広義連続半群と生成作用素 - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。今回は広義連続半群という僕が勝手に作った造語についてお話しします。

一般に、有界連続半群 $\{T(t)\}_{t \ge 0}$ というのは、ある定数 $M \gt 0$ が存在して、任意の $t \gt 0$ に対して

\begin{equation} T(t) \in \mathcal{L}(X) \quad \text{with} \quad \|T(t)\|_{\mathcal{L}(X)} \le M \end{equation}

かつ任意の $t,s \gt 0 , \, u \in X$ に対して

\begin{equation} T(0)=I , \quad T(t+s)=T(t)T(s), \quad \lim_{t \to +0}\|T(t)u-u\|_X=0 \end{equation}

が成立するような作用素の族のことを言います。特に、最後の条件は $t=0$ における強連続性を意味していますが、これよりすべての $t \gt 0$ に対しても強連続性が示されます。実際、

\begin{equation}\begin{split} \lim_{h \to +0}\| T(t+h)u-T(t)u \|_X &= \lim_{h \to +0}\| T(t)T(h)u-T(t)u \|_X \\ &= \lim_{h \to +0}\| T(t)(T(h)u-u) \|_X \\ &\le \lim_{h \to +0}\| T(t)\|_{\mathcal{L}(X)}\|T(h)u-u \|_X \\ &\le M\lim_{h \to +0}\|T(h)u-u \|_X \\ &=0 \end{split}\end{equation}

および

\begin{equation}\begin{split} \lim_{h \to +0}\| T(t-h)u-T(t)u \|_X &= \lim_{h \to +0}\| T(t-h)u-T(t-h)T(h)u \|_X \\ &= \lim_{h \to +0}\| T(t-h)(u-T(h)u) \|_X \\ &\le \lim_{h \to +0}\| T(t-h)\|_{\mathcal{L}(X)}\|T(h)u-u \|_X \\ &\le M\lim_{h \to +0}\|T(h)u-u \|_X \\ &=0 \end{split}\end{equation}

が成立するからです。つまり $T(t)u \in C([0,\infty):X)$ ということです。

さて、今回は僕が勝手に作った有界広義連続半群を考えます。これは先ほどの定義において

\begin{equation} \lim_{t \to +0}\|T(t)u-u\|_X=0 \end{equation}

の部分を

\begin{equation} \lim_{h \to +0}\|T(t+h)u-T(t)u\|_X=0 \quad \text{for all } t\gt 0 \end{equation}

に置き換えたものとします。このとき

\begin{equation}\begin{split} &\lim_{h \to +0}\| T(t-h)u-T(t)u \|_X \\ &= \lim_{h \to +0}\| T(t/2-h)T(t/2)u-T(t/2-h)T(t/2+h)u \|_X \\ &= \lim_{h \to +0}\| T(t/2-h)(T(t/2)u-T(t/2+h)u) \|_X \\ &\le \lim_{h \to +0}\| T(t/2-h)\|_{\mathcal{L}(X)}\|T(t/2+h)u-T(t/2)u \|_X \\ &\le M\lim_{h \to +0}\|T(t/2+h)u-T(t/2)u \|_X \\ &=0 \end{split}\end{equation}

なので、すなわち $T(t)u \in C((0,\infty):X)$ ということです。当然ながら元の定義のほうが強いです。

なんでこんなものを考えるかというと、例えば熱半群 $\{e^{t\Delta}\}_{t \ge 0}$ を

\begin{equation} e^{t\Delta}u =\left\{\begin{array}{cc} G_t*u & (t \gt 0) \\ u & (t=0) \end{array}\right. \end{equation}

