Leray-Schauderの不動点定理について

こんにちは。ひよこてんぷらです。今回はまた不動点定理をやります。

前回はSchauderの不動点定理をやりました。

sushitemple.hatenablog.jp

これは、norm空間 $X$ とその空でない凸部分集合 $\Omega \subset X$ およびcompactな部分集合 $K \subset \Omega$ を考えるとき、任意の $f \in C(\Omega:K)$ に対して $f(x)=x$ なる $x \in \Omega$ が存在する、という不動点定理のことでした。

この不動点定理からさらにLeray-Schauderの不動点定理を示すことができます。今回はこれをやります。

さて、まずはcompactな写像の定義を与えます。

集合 $X,Y$ に対する写像 $f \in C(X:Y)$ がcompactであるとは、任意の有界集合 $\Omega \subset X$ に対して $\overline{f(\Omega)}$ がcompactとなることと定義します。ここでcompactとは、 $Y$ でcompactということです。もちろん、 $\overline{f(\Omega)} \subset Y$ となります。

この定義を用いて、Leray-Schauderの不動点定理の主張を述べます。

$X$ をBanach空間とします。ここで、写像 $f \in C(X \times [0,1]:X)$ はcompactであり、かつ任意の $x \in X$ に対して $f(x,0)=0$ とします。さらに、次を満たすとします。

ある $M \gt 0$ が存在して、 $x=f(x,\lambda)$ を満たすような任意の $(x,\lambda) \in X \times [0,1]$ に対して $\|x\|_X \lt M$ が成立する

このとき、 $f(\cdot,1)$ は不動点を持ちます。すなわち、 $f(x,1)=x$ なる $x \in X$ が存在します。

これがLeray-Schauderの不動点定理です。写像に関する仮定は強いですが、凸集合でなくても主張が成立します。これを示すために、次のステップに分けて考えましょう。

(i) 有界な凸閉集合 $\Omega \subset X$ に対して $f \in C(\Omega:\Omega)$ がcompactであれば、 $f$ は不動点を持つ

(ii) $B = \{y \in X \mid \|y\|_X \lt 1\}$ に対して、 $f \in C(\overline{B}:X)$ かつ $\overline{f(\overline{B})}$ はcompactかつ $f(\partial B) \subset B$ ならば、 $f$ は不動点を持つ

(iii) Leray-Schauderの不動点定理が成立する

では早速(i)から見ていきます。(i)に関してはSchauderの不動点定理から容易に示されます。実際、 $\Omega \subset X$ は有界な凸閉集合ですから、写像のcompact性から $\overline{f(\Omega)}$ がcompactになることより、写像 $f$ を $f \in C(\Omega:\overline{f(\Omega)})$ とみることで、Schauderの不動点定理が使えます。したがって不動点の存在が示されます。

次に(ii)を示しましょう。さて、 $f \in C(\overline{B}:X)$ に対して $f^*$ を

\begin{equation} f^*(x) =\left\{\begin{array}{cc} f(x) & \text{if} \quad \|f(x)\|_X \le 1 \\ f(x)/\|f(x)\|_X & \text{if} \quad \|f(x)\|_X \gt 1 \end{array}\right. \end{equation}

と定義すると、 $f^* \in C(\overline{B}:\overline{B})$ となります。実際、 $x \in \overline{B}$ に対して $\|f(x)\|_X \le 1$ ならば

\begin{equation} \|f^*(x)\|_X =\|f(x)\|_X \le 1 \end{equation}

また $\|f(x)\|_X \gt 1$ ならば

\begin{equation} \|f^*(x)\|_X =\left\|\frac{f(x)}{\|f(x)\|_X}\right\|_X = \frac{\|f(x)\|_X}{\|f(x)\|_X}=1 \end{equation}

より常に $\|f^*(x)\|_X \le 1$ であり、したがってこれは $f^*(x) \in \overline{B}$ を意味します。

次に連続性について、これは $f \in C(\overline{B}:X)$ およびnormの連続性から分かります。念のため $\|f(x)\|_X=1$ 周りでの連続性をチェックしておきましょう。 $\|f(x_0)\|_X=1$ なる $x_0 \in \overline{B}$ に対して

\begin{equation} \|f^*(x)-f^*(x_0)\|_X=\|f^*(x)-f(x_0)\|_X \end{equation}

が成立するわけですが、もし $\|f(x)\|_X \le 1$ ならば

\begin{equation} \|f^*(x)-f^*(x_0)\|_X=\|f(x)-f(x_0)\|_X \end{equation}

より $f \in C(\overline{B}:X)$ から連続であることが分かります。一方 $\|f(x)\|_X \gt 1$ ならば

\begin{equation}\begin{split} \|f^*(x)-f^*(x_0)\|_X &=\left\| \frac{f(x)}{\|f(x)\|_X}-f(x_0) \right\|_X \\ &=\left\| \frac{f(x)-\|f(x)\|_Xf(x_0)}{\|f(x)\|_X} \right\|_X \\ &=\frac{\|f(x)-\|f(x)\|_Xf(x_0)\|_X}{\|f(x)\|_X} \\ &\lt \|f(x)-\|f(x)\|_Xf(x_0)\|_X \end{split}\end{equation}

