Stokes作用素を調べよう！！ - SUSHITEMPLEのブログ

こんにちは。ひよこてんぷらです。夏休みですね。

夏休みというと大学生は遊ぶぞ～～って感じですが、大学院生は何も変わりませんね……(笑)というのも大学では基本的に講義がメインで講義のない休業期間は休み！！って感じですけど、大学院では講義はおまけであって、メインは論文を読むことですから休業期間中もちまちま論文を読んだりそのための基礎知識を蓄えたりと、個人的な活動になります。というわけで休業中も個人活動を頑張っています。ひえ～～

さて、これまでお話ししていた内容は、Navier Stokes方程式の解析のため、Helmholtz分解やStokes systemの解の正則性などを中心に扱ってきました。

sushitemple.hatenablog.jp

いよいよNavier Stokes方程式の解析の基本であるStokes作用素の性質を調べていきましょう。これを調べることでNavier Stokes方程式を抽象Cauchy問題に変換した際、威力を発揮します。

ではpdfを貼っておきます。

Stokes_op.pdf

Stokes systemの解析が大変だったことに対し、Stokes作用素の解析はそこまで難しくありません。とはいえ今は $L^2$ の理論で、領域は有界で滑らかですから、かなり都合のいい条件です。一般の場合は難しいと思います。

ではやっていきましょう。まずは関数解析的な手法から調べるため、基本となる自己共役作用素、対称作用素について考えていきます。

$X,Y$ をHilbert spとします。

\begin{align} A : D(A) \to Y: \mathrm{linear} \end{align}
とし、 $\overline{D(A)}=X$ とするとき、 $A$ の共役作用素 $A^*$ を

\begin{align} \left\{\begin{array}{ll} D(A^*) &= \left\{ v \in Y \ \left| \ {}^{\exists}w \in X \ \ \ \mathrm{s.t.} \ \ \ (A u,v)_Y=(u,w)_X \ \ \ {}^{\forall}u \in D(A) \right.\right\} \\ A^*v &= w \ \ \ (v \in D(A^*)) \end{array}\right. \end{align}

で定義します。

また、 $X=(X,(\cdot , \cdot))$ をHilbert spとします。
\begin{align} A:D(A) \to X: \mathrm{linear} \end{align}
とし、 $\overline{D(A)}=X$ とするとき、 $A \subset A^*$ ならば $A$ は対称であるといい、 $A$ を対称作用素といいます。特に、 $A=A^*$ ならば $A$ は自己共役であるといい、 $A$ を自己共役作用素といいます。自己共役作用素 $A$ が

\begin{align} ( A u ,u) \ge 0 \ \ \ (u \in D(A)) \end{align}

を満たすとき、 $A$ は非負値であるといい、 $A\ge 0$ とかきます。

自己共役、というのは名前の由来がなんとなく分かりますが、対称作用素というのはなぜこんな名前なのでしょうか？？次の命題が知られています。

\begin{align} Aは対称である \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ (Ax,y)=(x,Ay) \ \ \ {}^{\forall}x,y \in D(A) \end{align}
が成立します。

なるほどこれは確かに対称作用素ですね。さて、定義から分かるように自己共役なら対称ですが、どんな対称作用素が自己共役になるでしょうか。これについては以下が知られています。

$A$ は対称であるとします。 $D(A)=X$ または $R(A)=X$ ならば $A$ は自己共役になります。

対称作用素、自己共役作用素にはまだまだ成り立つ性質がたくさん知られていますが、今回は関数解析的な手法でStokes作用素を調べることが主目的なので、このくらいにしておきましょう。