として考えてみれば、これは $1 \le p \lt \infty$ に対して $L^p=L^p(\mathbb{R}^n)$ 上の有界連続半群であることが知られています。なお、 $G_t$ は熱核とします。一方で、 $L^{\infty}$ に対してはダメです。これは、

\begin{equation} \lim_{t \to +0}\|e^{t\Delta}u-u\|_{L^{\infty}}=0 \end{equation}

が成立しないことが原因です。しかし、有界一様連続関数の空間 $BUC$ ならこれも有界連続半群です。さて、 $u \in L^{\infty}$ に対して熱半群を作用させれば $t \gt 0$ に対して $e^{t\Delta}u \in BUC$ となるのはよいでしょうか。実際、熱半群の平滑化効果から $e^{t\Delta}u \in C^{\infty}$ であり、また

\begin{equation}\begin{split} \|\partial_{x_j}(e^{t\Delta}u)\|_{L^{\infty}} &= \|\partial_{x_j}(G_t*u)\|_{L^{\infty}} \\ &= \|(\partial_{x_j}G_t)*u\|_{L^{\infty}} \\ &\le \|\partial_{x_j}G_t\|_{L^1}\|u\|_{L^{\infty}} \end{split}\end{equation}

であるから1階微分しても有界、すなわち一様連続性も従います。さて、このことから $L^{\infty}$ に対しては $t=0$ の連続性はダメですが、 $t \gt 0$ ならば $BUC$ での連続性から

\begin{equation} \lim_{h \to +0}\|e^{(t+h)\Delta}u-e^{t\Delta}u\|_{L^{\infty}} = \lim_{h \to +0}\|e^{h\Delta}(e^{t\Delta}u)-(e^{t\Delta}u)\|_{L^{\infty}}=0 \end{equation}

となります。つまり僕の定義によれば熱半群は $L^{\infty}$ においては有界連続半群ではないですが、有界広義連続半群です。

そういうわけで、通常の連続半群より弱い広義連続半群を考えたとき、半群の一般論はどうなるのかということが気になったわけです。特に熱半群などの場合は生成作用素から半群を構成するタイプではなく、具体的に作用素の形が分かっているため、いわゆるHille-吉田などの手法まで考えなくても十分に半群の性質を調べられるのではないかと思ったわけです。

さて、では広義連続半群の生成作用素がどうなるかを考えましょう。通常の半群においては

\begin{equation} D(A)=\left\{ u \in X \, \left| \, {}^{\exists}v \in X \quad \lim_{h \to +0}\left\| \frac{T(h)u-u}{h}-v \right\|_X=0 \right.\right\} \end{equation}

とおき、 $u \in D(A)$ に対して $Au=v$ と定義するわけでした。そしてこのとき $t \gt 0 , \, u \in D(A)$ に対して $T(t)u \in D(A)$ および $T(t)u \in C^1((0,\infty):X)$ かつ

\begin{equation} \frac{d}{dt}T(t)u=AT(t)u=T(t)A u \end{equation}

が成立し、また $A$ は閉作用素だったわけです。そこで、広義連続半群に対してはまず

\begin{equation} D(A_k)=\left\{ u \in X \, \left| \, {}^{\exists}v_k \in X \quad \lim_{h \to +0} \left\| \frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}-v_k \right\|_X=0 \right.\right\} \end{equation}

とおき、

\begin{equation} A_ku=v_k=\lim_{h \to +0}\frac{T(k+h)u-T(k)u}{h} \quad \text{in } X \end{equation}

と定義しておきます。このとき

\begin{equation} D(A)=\left\{\left. u \in \bigcap_{k \gt 0} D(A_k) \, \right| \, {}^{\exists}v \in X \quad \lim_{k \to +0}\|A_ku-v\|_X=0 \right\} \end{equation}

として考えてみましょう。この定義においても同様の主張が成立するでしょうか？？まずは $k \gt 0 , \, u \in D(A_k)$ に対して定義からすぐに

\begin{equation} \left(\frac{dT}{dt}\right)^+(k)u=A_ku \end{equation}

が分かります。また、 $k,k' \gt 0 , \, u \in D(A_k)$ に対して次の等式

\begin{equation}\begin{split} T(k')\frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}&=\frac{T(k+h)T(k')u-T(k)T(k')u}{h} \\ &=\frac{T(k+k'+h)u-T(k+k')u}{h} \end{split}\end{equation}

