Brouwerの不動点定理について - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。やっと修論の発表会が終わり、論文にまた取り組めます。やったね。

現在研究しているのはKeller-Segel方程式で、この調子でいけば、scale不変な斉次Besov空間を初期値空間とするparabolic-parabolic typeの時間Lorentz classの解の存在、そして時空間解析性、また同様の考察をparabolic-elliptic typeにおいて行うことで、合計4本の論文をかけそうです。

次に先生から推奨されている研究が、Keller-SegelとEuler方程式のcouplingについてです。2つの方程式系のcouplingがどの程度意義のある研究かは分かりませんが、少なくともKeller-SegelとNavier-Stokesにおける研究は盛んに行なわれています。

ではEulerはどうか。Euler方程式はNavier-Stokesにおける粘性項 $-\Delta u$ を消去した方程式です。実はNavier-Stokesより難しく、例えばNavier-Stokesは初期値が十分小さければ一般次元上で時間大域的な解の存在を言えるようですが、Eulerは例え初期値が小さかったとしても時間大域解の存在はまだ2次元でしか言えていないようです(ただし2次元では初期値が小さくなくても大域解を構成できます)。

2次元Euler方程式の解析としては例えば加藤氏の論文(On Classical Solutions of the Two-Dimensional Non-Stationary Euler Equation)がありますが、今回はKeller-SegelとEuler方程式のcouplingを理解するべく、まずこの論文を理解したいと思います。

そこで、今回は本論文の解の存在理論として使われている不動点定理を勉強しました。大学の講義で勉強したことがあったのはBanachの不動点定理、すなわち縮小写像に関する不動点の存在ですが、これの証明は簡単で、縮小写像 $f$ に繰り返し代入することで得られる点列 $x_{j+1}=f(x_j)$ がCauchy列となることを言えればよいです。

一方、今回勉強したい不動点定理はSchauderの不動点定理ですが、これにはまずBrouwerの不動点定理の理解が必要です。そういうわけで、今回はBrouwerの不動点定理を勉強しました。

この証明はなかなか難しく、背理法で示すので、非構成的な存在証明です。つまり、いつでも $f(x) \neq x$ となることを仮定して、矛盾を導きます。

では定理を紹介します。有界な凸閉集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ に対して、 $f \in C(\Omega:\Omega)$ ならば $f(x)=x$ なる $x \in \Omega$ が存在します。これがBrouwerの不動点定理です。

ここで、不動点の一意性は導かれないことに注意します(Banachの不動点定理は一意性も成立する)。凸集合とは、膨らんでいる集合のことです。正確には、 $\Omega$ 内のどんな2点を結んでも、その線分も $\Omega$ に含まれるとき凸集合といいます。また、 $f \in C(\Omega:\Omega)$ は $\Omega$ から自分自身への連続写像を意味します。

では証明しましょう。初めに、 $\overline{B}$ を十分大きな半径 $R \gt 0$ を持つ原点中心の閉球として、 $f \in C^{\infty}(\overline{B}:\overline{B})$ に対して主張を示します。

背理法で示しましょう。すなわち、任意の各点 $x \in \overline{B}$ に対して $T=T(x)=x-f(x) \neq 0$ と仮定して、矛盾を導きましょう。このとき $T \neq 0$ であるから、次の2次方程式 $|x+yT|^2=R^2$ を考えることができます( $y$ が実数で、 $x$ および $T=T(x)$ は $n$ 次元vectorであることに注意します)。展開すると

\begin{equation} |T|^2y^2+2(x,T)y+|x|^2-R^2=0 \end{equation}

ですから、この方程式の解は

\begin{equation} y=\frac{-(x,T)\pm \sqrt{(x,T)^2+(R^2-|x|^2)|T|^2}}{|T|^2} \end{equation}

となります。ここで、関数 $\lambda (x)$ を

\begin{equation} \lambda(x)=\frac{-(x,T)+ \sqrt{(x,T)^2+(R^2-|x|^2)|T|^2}}{|T|^2} \end{equation}