次に、Rieszの表現定理の応用である次の定理を紹介しましょう。

$X,Y$ をHilbert spとし $\overline{X}=Y$ とします。ある正の $C$ に対して
\begin{align} C\|f\|_Y \le \|f\|_X \ \ \ {}^{\forall}f \in X \end{align}
ならば
\begin{align} \left\{\begin{array}{ll} D(T) &= \left\{ f \in X \ \left| \ {}^{\exists}\widehat{f} \in Y \ \ \ \mathrm{s.t.} \ \ \ (f,g)_X=(\widehat{f},g)_Y \ \ \ {}^{\forall}g \in X \right.\right\} \subset Y \\ Tf &= \widehat{f} \ \ \ (f \in D(T)) \end{array}\right. \end{align}
で定義される作用素
\begin{align} T:D(T) \to Y \end{align}
はwell definedであり、自己共役になります。また $\overline{D(T)}=X$ および
\begin{align} (Tf,f)_Y \ge C^2\|f\|_Y^2 \ \ \ {}^{\forall}f \in D(T) \end{align}
が成立します。また、
\begin{align} D(T) \subset X , \ \ \ (f,g)_X=(Tf,g)_Y \ \ \ {}^{\forall}f \in D(T) , \ {}^{\forall}g \in X \end{align}
を満たすような $Y$ から $Y$ への自己共役作用素 $T$ は一意になります。

さて、これを用いて次が示せます。

$Y$ をHilbert spとし $\overline{X}=Y$ とします。準双線形形式
\begin{align} S:X \times X \to \mathbb{C} \end{align}
がある $C \in \mathbb{R}$ に対して
\begin{align} S(f,f) \ge C\|f\|_Y^2 \ \ \ {}^{\forall}f \in X \end{align}
を満たしているとします。
\begin{align} (f,g)_X = (1-C)(f,g)_Y+S(f,g) \end{align}
とすると $(\cdot ,\cdot)_X$ は内積になります。 $X = (X,(\cdot,\cdot)_X)$ は完備であるとします。
\begin{align} \left\{\begin{array}{ll} D(T) &= \left\{ f \in X \ \left| \ {}^{\exists}\widehat{f} \in Y \ \ \ \mathrm{s.t.} \ \ \ S(f,g)=(\widehat{f},g)_Y \ \ \ {}^{\forall}g \in X \right.\right\} \subset Y \\ Tf &= \widehat{f} \ \ \ (f \in D(T)) \end{array}\right.\end{align}
で定義される作用素
\begin{align} T:D(T) \to Y \end{align}
はwell definedであり、自己共役になります。また $\overline{D(T)}=X$ および
\begin{align} (Tf,f) \ge C\|f\|_Y^2 \ \ \ {}^{\forall}f \in D(T) \end{align}
が成立します。また、
\begin{align} D(T) \subset X , \ \ \ S(f,g)=(Tf,g)_Y \ \ \ {}^{\forall}f \in D(T) , \ {}^{\forall}g \in X \end{align}
を満たすような $Y$ から $Y$ への自己共役作用素 $T$ は一意になります。

これがStokes作用素を調べるのに必要な関数解析の基本的(？)な定理になります。

さて、次にHelmholtz分解について復習しておきましょう。

sushitemple.hatenablog.jp

定理だけここに紹介しておきます。

$n \ge 2$ とし、 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ をdomainとします。
\begin{eqnarray*}
\{ C_{0,s}^{\infty}(\Omega) \}^n &=& \left\{ f \in \{C_0^{\infty}(\Omega)\}^n \ | \ \mathrm{div}f=0 \right\} \\
\mathcal{H}_{s} &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\Omega)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{L^2\}^n}} \\
\mathcal{G} &=& \left\{ \nabla p \in \{L^2(\Omega)\}^n \ | \ p \in L_{\mathrm{loc}}^2(\Omega) \right\} \\
\mathcal{H}_{s}^{\perp} &=&\left\{ f \in \{L^2(\Omega)\}^n \ | \ (f,v)_{\{L^2\}^n}=0 \ \ \ {}^{\forall}v \in \mathcal{H}_{s} \right\}
\end{eqnarray*}
とします。このとき $\mathcal{G}=\mathcal{H}_{s}^{\perp}$ であり、
\begin{align} {}^{\forall}f \in \{L^2(\Omega)\}^n , \ \ \ {}^{\exists !}f_0 \in \mathcal{H}_{s} , \ \ \ {}^{\exists !}\nabla p \in \mathcal{G} \ \ \ \mathrm{s.t.} \ \ \ f=f_0+\nabla p \end{align}
が成立します。

