので、これだけ特別扱いして

\begin{equation}\begin{split} \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2 &=\sum_{j=1}^N|a_j|^2+\sum_{j \neq k}^N a_j\overline{a_k}r_j(t)r_k(t) \\ &= \sum_{j=1}^N|a_j|^2+\sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \end{split}\end{equation}

としておきましょう。最後の等式は対称性です。 N \times N 個の和のうち対角線部分を除いたので、残りを対称的にして加えています。こうすることで、右辺の和はすべて実数の和となっていることに注意しましょう。さて、この表示から p=2 の場合は(iii)の直交性から

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^2(0,1)} &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2dt \right)^{\frac{1}{2}} \\ &=\left( \int_0^1\sum_{j=1}^N |a_j|^2 dt \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= A_N \end{split}\end{equation}

となり、一致することが分かります。

 

では右辺を証明していきましょう。まず m \in \mathbb{N} とし、 p=4m と表される場合を考えます。このとき L^{2m} normの三角不等式から

\begin{equation}\begin{split} &\|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \\ &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{4m}dt \right)^{\frac{1}{2m}} \\ &= \left\{ \int_0^1 \left( \sum_{j=1}^N|a_j|^2+\sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t)\right)^{2m}dt \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &\le \left\{ \int_0^1\left(\sum_{j=1}^N|a_j|^2\right)^{2m}dt \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &+\left\{ \int_0^1 \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right)^{2m} \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &=A_N^2+\left\{ \int_0^1 \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right)^{2m} \right\}^{\frac{1}{2m}} \end{split}\end{equation}

となります。さて、第2項がかなりややこしいですが、これは多項展開を用いて

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1 \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right)^{2m}dt \\ &=\int_0^1\sum_{|\alpha|=2m} \frac{(2m)!}{\alpha !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right\}^{\alpha_{jk}}dt \end{split}\end{equation}

と表せます。この多重指数 \alpha は 1 \le k \lt j \le N に対して \alpha_{jk} なる成分をもつ N(N-1)/2 個の非負整数の組です。めんどいですね。さて、ここで j \neq k に注意すれば、(iii)より右辺は多重指数が全て偶数でないと積分が消えてしまいます。したがって多重指数は \alpha_{jk}=2\beta_{jk} の形のものだけを考えましょう。このとき

\begin{equation}\begin{split} &\int_0^1\sum_{|\alpha|=2m} \frac{(2m)!}{\alpha !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right\}^{\alpha_{jk}}dt \\ &=\int_0^1\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)r_j(t)r_k(t) \right\}^{2\beta_{jk}}dt \\&=\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N} \left\{ (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}}\int_0^1\{r_j(t)r_k(t)\}^{2\beta_{jk}}dt \right\} \\ &=\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}} \end{split}\end{equation}

が分かります。最後の積分は \{r_j(t)\}^2=1 となることを用いています。すなわち

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \le A_N^2+\left\{ \sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}} \right\}^{\frac{1}{2m}} \end{split}\end{equation}

となりますね。さて、ここで |a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k| \le 2|a_j||a_k| および多項展開より

\begin{equation} \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} 4|a_j|^2|a_k|^2 \right)^m=\sum_{|\beta|=m}\frac{m!}{\beta !} \prod_{1 \le k \lt j \le N} ( 2|a_j||a_k| )^{2\beta_{jk}} \end{equation}

であることを用いて整理しましょう。係数に関しては、 |\beta|=m より

\begin{equation}\begin{split} 2^m\beta ! &=\prod_{1 \le k \lt j \le N} 2^{\beta_{jk}}\beta_{jk}! \\ &=\prod_{1 \le k \lt j \le N} 2\beta_{jk} \times 2(\beta_{jk}-1) \times 2(\beta_{jk}-2) \times \cdots \times 6 \times 4 \times 2 \\ &\le \prod_{1 \le k \lt j \le N} 2\beta_{jk} \times (2\beta_{jk}-1) \times (2\beta_{jk}-2) \times \cdots \times 4 \times 3 \times 2 \\ &=\prod_{1 \le k \lt j \le N}(2\beta_{jk})! \\ &=(2\beta)!\end{split}\end{equation}