で定義します。当然 $\lambda(x)$ は初めの等式 $|x+\lambda(x)T|^2=R^2$ を満たします。

さて、いま $x , \, f(x) \in \overline{B}$ ですから $|x| , \, |f| \le R$ に注意します。もし $(x,T) \le 0$ かつ $|x|=R$ ならば、

\begin{equation} \begin{split} |T|^2 &=(x-f,x-f) \\ &=|x|^2-2(x,f)+|f|^2 \\ &=|x|^2+|f|^2-2(x,x-T) \\ &=|x|^2+|f|^2-2|x|^2+2(x,T) \\ &=|f|^2-|x|^2+2(x,T) \\ &=|f|^2-R^2+2(x,T) \\ &\le 2(x,T) \\ &\le 0 \end{split} \end{equation}

より $T=0$ となりますが、仮定から $T \neq 0$ より矛盾です。すなわち $(x,T) \gt 0$ または $|x| \lt R$ が成立します。これを $(*)$ としましょう。

では関数 $\lambda(x)$ の性質を調べましょう。まず

\begin{equation} \begin{split} \lambda(x) &=\frac{-(x,T)+ \sqrt{(x,T)^2+(R^2-|x|^2)|T|^2}}{|T|^2} \\ &\ge \frac{-|(x,T)|+ \sqrt{(x,T)^2}}{|T|^2} \\ &=0 \end{split} \end{equation}

より $\lambda(x)$ は非負値です。根号の中に対して、もし

\begin{equation} (x,T)^2+(R^2-|x|^2)|T|^2=0 \end{equation}

ならば、 $T \neq 0$ に注意して $(x,T)=0$ かつ $|x|=R$ を得ます。ところがこれは $(*)$ より矛盾しますから、根号の中は常に正の値をとります。ここで $f \in C^{\infty}(\overline{B}:\overline{B})$ より $T$ も $C^{\infty}$ 級で、 $\lambda(x)$ も $C^{\infty}$ 級です( $f$ が非負値 $C^{\infty}$ 級でも $\sqrt{f}$ が $C^{\infty}$ 級とは限らないことに注意しましょう。1階微分時に $f=0$ まわりで特異点を持ちます。根号内が常に正なら $C^{\infty}$ 級です)。また、 $|x|=R$ のとき、 $(*)$ より $(x,T) \gt 0$ に注意して、

\begin{equation} \begin{split} \left.\lambda(x)\right|_{|x|=R} &=\left.\frac{-(x,T)+ \sqrt{(x,T)^2+(R^2-|x|^2)|T|^2}}{|T|^2}\right|_{|x|=R} \\ &= \frac{-(x,T)+ \sqrt{(x,T)^2}}{|T|^2} \\ &=0 \end{split} \end{equation}

を得ます。まとめると、 $\lambda(x)$ は非負値 $C^{\infty}$ 級かつ $\left.\lambda(x)\right|_{|x|=R}=0$ かつ $|x+\lambda(x)T|=R$ を満たします。

さて、再び新しい関数を定義します。

\begin{equation} \varphi : [0,1] \times \overline{B} \to \mathbb{R}^n , \quad \varphi(t,x)=x+t\lambda(x)T(x) \end{equation}

ここでこの関数はvector値で、 $t , \, \lambda(x)$ が実数値であることに注意します。さて、 $\lambda(x) , \, T(x)$ は $C^{\infty}$ 級ですから、やはり $\varphi$ も $x$ に関して $C^{\infty}$ 級です。 $\varphi$ の性質を調べます。まず $\varphi(0,x)=x$ です。また、 $\varphi(1,x)=x+\lambda(x)T(x)$ であり、 $|x+\lambda(x)T|=R$ より $|\varphi(1,x)|=R$ です。そして、 $\partial_t\varphi(t,x)=\lambda(x)T(x)$ および $\left.\lambda(x)\right|_{|x|=R}=0$ から $\left.\partial_t\varphi(t,x)\right|_{|x|=R}=0$ となります。まとめると、

\begin{equation} \varphi(0,x)=x , \quad |\varphi(1,x)|=R, \quad \left.\partial_t\varphi(t,x)\right|_{|x|=R}=0 \end{equation}