となります。さて、いま $\|f(x_0)\|_X=1$ であるから、

\begin{equation}\begin{split} &\|f(x)-\|f(x)\|_Xf(x_0)\|_X \\ &=\|f(x)-f(x_0)+f(x_0)-\|f(x)\|_Xf(x_0)\|_X \\ &\le \|f(x)-f(x_0)\|_X+\left\| f(x_0)\left\{ 1-\|f(x)\|_X \right\}\right\| \\ &=\|f(x)-f(x_0)\|_X+\|f(x_0)\|_X\left| 1-\|f(x)\|_X \right| \\ &= \|f(x)-f(x_0)\|_X+\left| \|f(x_0)\|_X-\|f(x)\|_X \right| \\ &\le \|f(x)-f(x_0)\|_X+\|f(x_0)-f(x)\|_X \end{split}\end{equation}

よりこの場合でも連続であることが分かります。したがって $\|f(x)\|_X=1$ 周りでも連続で、 $f^* \in C(\overline{B}:\overline{B})$ を得ます。また、仮定から $\overline{f(\overline{B})}$ はcompactなので、 $\overline{f^*(\overline{B})}$ もcompactです。

ここで、(i)を使います。すなわち、有界な凸閉集合 $\overline{B} \subset X$ に対して $f^* \in C(\overline{B}:\overline{B})$ であるから、不動点の存在がいえます。したがって $f^*(x)=x$ なる $x \in \overline{B}$ が存在します。

最後に、これが不動点であることを示します。まず、 $x \in B$ であるとします。このとき $\|f^*(x)\|_X=\|x\|_X \lt 1$ となります。いま、 $\|f(x)\|_X \gt 1$ であるとすると、 $f^*$ の定義から、 $\|f^*(x)\|_X=1$ を得ますがこれは矛盾です。すなわち $\|f(x)\|_X \le 1$ で、再び $f^*$ の定義から $x=f^*(x)=f(x)$ で不動点であることが分かります。一方で、 $x \in \partial B$ であるとすると、仮定から $f(\partial B) \subset B$ ですから $f(x) \in B$ すなわち $\|f(x)\|_X \lt 1$ で、やはり先と同じ結論を得ます。ゆえに(ii)が示されました。

最後に、Leray-Schauderの不動点定理を示しましょう。まずは初めの仮定である

ある $M \gt 0$ が存在して、 $x=f(x,\lambda)$ を満たすような任意の $(x,\lambda) \in X \times [0,1]$ に対して $\|x\|_X \lt M$ が成立する

という条件を $M=1$ に正規化します。このためには、 $f$ に対して $g$ を

\begin{equation} g(x,\lambda)=\frac{1}{M}f(Mx,\lambda) \end{equation}

と定義すればよいです。実際、 $(x,\lambda) \in X \times [0,1]$ が $x=g(x,\lambda)$ を満たすとき、 $g$ の定義から

\begin{equation} x=\frac{1}{M}f(Mx,\lambda) \end{equation}

すなわち $Mx=f(Mx,\lambda)$ を得ます。このとき上の仮定から $\|Mx\|_X \lt M$ すなわち $\|x\|_X \lt 1$ を得ます。また、仮定より写像 $f \in C(X \times [0,1]:X)$ はcompactですが、 $g$ も同様の性質を持ちます。また、 $f(x,0)=0$ より

\begin{equation} g(x,0)=\frac{1}{M}f(Mx,0)=0 \end{equation}

に注意します。

さて、まずは $g$ の不動点を求めましょう。任意の正の整数 $k$ および $x \in \overline{B}$ に対して

\begin{equation} g_k^*(x)=\left\{\begin{array}{cl} g\left(\frac{x}{\|x\|_X},k(1-\|x\|_X)\right) & \text{if} \quad 1-\frac{1}{k} \le \|x\|_X \le 1 \\ g\left( \frac{kx}{k - 1},1 \right) & \text{if} \quad \|x\|_X \lt 1-\frac{1}{k} \end{array}\right. \end{equation}

と定義します。このとき、 $g_k^* \in C(\overline{B}:X)$ が成立します。 $g \in C(X \times [0,1]:X)$ なのでnormの連続性と合わせれば連続性はいえそうです。念のため $\|x\|_X = 1-\frac{1}{k}$ 周りでの連続性を確かめましょう。 $\|x_0\|_X = 1-\frac{1}{k}$ なる $x_0 \in \overline{B}$ に対して

\begin{equation}\begin{split} \|g_k^*(x)-g_k^*(x_0)\|_X &=\left\| g_k^*(x)-g\left(\frac{x_0}{\|x_0\|_X},k(1-\|x_0\|_X)\right) \right\|_X \\ &=\left\| g_k^*(x)-g\left(\frac{kx_0}{k - 1},1\right) \right\|_X \end{split}\end{equation}