とできます。したがって

\begin{equation}\begin{split} &\sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{(2\beta) !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (a_j\overline{a_k}+\overline{a_j}a_k)^{2\beta_{jk}} \\ &\le \sum_{|\beta|=m} \frac{(2m)!}{2^m \beta !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (2|a_j||a_k|)^{2\beta_{jk}} \\ &\le \frac{(2m)!}{2^mm!}\sum_{|\beta|=m} \frac{m!}{\beta !}\prod_{1 \le k \lt j \le N}  (2|a_j||a_k|)^{2\beta_{jk}} \\ &\le \frac{(2m)!}{2^mm!}\left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} 4|a_j|^2|a_k|^2 \right)^m \end{split}\end{equation}

ですが、

\begin{equation}\begin{split} \left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} 4|a_j|^2|a_k|^2 \right)^m &=4^m\left( \sum_{1 \le k \lt j \le N} |a_j|^2|a_k|^2 \right)^m \\ &\le 4^m\left( \sum_{j=1}^N |a_j|^2 \sum_{k=1}^N |a_k|^2 \right)^m \\ &=4^mA_N^{4m} \end{split}\end{equation}

と評価できるため、結局

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 &\le A_N^2+\left\{ \frac{(2m)!}{2^mm!} \times 4^mA_N^{4m} \right\}^{\frac{1}{2m}} \\ &=\left\{ 1+\left(\frac{2^m(2m)!}{m!}\right)^{\frac{1}{2m}} \right\}A_N^2 \end{split}\end{equation}

 

が分かります。なお、

\begin{equation}\begin{split} (2m)!&=2m(2m-1) \cdots (m+1) \times m!\\ &\le (2m) \cdots (2m) \times m! \\ &=(2m)^mm! \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \le (1+2m^{\frac{1}{2}})A_N^2 \end{equation}

となることに注意しておきます。

 

さて、次に一般の 1 \le p \lt \infty の場合を考えましょう。このときは適当な m \in \mathbb{N} を用いて 4m-4 \lt p \le 4m とできることに注意しましょう。このとき 1 \le 4m/p なので、 q=4m/p とすればこのHölder共役 q' と合わせてHölderの不等式が使えます。すなわち

\begin{equation}\begin{split} \|S_N\|_{L^p(0,1)} &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^pdt \right)^{\frac{1}{p}} \\ &\le \left\{ \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{pq}dt \right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_0^1dt\right)^{\frac{1}{q'}} \right\}^{\frac{1}{p}} \\ &= \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{pq}dt \right)^{\frac{1}{pq}} \\ &=\left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{4m}dt \right)^{\frac{1}{4m}} \\ &=\|S_N\|_{L^{4m}(0,1)} \\ &\le (1+2m^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}A_N \\ &\le \left\{1+2\left( \frac{1}{4}p+1 \right)^{\frac{1}{2}}\right\}^{\frac{1}{2}}A_N \end{split}\end{equation}

となり、右辺は完全に証明されました！！

 

さて、では左辺も確認していきましょう。まずは 2 \le p \lt \infty のときを考えましょう。 p=2 での関係を初めにみていましたから、このときは 1 \le p/2 より再び q=p/2 でHölderです。すなわち

\begin{equation}\begin{split} A_N &=\|S_N\|_{L^2(0,1)} \\ &=\left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^2dt \right)^{\frac{1}{2}} \\ &\le \left\{ \left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{2q}dt \right)^{\frac{1}{q}}\left(\int_0^1dt\right)^{\frac{1}{q'}} \right\}^{\frac{1}{2}} \\ &=\left( \int_0^1 \left| \sum_{j=1}^Na_jr_j(t) \right|^{2q}dt \right)^{\frac{1}{2q}} \\ &=\|S_N\|_{L^p(0,1)} \end{split}\end{equation}