です。さて、 $x$ および $\varphi$ はどちらも $n$ 次元vector値であるから、Jacobi行列を定義できます。すなわち $\varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ として、

\begin{equation} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(t,x) = \left(\begin{array}{ccc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots & \partial_{x_n}\varphi_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_{x_1}\varphi_n & \ldots & \partial_{x_n}\varphi_n \end{array}\right) \end{equation}

とします。

さて、いよいよ矛盾を導きましょう。Jacobi行列の行列式を積分します。

\begin{equation} I(t)=\int_{\overline{B}} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}(t,x) \right| dx \end{equation}

右辺はscalar関数の $\overline{B}$ 上の $n$ 重積分です。まずは $t=0,1$ を代入してみましょう。先ほど示した結果を用います。 $t=0$ のときは、 $\varphi(0,x)=x$ より対応するJacobi行列は単位行列で、

\begin{equation} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}(0,x) \right|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 1 \end{array}\right| =1\end{equation}

すなわち

\begin{equation} I(0)=\int_{\overline{B}} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}(0,x) \right| dx =\int_{\overline{B}} dx=|\overline{B}| \end{equation}

を得ます。次に $t=1$ のとき、 $|\varphi(1,x)|^2=R^2$ ですから、この微分を計算して

\begin{equation}\begin{split} \partial_{x_j}\left\{|\varphi(1,x)|^2\right\} &= \partial_{x_j}\left\{ \varphi_1(1,x)^2+\cdots +\varphi_n(1,x)^2 \right\} \\ &=2\varphi_1(1,x)\partial_{x_j}\varphi_1(1,x)+\cdots +2\varphi_n(1,x)\partial_{x_j}\varphi_n(1,x) \\ &=0 \end{split}\end{equation}

を得ます。最後の $0$ は右辺の $R^2$ の微分です。これを各 $j$ に対して求めてから並べてやると、連立方程式

\begin{equation} \begin{gathered} 2\varphi_1(1,x)\partial_{x_1}\varphi_1(1,x)+\cdots +2\varphi_n(1,x)\partial_{x_1}\varphi_n(1,x) =0 \\ \vdots \\ 2\varphi_1(1,x)\partial_{x_j}\varphi_1(1,x)+\cdots +2\varphi_n(1,x)\partial_{x_j}\varphi_n(1,x) =0 \\ \vdots \\ 2\varphi_1(1,x)\partial_{x_n}\varphi_1(1,x)+\cdots +2\varphi_n(1,x)\partial_{x_n}\varphi_n(1,x) =0 \end{gathered} \end{equation}

を得ますが、これは行列を使ってやると

\begin{equation} 2\left(\begin{array}{ccc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots & \partial_{x_n}\varphi_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_{x_1}\varphi_n & \ldots & \partial_{x_n}\varphi_n \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \varphi_1 \\ \vdots \\ \varphi_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) \end{equation}

すなわち

\begin{equation} 2\frac{\partial \varphi}{\partial x}(1,x)\varphi(1,x)=0 \end{equation}

を得ます。さて、線形代数における方程式 $Ax=b$ は $|A| \neq 0$ ならば逆行列を用いて $x=A^{-1}b$ となることが分かりますから、

\begin{equation} \left|\frac{\partial \varphi}{\partial x}(1,x)\right| \neq 0 \end{equation}

ならば $\varphi(1,x)=0$ となります。しかし $|\varphi(1,x)|=R$ よりこれは矛盾ですから、

\begin{equation} \left|\frac{\partial \varphi}{\partial x}(1,x)\right| = 0 \end{equation}

です。したがって

\begin{equation} I(1)=\int_{\overline{B}} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}(1,x) \right| dx =0 \end{equation}

となります。ここで $I(0)=|\overline{B}| \neq 0=I(1)$ に注目します。矛盾を示すために、任意の $0 \le t \le 1$ に対して $\partial_tI(t)=0$ であることを示しましょう。これが分かれば $I(t)$ は $t$ によらない定数になりますが、それは $I(0) \neq I(1)$ に矛盾します。これを示せば初めの仮定である、任意の各点 $x \in \overline{B}$ に対して $T=T(x)=x-f(x) \neq 0$ が間違いですから、ある点 $x \in \overline{B}$ に対して $f(x)=x$ が言えます。すなわち不動点の存在です。