を考えましょう。このとき

\begin{equation}\begin{split} & \left\|T(k')\frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}-T(k')A_ku \right\|_X \\ &\le \|T(k')\|_{\mathcal{L}(X)}\left\|\frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}-A_ku \right\|_X \\ &\to 0 \quad (h \to +0) \end{split}\end{equation}

より極限は存在し、 $T(k')u \in D(A_k)$ および $u \in D(A_{k+k'})$ が分かります。ゆえに両辺の極限をとって

\begin{equation} T(k')A_ku=A_kT(k')u=A_{k+k'}u=\left(\frac{dT}{dt}\right)^+(k+k')u \end{equation}

を得ます。さらに上式から

\begin{equation}\begin{split} &\left\| \frac{T(k+k'-h)u-T(k+k')u}{-h}-\left(\frac{dT}{dt}\right)^+(k+k')u \right\|_X \\ &=\left\| T(k'-h)\frac{T(k)u-T(k+h)u}{-h}-T(k')A_ku \right\|_X \\ &\le \left\| T(k'-h)\frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}-T(k'-h)A_ku \right\|_X \\ &+\|T(k'-h)A_ku-T(k')A_ku\|_X \end{split}\end{equation}

が分かりますが、第2項は広義連続半群の連続性から $h \to +0$ で $0$ に収束し、また第1項も

\begin{equation}\begin{split} &\left\| T(k'-h)\frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}-T(k'-h)A_ku \right\|_X \\ &\le \|T(k'-h)\|_{\mathcal{L}(X)}\left\| \frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}-A_ku \right\|_X \\ &\le M\left\| \frac{T(k+h)u-T(h)u}{h}-A_ku \right\|_X \\ &\to 0 \quad (h \to +0) \end{split}\end{equation}

で収束します。ゆえに

\begin{equation} T(k')A_ku=A_kT(k')u=A_{k+k'}u=\left(\frac{dT}{dt}\right)(k+k')u \end{equation}

が成立します。特にこのことから $u \in D(A)$ ならば上式のように自由に $A_k$ を半群の部分に分けられることが分かります。さて、では $t \gt 0 , \, u \in D(A)$ に対して再び上の等式

\begin{equation} T(t)A_ku=A_kT(t)u=A_{t+k}u=\left(\frac{dT}{dt}\right)(t+k)u \end{equation}

を考えましょう。いま、 $u \in D(A)$ より

\begin{equation} A u=\lim_{k \to +0}A_ku \quad \text{in } X \end{equation}

であるから、

\begin{equation} \lim_{k \to +0}\|T(t)A_ku-T(t)A u\|_X \le \lim_{k \to +0}\|T(t)\|_{\mathcal{L}(X)}\|A_ku- A u\|_X=0 \end{equation}

より等式の $k \to +0$ の極限の存在が分かります。さらに、任意の $k \gt 0$ に対して

\begin{equation} \left(\frac{dT}{dt}\right)(t+k)u=T(t)A_ku \in C((0,\infty):X) \end{equation}

であることから、 $T(t)u \in C^1((0,\infty):X)$ が分かります。ゆえに $T(t)u \in D(A)$ かつ

\begin{equation} T(t)A u =AT(t)u=\frac{d}{dt}T(t)u \end{equation}

が示されました！！

さて、では $A$ は閉作用素になるでしょうか？？最後にこれを確かめましょう。上式が成立しているから、両辺を積分して

\begin{equation} T(k+h)u-T(k)u=\int_k^{k+h}T(t)A udt \end{equation}

となることに注意しましょう。さて、次の列 $\{u_j\}_{j=1}^{\infty} \subset D(A)$ に対してある $u,v \in X$ が存在して

\begin{equation} \lim_{j \to \infty}\|u_j-u\|_X=0, \quad \lim_{j \to \infty}\|A u_j-v\|_X=0 \end{equation}