$n \ge 2$ とし、 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ をdomainとします。 $P \in \mathcal{L}(\{L^2(\Omega)\}^n,\mathcal{H}_{s})$ であり、 $\|P\| \le 1$ が成立します。また、 $f=f_0+\nabla p$ を $\{L^2(\Omega)\}^n$ におけるHelmholtz分解とするとき、 ${}^{\forall}f,g \in \{L^2(\Omega)\}^n$ に対して
\begin{array}{ll}
P(\nabla p)=0 & (I-P)f=\nabla p \\
(I-P)^2f=(I-P)f & P^2f=Pf \\
(Pf,g)_{\{L^2\}^n}=(f,Pg)_{\{L^2\}^n} & \|f\|_{\{L^2\}^n}^2=\|Pf\|_{\{L^2\}^n}^2+\|(I-P)f\|_{\{L^2\}^n}^2
\end{array}
が成立します。特に、 $P$ は非負値自己共役作用素になります。この $P$ をHelmholtz projectionとよびます。

ではStokes作用素を調べましょう。定義のwell defined性は次から確かめられます。

$n \ge 2$ とし、 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ をdomainとします。また、
\begin{eqnarray*}
\{ C_{0,s}^{\infty}(\Omega) \}^n &=& \left\{ f \in \{C_0^{\infty}(\Omega)\}^n \ | \ \mathrm{div}f=0 \right\} \\
\{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\Omega)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{H^1\}^n}}
\end{eqnarray*}
とします。このとき、
\begin{align} D(A) \subset \{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n , \ \ \ (\nabla u,\nabla v)_{\{L^2\}^{n^2}}=(A u,v)_{\{L^2\}^n} \ \ \ {}^{\forall}u \in D(A) , \ {}^{\forall}v \in \{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n \end{align}
を満たすような非負値自己共役作用素 $A$ が一意に存在します。

今は一般の領域ですが、次に注意しましょう。

上の定理で特に $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ がbounded domainならば、正の定数 $C$ が存在して
\begin{align} (A u,u) \ge C\|u\|_{\{L^2\}^n}^2 \ \ \ {}^{\forall}u \in D(A) \end{align}
が成立します。

さて、Stokes作用素は、上の定理によって得られる $A$ のことです。さらに詳細な性質はこれから調べていきます。

$n \ge 2$ とし、 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ をdomainとします。また、
\begin{eqnarray*}
\{ C_{0,s}^{\infty}(\Omega) \}^n &=& \left\{ f \in \{C_0^{\infty}(\Omega)\}^n \ | \ \mathrm{div}f=0 \right\} \\
\mathcal{H}_{s} &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\Omega)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{L^2\}^n}} \\
\{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\Omega)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{H^1\}^n}}
\end{eqnarray*}
とします。
\begin{align} A:D(A) \to \mathcal{H}_s \end{align}
をStokes作用素とするとき、次が成立します。

(i)
$A$ は非負値自己共役作用素で
\begin{align} \overline{D(A)}=\mathcal{H}_s , \ \ \ \{ C_{0,s}^{\infty}(\Omega) \}^n\subset D(A) \subset \{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n \end{align}
が成立します。

(ii)
$u \in \{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n , \ f \in \mathcal{H}_s$ とします。このとき次は同値になります。

(A)
$u$ はStokes systemの弱解である

(B)
$u \in D(A)$ かつ $Au=f$ が成立する

(C)
\begin{align} {}^{\exists}p \in L_{\mathrm{loc}}^2(\Omega) \ \ \ \mathrm{s.t.} \ \ \ -\Delta u+\nabla p=f \end{align}
が成立する