いよいよ最後の主張である $\partial_tI(t)=0$ を示します。さて、まずは

\begin{equation} \partial_tI(t)=\partial_t \int_{\overline{B}} \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}(t,x) \right| dx \end{equation}

ですから、積分記号下での微分を使って

\begin{equation} \partial_tI(t)=\int_{\overline{B}} \partial_t \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}(t,x) \right| dx \end{equation}

としましょう。 $\varphi$ は $x$ に関する $C^{\infty}$ 級関数で、 $(t,x)$ も有界な閉集合上しか動かないので、特に難しいことは考えず上式が成立します。

さて、ここからは行列式の計算が出てきますが、表記の簡略化のために1列成分だけ書きます。まずは関数行列式の微分に関してですが、これは各行(または列)の微分で表されます。例えば1変数行列関数

\begin{equation} A(x)=\left(\begin{array}{ccc} a_{11}(x) & a_{12}(x) & a_{13}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & a_{23}(x) \\ a_{31}(x) & a_{32}(x) & a_{33}(x) \end{array} \right) =\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \end{equation}

に対しては、

\begin{equation} \partial_x|A(x)|= \left|\begin{array}{ccc} a'_{11} & a'_{12} & a'_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a'_{21} & a'_{22} & a'_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right|+\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a'_{31} & a'_{32} & a'_{33} \end{array} \right| \end{equation}

といった具合です。したがって、

\begin{equation} \partial_t \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right| =\sum_{j=1}^n \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\partial_{x_j}\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \end{equation}

となります( $(j)$ で行列の $j$ 行成分を意味していることとします)。

さて、次は $\partial_t\partial_{x_j}$ の部分から $\partial_{x_j}$ を取り出します。つまり

\begin{equation} \sum_{j=1}^n \partial_{x_j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \end{equation}

という形を作ります。さて、再び行列式の微分を用います。各 $j$ を固定して、

\begin{equation} \partial_{x_j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|=\sum_{i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \end{equation}

です。各 $j$ が固定なので、和は $i$ が動いています。これは左辺に対して行列式の微分を行い、和を $i \neq j$ として $i=j$ の部分だけ取り出しているだけです。 $i=j$ の部分を先に計算した $\partial_t|\partial \varphi/\partial x|$ に突っ込んで計算します。

\begin{equation} \begin{split} \partial_t \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right| &=\sum_{j=1}^n \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\partial_{x_j}\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \\ &=\sum_{j=1}^n\left( \partial_{x_j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| - \sum_{i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|\right) \\ &=\sum_{j=1}^n \partial_{x_j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|- \sum_{j=1}^n\sum_{i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \end{split} \end{equation}

さて、いよいよ計算がめんどくさくなってきました。ここで示したいことは、右辺第2項が $0$ となることです。すなわち

\begin{equation} \sum_{j=1}^n\sum_{i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|=\sum_{1 \le i,j \le n , i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|=0 \end{equation}

を示します。さて、これを示すには、 $i \neq j$ に着目します。和の項において $(i,j)$ の項と $(j,i)$ の項の順番を入れ替えます。このとき

\begin{equation} \sum_{1 \le i,j \le n , i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|=\sum_{1 \le i,j \le n , i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \end{equation}

ですから、差をとって

\begin{equation} \sum_{1 \le i,j \le n , i \neq j}\left( \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|- \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|\right)=0 \end{equation}

を得ます。ここで行列式の性質から、行を1回入れ替えると符号が変わり、

\begin{equation} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\\partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|=-\left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_i}\partial_{x_j}\varphi_1& \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|\end{equation}

すなわち上式は

\begin{equation} 2\sum_{1 \le i,j \le n , i \neq j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_{x_j}\partial_{x_i}\varphi_1 & \cdots (i) \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right|=0 \end{equation}