であったとしましょう。このとき

\begin{equation} T(k+h)u_j-T(k)u_j=\int_k^{k+h}T(t)A u_jdt \end{equation}

が成立するわけですが、

\begin{equation}\begin{split} &\left\| \int_k^{k+h}T(t)A u_jdt-\int_k^{k+h}T(t)v dt \right\|_X \\ &\le \int_k^{k+h}\|T(t)(A u_j-v)\|_Xdt \\ &\le \int_k^{k+h}\|T(t)\|_{\mathcal{L}(X)}\|\|A u_j-v\|_Xdt \\ &\le Mh\|A u_j-v\|_X \\ & \to 0 \quad (j \to \infty) \end{split}\end{equation}

なので両辺の極限をとって

\begin{equation} T(k+h)u-T(k)u=\int_k^{k+h}T(t)v dt \end{equation}

となります。さて、両辺を $h$ で割ると

\begin{equation} \frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}=\frac{1}{h}\int_k^{k+h}T(t)v dt \end{equation}

となるわけですが、

\begin{equation}\begin{split} \left\| \frac{1}{h}\int_k^{k+h}T(t)v dt-T(k)v \right\|_X &= \left\| \frac{1}{h}\int_k^{k+h} T(t)v-T(k)v dt \right\|_X \\ &\le \sup_{k \lt t \lt k+h}\|T(t)v-T(k)v\|_X \\ &\to 0 \quad (h \to +0)\end{split}\end{equation}

であるから $u \in D(A_k)$ かつ

\begin{equation} A_ku=\lim_{h \to +0}\frac{T(k+h)u-T(k)u}{h}=T(k)v \quad \text{in } X \end{equation}

が分かります。最後に $k \to +0$ としたいわけですが、広義連続半群は $k=0$ での連続性を持たないため、少し慎重にみていきましょう。まず $v$ は $\{Au_j\}_{j=1}^{\infty}$ の極限だったことを思い出しましょう。したがって

\begin{equation}\begin{split} \|T(k)v-v\|_X &\le \|T(k)v-T(k)A u_j\|_X \\ &+\|T(k)A u_j-A u_j\|_X+\|A u_j-v\|_X \\ &\le (M+1)\|A u_j-v\|_X+\|T(k)A u_j-A u_j\|_X \end{split}\end{equation}

とでもしておきましょう。さて、それぞれにおける作用素 $A$ は

\begin{equation} A u_j=\lim_{k' \to +0}A_{k'}u_j \quad \text{in } X \end{equation}

で定義されているわけでした。したがってさらに第2項を

\begin{equation}\begin{split} &\|T(k)A u_j-A u_j\|_X \\ &\le \|T(k)A u_j-T(k)A_{k'}u_j\|_X \\ &+\|T(k)A_{k'}u_j-A_{k'}u_j\|_X+\|A_{k'}u_j-A u_j\|_X \\ &\le (M+1)\|A u_j-A_{k'}u_j\|_X+\|T(k)A_{k'}u_j-A_{k'}u_j\|_X \end{split}\end{equation}

としましょう。さて、これらを合わせて

\begin{equation}\begin{split} \|T(k)v-v\|_X &\le (M+1)\|A u_j-v\|_X \\ &+(M+1)\|A u_j-A_{k'}u_j\|_X+\|T(k)A_{k'}u_j-A_{k'}u_j\|_X \end{split}\end{equation}

が得られます。第3項しか $k$ に依存しないので、まずはこれの極限をみましょう。広義連続半群の連続性から

\begin{equation}\begin{split} &\|T(k)A_{k'}u_j-A_{k'}u_j\|_X \\ &= \|T(k'/2+k)A_{k'/2}u_j-T(k'/2)A_{k'/2}u_j\|_X \\ &\to 0 \quad (k \to +0) \end{split}\end{equation}

が分かります。したがって

\begin{equation} \lim_{k \to +0}\|T(k)v-v\|_X \le (M+1)\|A u_j-v\|_X +(M+1)\|A u_j-A_{k'}u_j\|_X\end{equation}

であり、 $k' \to +0$ としてから $j \to \infty$ とすればOKです。さて、