でOKです。では最後に 1 \le p \lt 2 のときを示しましょう。これはちょっと面白いです。Hölder指数は

\begin{equation} q=\frac{1}{2}(4-p) , \quad q'=\frac{4-p}{2-p} \end{equation}

とします。これらは確かに 1 \lt q,q' \lt \infty かつ 1/q+1/q'=1 を満たしますね。さて、このとき

\begin{equation}\begin{split} A_N^2 &=\|S_N\|_{L^2(0,1)}^2 \\ &= \int_0^1|S_N(t)|^2dt \\ &=\int_0^1|S_N(t)|^{\frac{2p}{4-p}}|S_N(t)|^{\frac{4(2-p)}{4-p}}dt \\ &\le \left( \int_0^1 |S_N(t)|^{\frac{2p}{4-p}q}dt \right)^{\frac{1}{q}}\left( \int_0^1 |S_N(t)|^{\frac{4(2-p)}{4-p}q'}dt \right)^{\frac{1}{q'}} \\ &= \left( \int_0^1 |S_N(t)|^pdt \right)^{\frac{2}{4-p}}\left( \int_0^1 |S_N(t)|^4dt \right)^{\frac{2-p}{4-p}} \end{split}\end{equation}

となるわけですが、先ほどの証明で任意の m \in \mathbb{N} に対して

\begin{equation} \|S_N\|_{L^{4m}(0,1)}^2 \le (1+2m^{\frac{1}{2}})A_N^2 \end{equation}

だったので、 m=1 とすれば

\begin{equation} \left( \int_0^1 |S_N(t)|^4dt \right)^{\frac{2-p}{4-p}} =\|S_N\|_{L^4(0,1)}^{\frac{4(2-p)}{4-p}} \le 3^{\frac{2(2-p)}{4-p}}A_N^{\frac{4(2-p)}{4-p}} \end{equation}

が分かります。したがって

\begin{equation} A_N^2 \le \left( \int_0^1 |S_N(t)|^pdt \right)^{\frac{2}{4-p}} \times  3^{\frac{2(2-p)}{4-p}}A_N^{\frac{4(2-p)}{4-p}} \end{equation}

ですが、これを整理すると

\begin{equation} 2-\frac{4(2-p)}{4-p}=\frac{2p}{4-p} \end{equation}

より

\begin{equation} A_N^{\frac{2p}{4-p}} \le 3^{\frac{2(2-p)}{4-p}}\left( \int_0^1 |S_N(t)|^pdt \right)^{\frac{2}{4-p}} \end{equation}

すなわち

\begin{equation} A_N \le 3^{\frac{2-p}{p}}\|S_N\|_{L^p(0,1)} \end{equation}

が得られます。これで証明完了です！！なお、証明は「The Rademacher System in Function Spaces」を参考にしました。ここでは実数列に関する証明だったので、少し手を加えて複素数列に関しての証明にしました。

 

さて、今回示したKhintchineの不等式

\begin{equation} C_p^{-1}\left( \sum_{j=1}^N a_j^2 \right)^{\frac{1}{2}} \le \left\| \sum_{j=1}^N a_jr_j(\cdot) \right\|_{L^p(0,1)} \le C_p\left( \sum_{j=1}^N a_j^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}

ですが、これはけっこう定義がR boundednessに似ていますね。R boundednessは最大正則性の理論に出てくる極めて重要な(でも意味不明な)概念です。R boundednessは作用素の族に対してRademacher関数系を用いて定義される有界性ですが、非常に複雑な関係です。Hilbert空間ならば一様有界性と同値ですが、一般には非常に示すのが難しいです。

 

とはいえ、今回は最大正則性との関連を見出すために扱ったわけではなく、少し実解析的な主張の証明に使いたかったので準備した次第です。次回はこの不等式を用いて少し面白いことを示そうと思います。それではまたよろしくお願いします。