であり、主張を得ます。行の入れ替えの際に、 $i=j$ となってしまうと入れ替えられないので、ここで $i \neq j$ であることが効いています。ゆえに、先の計算結果は

\begin{equation} \begin{split} \partial_t \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right| &=\sum_{j=1}^n \partial_{x_j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \end{split} \end{equation}

となります。

いよいよ積分を計算しましょう。

\begin{equation} \partial_tI(t)=\int_{\overline{B}} \partial_t \left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}(t,x) \right| dx= \int_{\overline{B}} \sum_{j=1}^n \partial_{x_j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| dx\end{equation}

を求めることになりますが、これにはGaussの発散定理を用います。Gaussの発散定理は、 $n$ 次元vector値関数 $f$ に対して

\begin{equation} \int_{\Omega} \mathrm{div} f(x)dx=\int_{\partial\Omega} f(x) \cdot \nu dS \end{equation}

が成立するというやつです。 $\nu$ は境界上の各点における単位法線vectorです。さて、ここで $f=(f_1,\ldots,f_n) , \, \nu=(\nu_1,\ldots , \nu_n)$ とおいて、

\begin{equation} \int_{\Omega} \sum_{j=1}^n\partial_{x_j}f_j(x)dx=\int_{\partial\Omega} \sum_{j=1}^nf_j(x)\nu_j dS\end{equation}

と書き換えていきましょう。さて、上式の積分は $\overline{B}$ 上なので、境界 $|x|=R$ 上の単位法線vectorは $\nu=x/|x|=x/R$ となります。したがって、Gaussの発散定理から

\begin{equation} \partial_tI(t)= \int_{\overline{B}} \sum_{j=1}^n \partial_{x_j} \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| dx = \int_{|x|=R} \sum_{j=1}^n \left| \begin{array}{cc} \partial_{x_1}\varphi_1 & \cdots \\ \vdots & \\ \partial_t\varphi_1 & \cdots (j) \\ \vdots & \\ \partial_{x_n}\varphi_1 & \cdots \end{array}\right| \frac{x_j}{R} dS\end{equation}

です。さて、先に示した $\varphi$ の性質から $\left.\partial_t\varphi(t,x)\right|_{|x|=R}=0$ ですから、面積分が $|x|=R$ であること、また各行列式の $j$ 行目は $(\partial_t\varphi_1(t,x),\ldots , \partial_t\varphi_n(t,x))$ であることに注意すれば、被積分関数の行列式の各 $j$ 行成分はすべて $0$ となり、したがって $\partial_tI(t)=0$ が分かります。これより主張を得ました。

さて、これで定理の証明が終わった、といいたいですが、関数 $f$ に $f \in C^{\infty}(\overline{B}:\overline{B})$ という条件を課していました。初めに述べた定理では、有界な凸閉集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ に対して $f \in C(\Omega:\Omega)$ という条件で示すことができます。以下、これを確認していきましょう。

まず、 $f \in C(\overline{B}:\overline{B})$ という条件のもとで示してみましょう。この $f$ に対して、

\begin{equation} \sup_{x \in \overline{B}}|f(x)-f_j(x)| \to 0 \quad (j \to \infty) \end{equation}

を満たすような関数列 $\{f_j\} \subset C^{\infty}(\overline{B}:\overline{B})$ がとれます。つまり、任意の連続関数は、滑らかな関数で一様収束の意味で近似可能です。さて、ここで先に示した不動点定理より、各関数列 $f_j$ に対して $f_j(x_j)=x_j$ を満たす $x_j \in \overline{B}$ が存在します。当然ながら関数列なので、関数に応じて不動点も異なることに注意しましょう。

さて、 $\overline{B}$ は有界な閉集合なのでcompactです。点列compactの定義から、不動点の点列 $\{x_j\} \subset \overline{B}$ に対して、収束する部分列 $\{x_{j_k}\} \subset \overline{B}$ がとれます。この極限を $x \in \overline{B}$ としましょう。すなわち

\begin{equation} |x_{j_k}-x| \to 0 \quad (k \to \infty) \end{equation}

です。さて、この $x \in \overline{B}$ が求める不動点です。実際、三角不等式から

\begin{equation} |f(x)-x| \le |f(x)-f(x_{j_k})|+|f(x_{j_k})-f_{j_k}(x_{j_k})|+|x_{j_k}-x| \end{equation}