(iii)
$\Omega$ がboundedならば $A^{-1} \in \mathcal{L}(\mathcal{H}_s)$ が成立します。

(iv)
$\Omega$ がuniform $C^2$ domainまたは $\Omega=\mathbb{R}^n$ ならば、 $P$ をHelmholtz projectionとして
\begin{align} D(A)=\{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n \cap \{H^2(\Omega)\}^n , \ \ \ A u=-P\Delta u \end{align}
かつ ${}^{\forall}u \in D(A)$ に対して正の定数 $C = C(\Omega)$ が存在して
\begin{align} \|\nabla^2 u\|_{\{L^2(\Omega)\}^{n^3}} = \left( \sum_{i,j,k=1}^n \|D_iD_ju_k\|_{L^2(\Omega)}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \end{align}
に対して
\begin{align} \|\nabla^2 u\|_{\{L^2(\Omega)\}^{n^3}}+\|\nabla p\|_{\{L^2(\Omega)\}^n} \le C\left( \|A u\|_{\{L^2(\Omega)\}^n}+\|\nabla u\|_{\{L^2(\Omega)\}^{n^2}}+\|u\|_{\{L^2(\Omega)\}^n} \right) \end{align}
が成立します。ここで、 $p \in L_{\mathrm{loc}}^2(\Omega)$ は
\begin{align} -\Delta u+\nabla p=f \end{align}
を満たすものとします。

さて、いろいろなことが書いてありますが、特に大事な関係式として $A u=-P\Delta u$ があげられます。境界の条件が必要ではありますが、この関係式があるおかげでNavier Stokes方程式の解析にStokes作用素が表れることが分かります。この関係式の導出のためにがんばってStokes systemを解析しました。さらに今後の解析においては次の関係が重要になります。

$n \ge 2$ とし、 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ をbounded domainとします。また、
\begin{eqnarray*}
\{ C_{0,s}^{\infty}(\Omega) \}^n &=& \left\{ f \in \{C_0^{\infty}(\Omega)\}^n \ | \ \mathrm{div}f=0 \right\} \\
\mathcal{H}_s &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\Omega)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{L^2\}^n}} \\
\{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\Omega)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{H^1\}^n}}
\end{eqnarray*}
とします。
\begin{align} A:D(A) \to \mathcal{H}_s \end{align}
をStokes作用素とするとき、次が成立します。

(i)
$\alpha \in \mathbb{R}$ に対しfractional power $A^{\alpha}$ が定義され、 $A$ のspectrum分解
\begin{align} A=\int_{-\infty}^{\infty}\lambda dE(\lambda) \end{align}
に対して
\begin{align} D(A^{\alpha})=\{u \in \mathcal{H}_s \ | \ \|A^{\alpha}u\|_{\{L^2(\Omega)\}^n}<\infty\} \end{align}
として
\begin{align} A^{\alpha}:D(A^{\alpha}) \to \mathcal{H}_s , \ \ \ A^{\alpha}=\int_{-\infty}^{\infty}\lambda^{\alpha}dE(\lambda) \end{align}
が成立します。また、 $0 \le \alpha \le 1$ ならば $A^{\alpha}$ は非負値自己共役作用素であり、 $\alpha$ が負ならば $A^{\alpha} \in \mathcal{L}(\mathcal{H}_s)$ になります。

(ii)
$D(A^{\frac{1}{2}})=\{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n$ であり、また ${}^{\forall}u,v \in \{H_{0,s}^1(\Omega)\}^n$ に対して
\begin{align} (A^{\frac{1}{2}}u,A^{\frac{1}{2}}v)_{\{L^2(\Omega)\}^n}=(\nabla u,\nabla v)_{\{L^2(\Omega)\}^{n^2}} , \ \ \ \|A^{\frac{1}{2}}u\|_{\{L^2(\Omega)\}^n}=\|\nabla u\|_{\{L^2(\Omega)\}^{n^2}} \end{align}
が成立します。