が成立します。このことから、 $g_k^*$ の定義に注意すれば、 $1-\frac{1}{k} \le \|x\|_X \le 1$ ならば上の式、 $\|x\|_X \lt 1-\frac{1}{k}$ ならば下の式からそれぞれ連続性が確認できます。ゆえに $g_k^* \in C(\overline{B}:X)$ です。

さて、ここで $g \in C(X \times [0,1]:X)$ はcompactだったから、特に $\overline{g_k^*(\overline{B})}$ はcompactであることが分かります。さらに、 $g_k^*(\partial B)=\{0\}$ です。実際、 $x \in \partial B$ ならば $\|x\|_X=1$ ですが、このとき $g(x,0)=0$ に注意して、

\begin{equation} \left.g_k^*(x)\right|_{\|x\|_X=1}=\left.g\left(\frac{x}{\|x\|_X},k(1-\|x\|_X)\right)\right|_{\|x\|_X=1}=g(x,0)=0 \end{equation}

を得ます。したがって $g_k^*(\partial B)=\{0\} \subset B$ です。

さて、このとき $g_k^*$ は(ii)の仮定を満たしています。すなわち、 $g_k^* \in C(\overline{B}:X)$ かつ $\overline{g_k^*(\overline{B})}$ はcompactかつ $g_k^*(\partial B) \subset B$ です。したがって不動点が存在します。いま関数列 $\{g_k^*\}$ を考えていることに注意して、対応する不動点を $x_k \in \overline{B}$ とし、 $g_k^*(x_k)=x_k$ としておきます。ここで、この $x_k$ に対して

\begin{equation} s_k=\left\{\begin{array}{cl} k(1-\|x_k\|_X) & \text{if} \quad 1-\frac{1}{k} \le \|x_k\|_X \le 1 \\ 1 & \text{if} \quad \|x_k\|_X \lt 1-\frac{1}{k} \end{array}\right. \end{equation}

とおくと、 $0 \le s_k \le 1$ であり、したがって点列 $\{(x_k,s_k)\} \subset \overline{B} \times [0,1]$ が得られます。さて、 $\overline{B} \times [0,1]$ はcompactですから、適当な部分列 $\{(x_{k_j},s_{k_j})\} \subset \overline{B} \times [0,1]$ を選べば収束します。この極限を $(x,s) \in \overline{B} \times [0,1]$ と書きます。

さて、このとき実は $s=1$ が成立しています。実際、もし $s \lt 1$ であったとすると、 $s_{k_j}$ の定義から十分大きな $j$ に対しては常に

\begin{equation} 1-\frac{1}{k_j} \le \|x_{k_j}\|_X \le 1 \end{equation}

が成立します。このとき $g_{k_j}^*$ は定義から

\begin{equation} x_{k_j}=g_{k_j}^*(x_{k_j})=g\left(\frac{x_{k_j}}{\|x_{k_j}\|_X},k_j(1-\|x_{k_j}\|_X)\right)=g\left(\frac{x_{k_j}}{\|x_{k_j}\|_X},s_{k_j}\right) \end{equation}

を満たしていますが、 $j \to \infty$ とすれば $\|x_{k_j}-x\|_X \to 0$ であり、上の評価から $\|x\|_X=1$ を得ます。したがって $g \in C(X \times [0,1]:X)$ から $x=g(x,s)$ の成立が分かります。ところが、初めの仮定から、 $x=g(x,s)$ が成立するならば常に $\|x\|_X \lt 1$ を満たさなければならないので、これは矛盾です。ゆえに $s=1$ となります。

したがって、再び $s_{k_j}$ の定義から、十分大きな $j$ に対して常に

\begin{equation} \|x_{k_j}\|_X \lt 1-\frac{1}{k_j} \end{equation}

が成立し、 $g_{k_j}^*$ は定義から

\begin{equation} x_{k_j}=g_{k_j}^*(x_{k_j})=g\left( \frac{k_jx_{k_j}}{k_j - 1},1 \right) \end{equation}

となります。再び $g \in C(X \times [0,1]:X)$ に注意して $j \to \infty$ とすれば $x=g(x,1)$ を得ます。これが不動点になります。

さて、後は

\begin{equation} g(x,\lambda)=\frac{1}{M}f(Mx,\lambda) \end{equation}

であったから、

\begin{equation} f(Mx,1)=Mg(x,1)=Mx \end{equation}

となり $Mx$ が求める不動点になります。

以上がLeray-Schauderの不動点定理です！！Schauderの不動点に基づいているので、そこまで証明は難しくないと思います。なお証明はGilbarg-Trudingerの「Elliptic Partial Differential Equations of Second Order」にあったものを参考にしました。

ちなみに、この定理においては写像を $f(x,\lambda)$ として考えたわけですが、この特別な例として $f(x,\lambda)=\lambda f(x)$ を考えることができます。これをLeray-Schauderの不動点定理という場合もあります。そのように書き換えると、次のような主張になります。