が成立します。ここで $f_{j_k}(x_{j_k})=x_{j_k}$ を用いました。さて、ではこの極限をとるわけですが、まず仮定から $f \in C(\overline{B}:\overline{B})$ より第1項は

\begin{equation} |f(x)-f(x_{j_k})| \to 0 \quad (k \to \infty) \end{equation}

です。第2項は、近似列 $f_j$ が一様収束の意味で収束することから、

\begin{equation} |f(x_{j_k})-f_{j_k}(x_{j_k})| \le \sup_{\xi \in \overline{B}}|f(\xi)-f_{j_k}(\xi)| \to 0 \quad (k \to \infty) \end{equation}

とすればOKです。ゆえに、極限をとって $f(x)=x$ を得ます。したがって、 $f \in C(\overline{B}:\overline{B})$ において不動点の存在が言えました。

最後に、有界な凸閉集合 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ に対して $f \in C(\Omega:\Omega)$ という仮定の下で、主張を示しましょう。まずは $\Omega$ が有界であるということから十分大きな閉球 $\overline{B}$ で $\Omega \subset \overline{B}$ を満たすようにできることに注意しましょう。

ここで、次の主張を示します。任意の $x \in \overline{B}$ に対して

\begin{equation} |x-y| = \min_{z \in \Omega}|x-z| \end{equation}

を満たすような $y \in \Omega$ がただ1つ存在します。実際、 $\Omega$ は有界閉集合であるからcompactであり、したがって各点 $x \in \overline{B}$ に対して $z \in \Omega$ を変数にもつ連続関数 $|x-z|$ は最小値を持ちます。ゆえに

\begin{equation} |x-y| = \min_{z \in \Omega}|x-z| \end{equation}

を満たすような $y \in \Omega$ が少なくとも1つとれます。この $y \in \Omega$ の一意性を見ましょう。2つの点 $x_1,x_2 \in \overline{B}$ に対して、対応する点 $y_1,y_2 \in \Omega$ をとります。 $\Omega$ は凸集合ですから、 $y_1,y_2 \in \Omega$ を結ぶ線分上の点 $y_1+t(y_2-y_1) , \, y_2+t(y_1-y_2) \, (0 \le t \le 1)$ も $\Omega$ に属します。さて、 $y_1,y_2 \in \Omega$ の定義から、

\begin{equation} \begin{split} |x_2-\{y_2+t(y_1-y_2)\}|^2 &\ge \min_{z \in \Omega} |x_2-z|^2=|x_2-y_2|^2 \\ |x_1-\{y_1+t(y_2-y_1)\}|^2 &\ge \min_{z \in \Omega} |x_1-z|^2=|x_1-y_1|^2 \end{split} \end{equation}

です。これを展開して整理しましょう。上の式を展開します。

\begin{equation}\begin{split} |x_2|^2-2(x_2,y_2+t(y_1-y_2))+|y_2+t(y_1-y_2)|^2 &\ge |x_2|^2-2(x_2,y_2)+|y_2|^2 \\ |x_2|^2-2(x_2,y_2)-2t(x_2,y_1-y_2)+|y_2|^2+2(y_2,t(y_1-y_2))+t^2|y_1-y_2|^2 & \ge |x_2|^2-2(x_2,y_2)+|y_2|^2 \\ -2t(x_2,y_1-y_2)+2t(y_2,(y_1-y_2))+t^2|y_1-y_2|^2 & \ge 0 \end{split}\end{equation}

下の式も添え字 $1,2$ を入れ替えれば同じ結果を得ます。辺々加えると、

\begin{equation}\begin{split} -2t(x_2,y_1-y_2)-2t(x_1,y_2-y_1) &=-2t(x_2,y_1-y_2)+2t(x_1,y_1-y_2) \\ &=2t(x_1-x_2,y_1-y_2) \end{split}\end{equation}

および

\begin{equation}\begin{split} 2t(y_2,y_1-y_2)+2t(y_1,y_2-y_1)&= 2t(y_2,y_1-y_2)-2t(y_1,y_1-y_2) \\ &= 2t(y_2-y_1,y_1-y_2) \\ &= -2t|y_1-y_2|^2 \end{split}\end{equation}