さて、fractional powerの内容が出てきましたが、過去に詳細な解説を行っています。

sushitemple.hatenablog.jp

次に、全空間の場合の性質を見ておきましょう。

$n \ge 2$ とします。また、
\begin{eqnarray*}
\{ C_{0,s}^{\infty}(\mathbb{R}^n) \}^n &=& \left\{ f \in \{C_0^{\infty}(\mathbb{R}^n)\}^n \ | \ \mathrm{div}f=0 \right\} \\
\mathcal{H}_s &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\mathbb{R}^n)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{L^2\}^n}} \\
&=& \left\{ f \in \{L^2(\mathbb{R}^n)\}^n \ | \ \mathrm{div}f=0 \right\} \\
\mathcal{G} &=& \left\{ \nabla p \in \{L^2(\mathbb{R}^n)\}^n \ | \ p \in L_{\mathrm{loc}}^2(\mathbb{R}^n) \right\}
\end{eqnarray*}
とします。また、 $P$ をHelmholtz projectionとします。 $f \in \{L^2(\mathbb{R}^n)\}^n$ とし、
\begin{align} f=f_0+\nabla p , \ \ \ f_0 \in \mathcal{H}_s , \ \nabla p \in \mathcal{G} \end{align}
を $f \in \{L^2(\mathbb{R}^n)\}^n$ のHelmholtz分解とします。 $f \in \{H^2(\mathbb{R}^n)\}^n$ ならば $Pf=f_0 \in \{H^2(\mathbb{R}^n)\}^n$ であり、また
\begin{align} \|Pf\|_{\{H^2(\mathbb{R}^n)\}^n}=\|f_0\|_{\{H^2(\mathbb{R}^n)\}^n}\le \|f\|_{\{H^2(\mathbb{R}^n)\}^n} \end{align}
かつ ${}^{\forall}f \in \{H^2(\mathbb{R}^n)\}^n$ に対して
\begin{align} P\Delta f=\Delta Pf \end{align}
が成立します。

この定理の意味するところは、全空間の場合のNavier Stokes方程式は熱方程式に帰着される、といったところでしょうか。Navier Stokes方程式に現れるLaplacian $\Delta$ に圧力項消去のためのHelmholtz projection $P$ を作用させることで現れる $P\Delta$ をStokes作用素の関係式 $A=-P \Delta$ を用いて解析する、というのが基本的ですが、全空間の場合は関係式 $P\Delta =\Delta P$ により実質的な作用素は $\Delta$ のみになるため、熱方程式に帰着される、という感じです。

最後に、半群との関係を見ていきましょう。

$n \ge 2$ とし、 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ をbounded domainとします。また、
\begin{eqnarray*}
\{ C_{0,s}^{\infty}(\Omega) \}^n &=& \left\{ f \in \{C_0^{\infty}(\Omega)\}^n \ | \ \mathrm{div}f=0 \right\} \\
\mathcal{H}_s &=& \overline{\{C_{0,s}^{\infty}(\Omega)\}^n}^{\|\cdot\|_{\{L^2\}^n}}
\end{eqnarray*}
とします。
\begin{align} A:D(A) \to \mathcal{H}_s \end{align}
をStokes作用素とするとき、次が成立します。

(i)
$-A$ は縮小 $C_0$ 半群 $e^{-tA}$ を生成し、 $A$ のspectrum分解
\begin{align} A=\int_{-\infty}^{\infty}\lambda dE(\lambda) \end{align}
に対して
\begin{align} e^{-tA}:\mathcal{H}_s \to \mathcal{H}_s , \ \ \ e^{-tA}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\lambda t}dE(\lambda) \end{align}
が成立します。

(ii)
$0 \le \alpha \le e$ に対して
\begin{align} \|A^{\alpha}e^{-tA}\| \le t^{-\alpha} \end{align}
が成立します。

(iii)
$e^{-tA}$ は解析半群になります。

さて、この定理も重要です。領域に有界性を課していることには注意ですが、Stokes作用素は解析半群を生成します。関数解析的な手法では、Navier Stokes方程式をはじめとする発展方程式を抽象Cauchy問題に帰着させるわけですが、このときの作用素が半群を生成すれば(非斉次項にも滑らかさの仮定を要しますが)解を形式的にかくことができます。ただ、Navier Stokes方程式の場合は少し複雑な形をしているためこれだけでは解を得られませんが、積分方程式への変換が可能なのでもとの方程式に比べてぐっと解析のしやすさがアップします(たぶん)。そういう点では作用素が半群を生成するという事実は非常にうれしいことです。結局、 $L^2$ の枠組みでかつ領域が滑らかで有界であるという条件下においてはStokes作用素は非常によい性質を持っているといえるでしょう。

さて、準備は完全にできました！！あとはNavier Stokes方程式の論文を読むだけです！！まずは"On the nonstationary Navier-Stokes system"を読みたいと思います！！読み終わったらまた報告したいと思います！！頑張るぞ！！