より

\begin{equation} 2t(x_1-x_2,y_1-y_2)-2t|y_1-y_2|^2 +2t^2|y_1-y_2|^2 \ge 0\end{equation}

を得ます。 $0 \le t \le 1$ は任意であったから、 $2t \gt 0$ で両辺を割り $t \to 0$ とすれば、

\begin{equation} (x_1-x_2,y_1-y_2)-|y_1-y_2|^2 \ge 0\end{equation}

すなわち

\begin{equation} |y_1-y_2|^2 \le (x_1-x_2,y_1-y_2) \le |x_1-x_2||y_1-y_2| \end{equation}

を得ます。 $y_1 \neq y_2$ ならば $|y_1-y_2| \le |x_1-x_2|$ を得ますが、これは $y_1=y_2$ でも成立します。また、この評価から $x_1=x_2$ ならば $y_1=y_2$ が分かります。すなわちこれは

\begin{equation} |x-y| = \min_{z \in \Omega}|x-z| \end{equation}

なる $y \in \Omega$ の一意性を意味します。ゆえに $y=g(x) \in \Omega$ と書くことができ、さらに上の評価式から $|g(x_1)-g(x_2)| \le |x_1-x_2|$ すなわち $g \in C(\overline{B}:\Omega)$ が分かります。また、特に $x \in \Omega$ ならば、

\begin{equation} \min_{z \in \Omega}|x-z|=0 \end{equation}

より $g(x)=x$ であることに注意します。

さて、いま $f \in C(\Omega:\Omega)$ であるとします。このとき

\begin{equation} f \circ g: \overline{B} \to \Omega \subset \overline{B}, \quad (f \circ g)(x)=f(g(x))\end{equation}

はwell-definedであり、かつ $f\circ g \in C(\overline{B}:\overline{B})$ です。実際、 $x \in \overline{B}$ に対して $g(x) \in \Omega$ であり、 $f \in C(\Omega:\Omega)$ より $(f\circ g)(x)=f(g(x)) \in \Omega \subset \overline{B}$ です。したがって $f\circ g$ はwell-definedであり、また $f,g$ の連続性から $f\circ g \in C(\overline{B}:\overline{B})$ を得ます。したがってこの条件下では既に不動点の存在が示されているので、 $(f\circ g)(x^*)=x^*$ なる $x^* \in \overline{B}$ が存在します。ここで $x \in \overline{B}$ に対して $(f\circ g)(x) \in \Omega$ であるから、 $x^* \in \Omega$ が分かります。このとき先に注意したことから $g(x^*)=x^*$ であり、したがって

\begin{equation} f(x^*)=f(g(x^*))=(f \circ g)(x^*)=x^* \end{equation}

となり、 $f \in C(\Omega:\Omega)$ に対する不動点 $x^* \in \Omega$ を得ます。これで定理が完全に示されました。

いやはやなかなか大変でした！！証明は増田著「非線形数学」に載っています。証明はなかなか難しく、不動点の存在を背理法で示すわけですがそのために関数やらなんやらたくさん定義して、さらにそのJacobi行列式の積分を計算するという、なんでこんな手法を思いついたのかよくわからない証明です。

一方で凸集合上での証明はなかなか技巧的ですごいなぁと思いました。閉球での結果を凸集合でいうために最短距離を与える点の一意性を言ったわけですが、これが凸集合のポイントですかね。例えば凸でない場合は、Cのような形をした集合の中心の点を考えれば、Cの境界に触れるような等距離の点が複数存在してしまいますから、一意性が言えないわけです。これもどうやってこんな方法を思いついたかは分かりませんが、けっこう証明を見ていて感動しましたね。

さて、今回はBrouwerの不動点定理を示しましたが、Euler方程式での結果をいうためには、無限次元でも成立するSchauderの不動点定理を証明したいです。こいつはBrouwerの結果を使えば今回ほど証明は難航しないと思いますので、また機会があれば書いていきます。それではまた！！よろしくお願いします。